Sistemas Lineales Consistentes e Inconsistentes

Digamos que te presentan un sistema de ecuaciones lineales como y ¿Cómo podrías reescribir estas ecuaciones para determinar el número de soluciones que tiene el sistema? Tras completar esta sección, serás capaz de identificar si un sistema de ecuaciones como los presentados es inconsistente, consistente o dependiente.

Mira esto.

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CK-12 Foundation: 0707S Special Types of Linear Systems (H264)

Orientación

Como vimos en la sección 7.1, un sistema de ecuaciones lineales es un grupo de ecuaciones lineales que se debe resolver de forma conjunta. Las rectas en el sistema pueden ser graficadas en el mismo gráfico de coordenadas y la solución al sistema es el punto en que las dos rectas se intersectan.

O, al menos, eso es lo que sucede comúnmente. Pero, ¿qué pasaría si las rectas resultan ser paralelas cuando las graficamos?

Si las rectas son paralelas, nunca se intersectarán. Esto quiere decir que el sistema de ecuaciones que representan no tiene solución. Un sistema que no tiene soluciones es llamado sistema inconsistente.

Y ¿qué pasaría si las rectas resultan ser idénticas?

Si las dos rectas son iguales, entonces cada punto ubicado sobre una de las rectas se encuentra también en la otra recta, de esta forma, cada punto sobre la recta es una solución al sistema. El sistema posee un número infinito de soluciones y las dos ecuaciones son simplemente formas diferentes de la misma ecuación. Un sistema como ese es llamado sistema dependiente. .

Sin embargo, comúnmente dos rectas se cruzan en un punto exacto y el sistema posee solo una solución:

Un sistema que posee solo una solución es llamado un sistema consistente. .

Para identificar un sistema como consistente, inconsistente , o dependiente , podemos graficar las dos rectas en el mismo gráfico y ver si se intersectan, son paralelas o son la misma recta. Sin embargo, a veces es difícil decir si las dos rectas son paralelas con solo mirar un gráfico dibujado toscamente.

Otra opción es escribir cada recta en la forma pendiente-intercepto y comparar las pendientes y los interceptos en de las dos rectas. Para hacer esto, debemos recordar lo siguiente:

• Las rectas con diferentes pendientes siempre se intersectan.
• Las rectas con la misma pendiente, pero con diferentes interceptos en son paralelas.
• Las rectas con la misma pendiente y el mismo intercepto en son idénticas.

Ejemplo A

Determina si el siguiente sistema tiene solo una solución, ninguna solución o un número infinito de soluciones.

Solución

Debemos reescribir las ecuaciones para que estén en la forma pendiente-intercepto:

Las pendientes de las dos ecuaciones son diferentes: Por lo tanto, las rectas se deben cruzar en un único punto y el sistema tiene exactamente una solución. Este es un sistema consistente.

Ejemplo B

Determina si el siguiente sistema tiene solo una solución, ninguna solución o un número infinito de soluciones.

Solución

Debemos reescribir las ecuaciones para que estén en la forma pendiente-intercepto:

Las pendientes de las dos ecuaciones son iguales, pero los interceptos en son diferentes: Por lo tanto, las rectas son paralelas y el sistema no tiene soluciones. Este es un sistema inconsistente.

Ejemplo C

Determina si el siguiente sistema tiene solo una solución, ninguna solución o un número infinito de soluciones.

Solución

Debemos reescribir las ecuaciones para que estén en la forma pendiente-intercepto:

Las rectas son idénticas: Por lo tanto, el sistema tiene un número infinito de soluciones. Este es un sistema dependiente.

Mira este video si necesitas ayuda con los ejemplos anteriores.

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CK-12 Foundation: Special Types of Linear Systems

Vocabulario

• Un sistema inconsistente . es un sistema sin soluciones. En las ecuaciones lineales, esto se da cuando las rectas son paralelas.

• Un sistema consistente
es un sistema en el que las dos ecuaciones se intersectan en uno, varios o infinitos puntos.

• Las rectas coincidentes son rectas con la misma pendiente e interceptos en Las rectas se superponen completamente.

• Cuando resuelves un sistema de rectas coincidentes, la ecuación resultante no tendrá variables y la afirmación será verdadera. Puedes concluir que el sistema tiene un número infinito de soluciones. A este sistema se le llama sistema consistente-dependiente. .

Práctica Guiada

Determina si el siguiente sistema tiene solo una solución, ninguna solución o un número infinito de soluciones:

¿Qué tipo de sistema es este?

Solución:

Es más fácil comparar ecuaciones cuando se encuentran en la misma forma. Reescribiremos la primera ecuación a la forma pendiente-intercepto.

Como las dos ecuaciones tienen la misma pendiente, pero diferentes interceptos en son rectas diferentes, pero paralelas. Las rectas paralelas nunca se intersectan, por lo tanto, este sistema no tiene soluciones.

Como las rectas son paralelas, este es un sistema inconsistente.

Práctica

Expresa cada ecuación en la forma pendiente-intercepto. Sin graficar, determina si el sistema de ecuaciones es consistente, inconsistente o dependiente.