Sistemas Lineales con el Método de Multiplicación

Digamos que te presentan un sistema de ecuaciones lineales como Y ¿Cómo podrías despejar una de las variables mediante la eliminación de la otra? Tras completar esta sección, serás capaz de resolver un sistema de ecuaciones lineales mediante el uso de la multiplicación y luego la eliminación.

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CK-12 Foundation: 0705S Solving Linear Systems by Elimination and Multiplication (H264)

Orientación

Hasta el momento, hemos visto que el método de eliminación funciona bien cuando sucede que el coeficiente de una variable es la misma (u opuesta) en las dos ecuaciones. ¿Pero qué pasaría si las dos ecuaciones no tienen ningún coeficiente que sea igual?

Sucede que aún podemos utilizar el método de eliminación, solo tenemos que hacer coincidir uno de los coeficientes. Podemos lograr esto al multiplicar una o las dos ecuaciones por una constante.

A continuación, hay un resumen rápido de cómo lograr esto. Considera las siguientes preguntas:

1. Si 10 manzanas cuestan $5, ¿cuánto costarían 30 manzanas?
2. Si 3 bananas más 2 zanahorias cuestan $4, ¿cuánto costarán 6 bananas más 4 zanahorias?

Si observas la primera ecuación, es obvio que cada manzana cuesta $0,50. De forma que 30 manzanas deberían costar $15,00.

La segunda ecuación es más complicada, porque no es obvio el precio individual de cada banana o zanahoria. Sin embargo, sabemos que la respuesta a la pregunta 2 es $8,00. ¿Cómo lo sabemos?

Si nos centramos nuevamente en la pregunta 1, notamos que podemos escribir una ecuación: ( es el costo de 1 manzana). Entonces, para encontrar el costo de 30 manzanas, podríamos resolver y luego multiplicar por 30, pero también podríamos simplemente multiplicar la ecuación por 3 a ambos lados. Obtendríamos , y eso nos dice que 30 manzanas cuestan $15.

Y podemos hacer lo mismo con la segunda pregunta. La ecuación para esta situación es , y podemos notar que necesitamos resolver , que es simplemente 2 veces Así que de manera algebraica, simplemente estamos multiplicando por 2 la ecuación completa:

De esta forma, cuando multiplicamos una ecuación, todo lo que estamos haciendo es multiplicar cada término de la ecuación por una cantidad fija.

Resolver un Sistema Lineal Mediante la Multiplicación de Una Ecuación

Si podemos multiplicar cada término de una ecuación por un número fijo (un escalar ), significa que podemos usar el método de adición en un conjunto completamente nuevo de sistemas lineales. Podemos manipular las ecuaciones en un sistema para asegurarnos de que los coeficientes de una de las variables coincidan.

Esta es la forma más fácil de resolver un problema cuando el coeficiente de una variable en una ecuación es múltiplo del coeficiente en la otra ecuación.

Ejemplo A

Resuelve el sistema:

Solución

Puedes ver fácilmente que si multiplicamos por 2 la segunda ecuación, los coeficientes de serán +4 y -4, lo que nos permitirá Resuelve el sistema mediante el uso del método de adición:

2 veces la ecuación 2:

Ahora, simplemente sustituye nuevamente este valor de en la primera ecuación:

Ejemplo B

Anne está remando su bote a lo largo de un río. Al remar río abajo, le toma 2 minutos recorrer 400 yardas. Al remar río arriba, le toma 8 minutos recorrer las mismas 400 yardas. Si ella estuvo remando con la misma fuerza en ambas direcciones, calcula (en yardas por minuto) la velocidad del río y la velocidad a la que Anne viajaría en aguas calmas.

Solución

Paso 1: Primero, transformamos nuestro problema en ecuaciones. Sabemos que la distancia recorrida es igual a velocidad tiempo . Tenemos dos incógnitas, así que vamos a llamar , a la velocidad del río e . a la velocidad a la que Anne rema. Cuando Anne rema río abajo, su velocidad total es la velocidad a la que rema más la velocidad del río, es decir . Cuando Anne rema río arriba, su velocidad es aminorada por la velocidad del río, es decir, su velocidad es .

Ecuación río abajo:

Ecuación río arriba:

Mediante distribución, obtenemos el siguiente sistema:

Hasta este punto, no podemos usar el método de eliminación, porque ninguno de los coeficientes coincide. Pero si multiplicamos por 4 la primera ecuación, los coeficientes de serían +8 y -8. Hagámoslo:

Ahora, dividimos por 16 y obtenemos .

Sustituimos nuevamente este valor en la primera ecuación:

Anne rema a una velocidad de 125 yardas por minuto y la velocidad del río es de 75 yardas por minuto.

Resolver un Sistema Lineal Mediante la Multiplicación de Ambas Ecuaciones

¿Qué haríamos si ninguno de los coeficientes coincide y ninguno de ellos es múltiplo del coeficiente de la otra ecuación? Hacemos lo mismo que cuando sumamos fracciones: tenemos que encontrar un mínimo común múltiplo , (es decir, el menor múltiplo en común de los dos denominadores). A veces, tenemos que reescribir no solo una, sino que las dos fracciones para lograr que tengan un denominador común. Del mismo modo, a veces, tenemos que multiplicar ambas ecuaciones por diferentes constantes para lograr que uno de los coeficientes coincida.

Ejemplo C

Andrew y Anne usan la compañía I-Haul de renta de camiones para trasladar sus pertenencias desde su hogar hasta la residencia ubicada en el campus de la universidad de Chicago. I-Haul tiene una tarifa por día y una tarifa adicional por milla. Andrew viaja desde San Diego, California, una distancia de 2.060 millas en cinco días. Anne viaja 880 millas desde Norfolk, Virginia, y le toma tres días. Si Anne paga $840 y Andrew paga $1.845, ¿cuál es la tarifa de I-Haul?:

a) ¿Por día?

b) ¿Por milla recorrida?

Solución

Primero, planteamos las ecuaciones. Nuevamente tenemos 2 incógnitas: la tarifa por día (que llamaremos ), y la tarifa por milla (que llamaremos ).

Ecuación de Anne:

Ecuación de Andrew:

No podemos simplemente multiplicar una de las ecuaciones por un número entero para lograr coeficientes iguales. Pero si observamos los coeficientes de (ya que se puede trabajar de manera más fácil con ellos que con los coeficientes de ),notamos que ambos tienen como común múltiplo 15 (de hecho, 15 es el mínimo común múltiplo ). De esta forma, podemos multiplicar ambas ecuaciones.

Multiplica la primera ecuación por 5:

Multiplica la segunda ecuación por 3:

Resta:

Sustituye nuevamente esto en la primera ecuación:

La compañía I-Haul cobra $60 por día, más $0,75 por milla.

Mira este video si necesitas ayuda con los ejemplos anteriores.

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CK-12 Foundation: Linear Systems by Elimination and Multiplication

Vocabulario

• Método de eliminación: El propósito de resolver un sistema mediante el método de eliminación es cancelar o eliminar una variable, ya sea a través de la suma o resta de las dos ecuaciones. A veces, primero se debe multiplicar las ecuaciones por escalares para eliminar una variable.

• Mínimo común múltiplo: El mínimo común múltiplo es el menor valor por el que se pueden dividir dos o más cantidades sin dejar resto. .

Práctica Guiada

Resuelve el sistema .

Solución:

Ni ni tienen coeficientes inversos aditivos, pero las variables de sí comparten un factor común de 2. En consecuencia, podemos eliminar con mayor facilidad.

Para lograr que tenga el mismo coeficiente en cada ecuación, debemos multiplicar una ecuación por el factor que no se comparte en el coeficiente en la otra ecuación. Necesitamos multiplicar la primera ecuación por 3 y la segunda ecuación por 2, lo que hace que una de ellas tenga valor negativo:

Para encontrar el valor de utiliza la Propiedad de Sustitución en cualquiera de las ecuaciones.

La solución a este sistema es .

Práctica

Resuelve los siguientes sistemas mediante multiplicación.