Aplicaciones de Sistemas Lineales

Digamos que estás jugando un juego en el que recaudas dinero de casas y hoteles, y te dicen que tres casas y un hotel valen $1750, mientras que una casa y tres hoteles valen $3250. ¿Cómo podrías encontrar el valor de cada casa y cada hotel? Tras completar esta sección, serás capaz de resolver problemas del mundo real que involucren sistemas lineales como el anterior.

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CK-12 Foundation: 0709S Applications of Linear Systems

Orientación

En esta sección, veremos cómo pueden surgir sistemas consistentes, inconsistentes y dependientes en problemas del mundo real.

Ejemplo A

La tienda de arriendo de películas CineStar ofrece a sus clientes dos opciones: Pueden pagar una membresía anual de $45 y luego arrendar cada película por $2 o pueden escoger no pagar la membresía y arrendar cada película por $3,50. ¿Cuántas películas deberías arrendar antes de que pagar la membresía se convierta en la opción más económica?

Solución

Traslademos este problema a lenguaje algebraico. Dado que hay dos opciones diferentes a considerar, escribiremos dos ecuaciones diferentes y formaremos un sistema.

Las dos alternativas son "con membresía" y "sin membresía". Llamaremos al número de películas que arriendas e al costo total de arrendar películas por un año. .

	Tarifa fija	Tarifa de arriendo	Total
Con membresía	$45
Sin membresía	$0

La tarifa fija es la cantidad en dólares que pagas al año y la tarifa de arriendo es la cantidad en dólares que pagas cuando arriendas una película. En la opción con membresía, la tarifa de arriendo es , debido a que pagarías $2 por cada película que arrendarás. En la opción sin membresía, la tarifa de arriendo es , debido a que pagarías $3,50 por cada película que arrendarás.

Nuestro sistema de ecuaciones es el siguiente:

A continuación, el gráfico del sistema:

Ahora, necesitamos encontrar el punto exacto de intersección. Dado que , ya está despejada en cada ecuación, podemos resolver fácilmente el sistema con el método de sustitución. Sustituye la segunda ecuación en la primera:

Tendrías que arrendar 30 películas al año antes de que la membresía se convierta en la mejor opción.

Este ejemplo muestra una situación real en donde un sistema de ecuaciones consistente es útil para encontrar la solución. Recuerda que en un sistema consistente las rectas que lo componen se intersectan en un único punto. En otras palabras, las rectas no son paralelas o las pendientes son diferentes.

En este caso, las pendientes de las rectas representan el precio de arriendo por película. Las rectas se intersectan, porque el precio de arriendo por película es diferente para las dos opciones en el problema.

A continuación, examinemos una situación en la que el sistema es inconsistente. De la explicación anterior, podemos concluir que las rectas no se intersectarán si las pendientes son iguales (y el intercepto en es diferente). Cambiemos el problema anterior de manera que se dé este caso.

Ejemplo B

Dos tiendas de arriendo de películas compiten. La tienda Movie House cobra $30 por una membresía anual y $3 por película arrendada. La tienda Flicks for Cheap cobra $15 por una membresía anual y $3 por película arrendada. ¿Después de cuántas películas arrendadas la tienda Movie House se vuelve la mejor opción?

Solución

Debería estar claro que la tienda Movie House nunca será la mejor opción, ya que su membresía es más costosa y cobra la misma cantidad por película que la tienda Flicks for Cheap.

The lines on a graph that describe each option have different (esto es, 30 para Movie House y 15 para Flicks for Cheap), pero la misma pendiente (3 dólares por película). Esto quiere decir que las rectas son paralelas, por lo que el sistema es inconsistente.

A continuación, veamos cómo funciona esto de manera algebraica. Una vez más, llamaremos al número de películas que arriendas e al costo total de arrendar películas por un año.

	Tarifa fija	Tarifa de arriendo	total
Movie House	$30
Flicks for Cheap	$15

El sistema de ecuaciones que describe este problema es el siguiente:

Resolvamos este sistema mediante la sustitución de la segunda ecuación en la primera:

Esto quiere decir que el sistema es inconsistente.

Ejemplo C

Peter compra dos manzanas y tres bananas por $4. Nadia compra en la misma tienda cuatro manzanas y seis bananas por $8. ¿Cuánto cuesta una banana y cuánto cuesta una manzana?

Solución

Debemos escribir las dos ecuaciones: una para la compra de Peter y otra para la compra de Nadia.

Digamos que es el costo de una manzana y es el costo de una banana.

	Costo de las manzanas	Costo de las bananas	Costo total
Peter
Nadia

El sistema de ecuaciones que describe este problema es el siguiente:

Resolvamos este sistema mediante la multiplicación por -2 de la primera ecuación y la suma de las dos ecuaciones:

Esta afirmación siempre es verdadera, lo que significa que el sistema es dependiente.

Si analizamos el problema una vez más, podemos observar que se nos dio exactamente la misma información en ambas afirmaciones. Si Peter compra dos manzanas y tres bananas por $4, tiene sentido que si Nadia compra el doble de manzanas (cuatro manzanas) y el doble de bananas (seis bananas), ella va a pagar el doble del precio ($8). Como la segunda ecuación no nos brinda ninguna información nueva, no hace posible encontrar el precio de cada fruta.

Mira este video si necesitas ayuda con los ejemplos anteriores.

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Vocabulario

• Un sistema de ecuaciones lineales es un grupo de ecuaciones que se debe resolver de manera conjunta para encontrar la solución única que sirve a ambas.

• Resolver sistemas lineales mediante sustitución significa despejar una variable en una ecuación y luego sustituirla en la otra ecuación, lo que resuelve la otra variable.

• El propósito de resolver un sistema mediante el método de eliminación es cancelar o eliminar una variable, ya sea a través de la suma o la resta de dos ecuaciones. A veces, primero se debe multiplicar la ecuación por escalares para eliminar una variable.

• Un sistema consistente siempre da una solución exacta.

• Un sistema inconsistente producirá una afirmación que siempre es falsa (por ejemplo, ).

• Un sistema dependiente producirá una afirmación que siempre es verdadera (por ejemplo, ).

Práctica Guiada

Un panadero vende pasteles simples a $7 y pasteles decorados a $11. En un sábado muy ajetreado, el panadero comenzó con 120 pasteles y los vendió todos, menos tres. Sus ganancias del día fueron de $991. ¿Cuántos pasteles simples vendió ese día? ¿Cuántos pasteles estaban decorados antes de ser vendidas?

Solución:

	Pasteles simples	Pasteles decoradas	Total/th>
Pasteles vendidos	p	d
Costo de los pasteles	7p	11d	$991

El sistema de ecuaciones que describe este problema es el siguiente:

Resolvamos este sistema mediante la sustitución de la segunda ecuación en la primera:

Podemos sustituir en la primera ecuación para resolver .

El panadero vendió 74 pasteles simples y 43 pasteles decorados.

Práctica

1. El doble de la edad de John más cinco veces la edad de Claire es igual a 204. Nueve veces la edad de John menos tres veces la edad de Claire es también igual a 204. ¿Qué edad tienen John y Claire?
2. Juan está tratando de escoger entre dos planes telefónicos. La primera compañía cobra $120 por el teléfono y $30 mensuales por el plan de llamadas que Juan desea. La segunda compañía cobra $40 por el mismo teléfono, pero $45 mensuales por el plan de llamadas que Juan desea. ¿Después de cuántos meses el costo total de los dos planes sería el mismo?
3. Jamal hizo dos pedidos a una tienda en línea de ropa. El primer pedido fueron 13 corbatas y 4 pares de suspensores por un total de $487. El segundo pedido fueron 6 corbatas y 2 pares de suspensores por un total de $232. La cuenta no incluye el precio por producto, pero todas las corbatas valen lo mismo y todos los suspensores valen lo mismo. ¿Cuál es el precio de una corbata y un par de suspensores?
4. Un avión tardó cuatro horas en volar 2400 millas en la dirección de la corriente en chorro. El viaje de regreso, en contra de la corriente en chorro, tomó cinco horas. ¿Cuál era la velocidad del avión en vuelo y la velocidad de la corriente en chorro?

Para las preguntas 5-7, la tarifa de un cine es de $4,50 para niños y $8,00 para adultos.

5. Un día determinado, 1200 personas ingresan al cine y se recaudan $8.375. ¿Cuántos niños y cuántos adultos ingresaron al cine?
6. Al siguiente día, el administrador anuncia que desea que ese día vendan $10.000 en entradas. Si existen 240 asientos en el cine y solo hay cinco funciones planeadas para ese día, ¿es posible alcanzar la meta de $10.000?
7. En el mismo cine, una bebida de 16 onzas cuesta $3 y una bebida de 32 onzas cuesta $5. Si el cine vende 12.480 onzas de bebida por $2.100, ¿Cuántas personas compraron bebidas? Nota: ( Ten cuidado al plantear este problema)

Para las preguntas 8-10 considere la situación: Nadia le dijo a Peter que fue al mercado y compró dos manzanas y una banana por $2,50. Nadia pensó que a Peter le gustaría comer un poco de fruta, así que volvió con el vendedor y compró cuatro manzanas y dos bananas más. Peter le agradeció a Nadia, pero dijo que no le gustaban los plátanos, así que solamente le pagaría las cuatro manzanas. Nadia respondió que la segunda vez pagó $6,00 por la fruta:

8. ¿Qué encontró Peter cuando intentó descifrar el precio de cuatro manzanas?
9. Luego, Nadia le dijo a Peter que había cometido un error y en realidad había pagado $5,00 en la segunda compra. Ahora, ¿qué respuesta obtendrá Peter cuando trate de descifrar cuánto debe pagar a Nadia?
10. Tras un rato, llegó Alicia y les dijo que acababa de comprar 3 manzanas y 2 bananas al mismo vendedor por $4,25. Ahora, ¿cuánto debería pagar Peter a Nadia por las cuatro manzanas?