Comparar Métodos para Resolver Sistemas Lineales

En esta sección, aprenderás a decidir qué método es el más adecuado para resolver un sistema de ecuaciones lineales en una situación determinada.

Digamos que tienes un sistema de ecuaciones lineales como $x - y = 10$ y $2y = 3x + 5$ ¿Cómo podrías saber el mejor método para resolverlo? Tras completar esta sección, serás capaz de resolver un sistema de ecuaciones lineales mediante el uso del método que escojas.

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CK-12 Foundation: 0706S Comparing Methods for Solving Linear Systems by Elimination (H264)

*Este video solo está disponible en inglés

Orientación

Ahora que ya hemos visto los métodos más importantes que se usan para resolver ecuaciones lineales, hagamos un repaso. Para hacerlo de manera más sencilla, los analizaremos en una tabla. Esto debería ayudarte a decidir qué método sería el más adecuado para una situación determinada.

Método:	Mejor usarlo cuando…	Ventajas:	Comentario:
Uso de Gráficos	…no necesitas una respuesta precisa.	Muchas veces es más fácil ver los números y la calidad de intersecciones en un gráfico. Con una calculadora gráfica, este puede ser el método más rápido, ya que no tienes que realizar ningún cálculo.	Puede llevar a respuestas imprecisas con soluciones que no son números enteros.
Sustitución	...tienes una ecuación explícita para una variable (por ejemplo, $y = 14x + 2$ )	Funciona en todos los sistemas. Reduce el sistema a una variable, lo que hace que sea más fácil de resolver.	Muchas veces, no te dan funciones explicitas en problemas de sistemas, así que podrías tener que trabajar más para generar una de las ecuaciones en esa forma.
Eliminación por adición o sustracción	…los coeficientes que tienes coinciden en una variable en ambas ecuaciones.	Es más fácil combinar ecuaciones para eliminar una variable. Rápido de resolver.	No es muy común que un sistema determinado tenga coeficientes que coincidan.
Eliminación por multiplicación y, luego, adición y sustracción	…no tienes variables definidas explícitamente o algún coeficiente que coincida.	Funciona en todos los sistemas. Es posible combinar ecuaciones para eliminar una variable.	A menudo, se necesita más manipulación algebraica para preparar las ecuaciones.

La tabla anterior es solamente una guía. Podrías preferir usar el método de gráficos para todos los sistemas con el fin de entender mejor lo que está ocurriendo o podrías preferir usar el método de multiplicación, incluso cuando el método de sustitución funcionara igual de bien.

Ejemplo A

Dos ángulos son complementarios cuando la suma de ambos es $90^\circ$ . Los ángulos $A$ y $B$ son complementarios y el doble de la medida del ángulo $A$ es $9^\circ$ mayor que tres veces la medida del ángulo $B$ . Encuentra la medida de cada ángulo.

Solución

En primer lugar, escribimos nuestras dos ecuaciones. Usaremos c $x$ como la medida del ángulo $A$ e $y$ como la medida del ángulo $B$ . Obtenemos el siguiente sistema:

$x + y &= 90\\\2x &= 3y + 9$

Resolveremos este sistema con el método de gráficos. Para esto, necesitamos convertir las dos ecuaciones a la forma $y = mx + b$ :

$& x + y = 90 \qquad \ \Rightarrow y = -x + 90\\\& 2x = 3y + 9 \qquad \Rightarrow y = \frac{2}{3}x - 3$

La primera recta posee una pendiente de -1 y un intercepto en $y-$ de 90, y la segunda recta posee una pendiente de $\frac{2}{3}$ y un de $y-$ intercept of -3. El gráfico luce como el siguiente:

En el gráfico, parece que las rectas se intersectan aproximadamente en $x = 55, y =35$ , pero es difícil establecerlo con exactitud. En este caso, hacer los gráficos de forma manual no es el mejor método.

Ejemplo B

En este ejemplo, trataremos de resolver el mismo problema anterior mediante el uso de la sustitución. Observemos nuevamente el sistema:

$x + y &= 90\\\2x &= 3y + 9$

Ya nos dimos cuenta que podemos empezar resolviendo $y$ , en cualquier ecuación, así que comencemos con la primera:

$y = 90 - x$

Sustituye en la segunda ecuación:

$& 2x = 3(90 - x) + 9 && distribute \ the \ 3:\\\& 2x = 270 - 3x + 9 && add \ 3x \ to \ both \ sides:\\\& 5x = 270 + 9 = 279 && divide \ by \ 5:\\\& x = 55.8^\circ$

Sustituye nuevamente en nuestra expresión para $y$ :

$y = 90 - 55.8 = 34.2^\circ$

El ángulo $A$ mide $55.8^\circ$ ; y el ángulo $B$ mide $34.2^\circ$ .

Ejemplo C

Finalmente, en este ejemplo, trataremos de resolver el mismo problema anterior mediante el uso de la eliminación (con multiplicación):

Reordena la primera ecuación a la forma estándar:

$& x + y = 90 \qquad \Rightarrow 2x + 2y = 180$

Multiplica la segunda ecuación por 2:

$&2x = 3y + 9 \qquad \Rightarrow 2x - 3y = 9$

Resta:

$& \quad \qquad \qquad \qquad 2x + 2y = 180\\\& \qquad \qquad \ - \ \ (2x - 3y) = -9\\\& \qquad \qquad \underline{\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\\& \quad \qquad \qquad \qquad \qquad 5y = 171\\\\\\& \text{Divide by 5 to obtain} \ y = 34.2^\circ$

Resta este valor en la primera ecuación:

$x + 34.2 &= 90 && subtract \ 34.2 \ from \ both \ sides:\\\x &= 55.8^\circ$

El ángulo $A$ mide $55.8^\circ$ ; y el ángulo $B$ mide $34.2^\circ$ .

A pesar de que parecía ideal resolver este sistema mediante el uso del método de sustitución, el método de multiplicación también funcionó. Una vez que reordenamos las ecuaciones apropiadamente, obtuvimos la solución de forma rápida. De aquí en adelante, tendrás que decidir qué método usar en cada caso. Trata de dominar todas las técnicas y de reconocer cuál será el método más eficiente para resolver cada sistema que se te presente.

Mira este video si necesitas ayuda con los ejemplos anteriores.

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CK-12 Foundation: Comparing Methods for Solving Linear Systems

*Este video solo está disponible en inglés

Vocabulario

Un sistema lineal de ecuaciones es un grupo de ecuaciones que se debe resolver de manera conjunta para encontrar la solución única que es correcta para ambas.

Resolver sistemas lineales mediante el uso de sustitución significa despejar una variable en una ecuación y luego sustituirla en la otra ecuación, lo que resuelve la otra variable.

El propósito de resolver un sistema mediante el método de eliminación es cancelar o eliminar una variable, ya sea a través de la suma o resta de las dos ecuaciones. A veces, primero se debe multiplicar las ecuaciones por escalares para eliminar una variable.

Práctica Guiada

Resuelve el sistema $\begin{cases}5s+2t=6\\\9s+2t=22\end{cases}$ .

Solución:

Debido a que ambas ecuaciones están escritas en forma estándar y ambas contienen el término $2t$ en sus expresiones, vamos a utilizar la eliminación por sustracción para resolver el sistema. Esto causará que se eliminen los términos $t$ y nos quedaremos con la variable $s$ , que luego se puede despejar.

$& \qquad \ 5s+2t=6\\\&\underline{\;\; - \ (9s+2t = 22) \;\;}\\\& \qquad \ -4s+0t =-16\\\& \qquad \ -4s=-16\\\& \qquad \ s=4$

$5(4)+2t&=6\\\20+2t&=6\\\2t&=-14\\\t&=-7$

La solución es $(4,-7)$ .

Práctica

Resuelve los siguientes sistemas mediante el uso de cualquier método.

$x = 3y\!\\\x - 2y = -3$
$y = 3x + 2\!\\\y = -2x + 7$
$5x - 5y = 5\!\\\5x + 5y = 35$
$y = -3x - 3\!\\\3x - 2y + 12 = 0$
$3x - 4y = 3\!\\\4y + 5x = 10$
$9x - 2y = -4\!\\\2x - 6y = 1$
Los ángulos suplementarios son dos ángulos cuya suma es igual a $180^\circ$ . Los ángulos $A$ Y $B$ son ángulos suplementarios. La medida del ángulo $A$ es $18^\circ$ menor que el doble de la medida del ángulo $B$ . Encuentra la medida de cada ángulo.
Un agricultor tiene fertilizante en soluciones del 5% y 15%. ¿Cuánta solución de cada tipo debe mezclar para obtener 100 litros de fertilizante en una solución del 12%?
Una tubería de 150 yardas es cortada para proporcionar alcantarillado a dos campos. Si la longitud de una de las piezas es tres yardas menor que el doble de la longitud de la segunda pieza, ¿cuáles son las longitudes de cada pieza?
El Sr. Stein invirtió un total de $100.000 en dos compañías durante un año. Las acciones de la compañía A mostraron una ganancia anual del 13%, mientras que las de la compañía B mostraron una pérdida anual del 3%. El Sr. Stein recibió una ganancia del 8% de su inversión durante el año. ¿Cuánto dinero invirtió en cada compañía?

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