Sistemas Lineales con el Método de Adición y Sustracción

Digamos que te presentan un sistema de ecuaciones lineales como y ¿Cómo podrías despejar una de las variables mediante la eliminación de la otra? Tras completar esta sección, serás capaz de resolver un sistema de ecuaciones lineales mediante la eliminación.

Mira esto.

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CK-12 Foundation: 0704S Solving Linear Systems by Elimination (H264)

Orientación

En esta lección, veremos cómo usar adición y sustracción simple para simplificar nuestros sistemas de ecuaciones a una sola ecuación que contenga una sola variable. Debido a que pasamos de tener dos incógnitas ( e ) a tener sólo una (ya sea o ), este método suele ser llamado resolución por eliminación . Eliminamos una variable para hacer que nuestras ecuaciones se puedan resolver. Para ilustrar esta idea, observemos el ejemplo simple de comparar manzanas y plátanos.

Ejemplo A

Si una manzana más una banana cuestan $1,25 y una manzana más dos bananas cuestan $2,00, ¿cuánto cuesta una banana?, ¿cuánto cuesta una manzana?

No debería tomar mucho tiempo descubrir que cada banana cuesta $0,75. Después de todo, la segunda compra contiene sólo una banana más que la primera y cuesta $0,75 más, por lo que esa banana tiene que costar $0,75.

A continuación, se muestra lo que obtenemos cuando usamos algebra para describir esta situación:

Ahora, podemos restar el número de manzanas y bananas en la primera ecuación con el número en la segunda ecuación y también restar el costo en la primera ecuación con el costo en la segunda ecuación, así obtenemos la diferencia en el costo que corresponde a la diferencia en los artículos comprados.

Lo anterior resulta en el precio de una banana. Para averiguar cuánto cuesta una manzana, restamos $0,75 al costo total de una manzana y una banana.

Por lo tanto, una manzana cuesta 50 centavos.

Para resolver sistemas mediante el uso de adición y sustracción, usaremos exactamente esta idea. Al observar la suma o la diferencia de las dos ecuaciones, podemos determinar el valor de una de las incógnitas.

Resolver Sistemas Lineales Mediante el Uso de la Adición de Ecuaciones

Con frecuencia, es considerado el método más fácil y poderoso para resolver sistemas de ecuaciones. El método de adición (o eliminación) nos permite combinar dos ecuaciones de tal manera que la ecuación resultante tenga solamente una variable. Luego, podemos usar métodos algebraicos simples para resolver esa variable. Y finalmente, si lo necesitamos, podemos sustituir nuevamente el valor que obtenemos de esa variable en cualquiera de las ecuaciones originales para resolver la otra incógnita.

Ejemplo B

Resolver este sistema por adición:

Solución

Vamos a sumar todo lo que está en el lado izquierdo de los signos de igualdad de ambas ecuaciones y esto será igual a la suma de todo lo que está en el lado derecho:

Una forma más simple de visualizar esto es mantener las ecuaciones como aparecen anteriormente y sumarlas todas de manera vertical. Sin embargo, al igual que cuando sumas unidades, decenas y centenas, DEBES asegurarte de mantener las e s en sus propias columnas. También, podrías querer usar términos sustitutos como .

Nuevamente, obtenemos , o . Para encontrar el valor de , simplemente sustituimos nuevamente nuestro valor de .

Sustituimos en la segunda ecuación:

La razón por la que este método funcionó es que los coeficientes de pertenecientes a las dos ecuaciones se oponían a cada una: 2 y -2. Gracias a que eran opuestos, se eliminaron mutuamente cuando sumamos las dos ecuaciones, por lo que nuestra ecuación final no tiene término y pudimos resolver .

Resolver Sistemas Lineales Mediante el Uso de la Sustracción de Ecuaciones

Otro método muy similar para resolver sistemas es la sustracción. Cuando en ambas ecuaciones los coeficientes de o son los mismos (incluyendo el signo), en vez de ser opuestos, puedes restar una ecuación con la otra.

Si observas el ejemplo, puedes ver que el coeficiente para en ambas ecuaciones es +1. En vez de sumar las dos ecuaciones para deshacerte de las s, podrías haber restado para deshacerte de las s:

Entonces, obtenemos que , y podemos sustituirla nuevamente para determinar .

El método de sustracción es igual de sencillo que el de adición, siempre y cuando tengas en cuenta lo siguiente:

• Encierra siempre la ecuación que estás restando entre paréntesis y distribuye los negativos.
• No olvides restar los números que están en el lado derecho.
• Recuerda siempre que restar negativos es lo mismo que sumar positivos.

Ejemplo C

Peter examina las monedas que se encuentran dentro de una fuente en un centro comercial. Cuenta 107 monedas, dentro de las cuales hay monedas de 1 centavo y de 5 centavos. El valor total de las monedas es $3,47. ¿Cuántas monedas de cada una vio Peter?

Solución

Tenemos dos tipos de monedas, Así que llamemos al número de monedas de 1 centavo e . al número de monedas de 5 centavos. Justamente, el valor total de las monedas de 1 centavo es , ya que están valoradas en (1 centavo) cada una. El valor total de las monedas de 5 centavos es . Nos han proporcionado dos datos clave para realizar nuestras ecuaciones: el número de monedas y su valor en centavos.

Pasaremos directamente a restar las dos ecuaciones:

Sustituimos nuevamente este valor en la primera ecuación:

Por lo tanto, Peter vio 47 monedas de 1 centavo (que tienen un valor de 47 centavos) y 60 monedas de 5 centavos (que valen $3,00), lo que hace un total de $3,47.

Mira este video si necesitas ayuda con los ejemplos anteriores.

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CK-12 Foundation: Linear Systems by Elimination

Vocabulario

• El propósito de resolver un sistema mediante el método de eliminación es cancelar o eliminar una variable, ya sea a través de la suma o la resta de dos ecuaciones. A veces, primero se debe multiplicar la ecuación por escalares para eliminar una variable.

Práctica Guiada

Andrew está remando su canoa corriente abajo en un río rápido. Al remar río abajo, viaja a 7 millas por hora, relativas a la orilla del río. Al remar río arriba, se mueve más lento, viajando a 1,5 millas por hora. Si Andrew rema con la misma fuerza en ambas direcciones, ¿cuál es la velocidad de la corriente? ¿A qué velocidad viajaría Andrew en aguas calmas?

Solución

En primer lugar, transformemos nuestro problema en ecuaciones. Tenemos dos incógnitas que resolver, así que llamaremos , a la velocidad a la que rema Andrew e . a la velocidad del río. Cuando viaja río abajo, la velocidad de Andrew se ve aumentada por la corriente, de forma que su velocidad total es la velocidad a la que rema más la velocidad del río . Cuando viaja río arriba, el río reduce su velocidad, de forma que su velocidad total es la velocidad a la que rema menos la velocidad del río .

Ecuación río abajo:

Ecuación río arriba:

En segundo lugar, eliminaremos una de las variables. Si observas las dos ecuaciones, puedes ver que el coeficiente de es +1 en la primera ecuación y -1 en la segunda. Claramente , por lo tanto, esta es la variable que eliminaremos. Para hacerlo, simplemente sumamos la ecuación 1 con la ecuación 2. Debemos tener cuidado al agrupar términos semejantes y asegurarnos que todo lo que está a la izquierda de los signos de igualdad se mantenga a la izquierda y todo lo que está a la derecha se mantenga a la derecha:

O podemos utilizar el método de la columna visto en el ejemplo B:

Nuevamente, obtenemos , o . Para encontrar el valor correspondiente a , sustituimos nuestro valor de en cualquiera de las ecuaciones y despejamos nuestra incógnita. En este ejemplo, la sustituiremos en la primera ecuación:

Andrew rema a 4,25 millas por hora y la corriente del río tiene una velocidad de 2,75 millas por hora.

Práctica

1. Resuelve el sistema:
2. Resuelve el sistema:
3. Resuelve el sistema:
4. Resuelve el sistema:
5. Nadia y Peter visitan la tienda de dulces. Nadia compra tres barras de dulce y cuatro masticables de fruta por $2,84. Peter compra tres barras de dulce y un sólo masticable de fruta por $1,79. ¿Cuánto cuesta una barra de dulce? ¿Cuánto cuesta un masticable de fruta?
6. Un pequeño avión vuela de Los Ángeles a Denver con viento de cola (el viento sopla en la misma dirección que el avión) y un controlador de tráfico aéreo lee que su velocidad terrestre (velocidad medida con relación a la tierra) es de 275 millas por hora. Otro avión, idéntico al anterior, que se mueve en dirección opuesta tiene una velocidad terrestre de 227 millas por hora. Calcula la velocidad del viento, asumiendo que ambos aviones están volando a la misma velocidad.
7. Una empresa de taxis ubicada en el aeropuerto cobra una tarifa básica, más una tarifa adicional por cada milla que recorre. Si un viaje de 12 millas cuesta $14,29 y un viaje de 17 millas cuesta $19,91, calcula:
   1. La tarifa básica
   2. El costo adicional por milla
   3. El costo de un viaje de 7 millas
8. Las llamadas realizadas desde una cabina telefónica tienen una tarifa por minuto durante los primeros cinco minutos, después de ese tiempo, tiene una tarifa diferente por cada minuto adicional. Si una llamada de 7 minutos cuesta $4,25 y una llamada de 12 minutos cuesta $5,50, encuentra el costo de cada tarifa.
9. Un gásfiter y un obrero fueron contratados para instalar un baño nuevo, cada uno trabaja durante un número diferente de horas. El gásfiter gana $35 por hora y el obrero gana $28 por hora. De manera conjunta, se les pagó $330,75, pero el gásfiter ganó $106,75 más que el obrero. ¿Cuántas horas trabajó cada uno?
10. Paul tiene un trabajo de medio tiempo en el que vende computadores en una tienda local de electrónica. Gana un salario fijo por hora, pero puede ganar un bono por la venta de garantías para los computadores que vende. Paul trabaja 20 horas a la semana. En su primera semana, vendió 8 garantías y ganó $220. En su segunda semana, logró vender 13 garantías y ganó $280. ¿Cuál es el salario por hora de Paul? ¿Cuánto dinero extra gana por vender cada garantía?