Determinar el Tipo de Sistema Lineal

Digamos que te presentan un sistema de ecuaciones lineales como y ¿Cómo podrías utilizar la solución a este sistema para determinar si el sistema es consistente, inconsistente o dependiente? Tras completar esta sección, serás capaz de determinar de manera algebraica el tipo de sistema al que te enfrentas.

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CK-12 Foundation: 0708S Determining the Type of Linear Systems (H264)

Orientación

Una tercera opción para identificar si un sistema es consistente, inconsistente o dependiente es resolver el sistema y usar el resultado como una guía.

Ejemplo A

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones. Identifica el sistema como consistente, inconsistente o dependiente.

Solución

Resolvamos este sistema mediante el uso del método de sustitución.

Despeja la en la segunda ecuación:

Sustituye la expresión para en la primera ecuación:

Sustituye nuevamente el valor de en la segunda ecuación y resuelve :

La solución al sistema es . El sistema es consistente ya que solo tiene una solución.

Ejemplo B

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones. Identifica el sistema como consistente, inconsistente o dependiente.

Solución

Resolvamos este sistema mediante el uso del método de multiplicación.

Multiplica por 3 la primera ecuación:

Suma las dos ecuaciones:

Si nuestra solución a un problema resulta ser una afirmación que no es verdadera, entonces el sistema no tiene realmente una solución, es inconsistente.

Ejemplo C

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones. Identifica el sistema como consistente, inconsistente o dependiente.

Solución

Resolvamos este sistema mediante el uso del método de sustitución.

Despeja en la primera ecuación: :

Sustituye esta expresión para en la segunda ecuación:

Esta afirmación siempre es verdadera.

Si nuestra solución a un problema resulta ser una afirmación que siempre es verdadera, entonces el sistema es dependiente.

Un segundo vistazo al sistema presentado en este ejemplo revela que la segunda ecuación es tres veces la primera ecuación, por lo que las dos rectas son idénticas. El sistema tiene un número infinito de soluciones, porque en realidad las ecuaciones son las mismas y trazan la misma recta.

Clarifiquemos esta afirmación. Un número infinito de soluciones no significa que cualquier par ordenado satisface el sistema de ecuaciones. Solamente los pares ordenados que resuelven la ecuación en el sistema (cualquiera de las ecuaciones) son las soluciones al sistema. Existen infinitas de estas soluciones al sistema, porque existen infinitos puntos en una sola recta.

Por ejemplo, (1, -1) es una solución a un sistema y también lo es (-1, 7). Cada uno de estos pares ordenados calza en ambas ecuaciones, debido a que ambas ecuaciones son realmente la misma ecuación. Sin embargo, (3, 5) no calza en ninguna ecuación y no es una solución al sistema.

De hecho, por cada valor de existe un valor de que es apropiado para ambas ecuaciones y por cada valor de existe exactamente un valor de ,de forma similar para cualquier recta simple.

Mira este video si necesitas ayuda con los ejemplos anteriores.

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CK-12 Foundation: Determining the Type of Linear System

Vocabulario

• Un sistema consistente brindará siempre una sola solución.
• Un sistema inconsistente producirá una afirmación que siempre es falsa (por ejemplo, ).
• Un sistema dependiente producirá una afirmación que siempre es verdadera (por ejemplo, ).

Práctica Guiada

Identifica el sistema como consistente, inconsistente o dependiente.

Solución: El método de eliminación es el mejor para resolver este sistema, porque ambas ecuaciones se encuentran en la forma estándar.

Multiplica por 3 la primera ecuación.

Resta las dos ecuaciones.

Esta es una afirmación falsa: Por lo tanto, puedes concluir:

1. Estas rectas son paralelas.
2. El sistema no tiene solución.
3. El sistema es inconsistente.

Práctica

Encuentra la solución a cada sistema de ecuaciones mediante el uso del método que escojas. Identifica si el sistema es consistente, inconsistente o dependiente.