Sistemas de Inecuaciones Lineales

Digamos que te presentan un sistema de inecuaciones lineales como y ¿Cómo podrías determinar su solución? Tras completar esta sección, serás capaz de solucionar sistemas de inecuaciones lineales resolver como el anterior.

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CK-12 Foundation: 0710S Systems of Linear Inequalities

Orientación

En el último capítulo, aprendiste cómo graficar una inecuación lineal con dos variables. Para lograrlo, graficaste la ecuación de la recta en el plano cartesiano. La recta era una línea sólida para los signos o (en el que se incluían los signos de igualdad) y una línea discontinua para los signos< o=""> (en el que no se incluían los signos de igualdad). Luego, sombreaste arriba de la recta (si la inecuación comenzaba con o ) o bajo la recta (si comenzaba con o ).

En esta sección, veremos cómo graficar dos o más inecuaciones lineales en el mismo plano cartesiano. Las inecuaciones se grafican de forma separada en el mismo gráfico y la solución para el sistema es la región común sombreada entre todas las inecuaciones en el sistema. Una inecuación lineal con dos variables divide el plano en dos medios planos . Un sistema de dos o más inecuaciones lineales puede dividir el plano en formas más complejas.

Comencemos por resolver un sistema de dos inecuaciones.

Graficar un Sistema de Dos Inecuaciones lineales

Ejemplo A

Resuelve el siguiente sistema:

Solución

Resolver sistemas de inecuaciones lineales significa graficar y encontrar las intersecciones. Entonces, graficamos individualmente cada inecuación y luego encontramos las regiones de intersección de la solución.

En primer lugar, reescribamos cada inecuación a la forma pendiente-intercepto. (Recuerda que esta forma hace más fácil determinar qué región sombrear en el plano cartesiano). Nuestro sistema se convierte en lo siguiente:

Fíjate que cambió el signo de desigualdad en la segunda inecuación, porque dividimos por un número negativo.

Para este primer ejemplo, graficaremos cada inecuación por separado y luego combinaremos los resultados.

A continuación, el gráfico de la primera inecuación:

La recta es una línea sólida, porque en la inecuación se incluye el signo de igualdad. Como la inecuación es menor o igual que, sombreamos por debajo de la recta.

A continuación, el gráfico de la segunda inecuación:

Nuevamente, la recta es una línea sólida, porque en la inecuación se incluye el signo de igualdad. Como en la inecuación es mayor o igual que, sombreamos por sobre la recta.

Cuando combinamos los gráficos, podemos observar que las regiones sombreadas de color azul y rojo se superponen. El área en el que se superponen es donde ambas inecuaciones son verdaderas. En consecuencia, esa área (que se muestra a continuación con color púrpura) es la solución del sistema.

Al tipo de solución mostrado en este ejemplo se le llama solución ilimitada , porque se extiende infinitamente por lo menos en una dirección (en este caso, infinitamente hacia arriba y hacia la izquierda).

Ejemplo B

También existen situaciones en donde un sistema de inecuaciones no tiene solución. Por ejemplo, resolvamos el siguiente sistema.

Solución

Empezamos por graficar la primera recta. La recta será una línea sólida, porque la inecuación incluye el signo de igualdad. Debemos sombrear hacia abajo, porque es menor que.

Luego, graficamos la segunda recta en el mismo eje de coordenadas. Esta recta será una línea punteada, porque la inecuación no incluye el signo de igualdad. Debemos sombrear hacia arriba porque es mayor que.

Parece que estas dos regiones sombreadas no se superpondrán para nada. Las dos rectas tienen la misma pendiente, así que sabemos que son paralelas. Lo anterior significa que, de hecho, las regiones no se superpondrán, ya que las rectas nunca se cruzarán. Por lo tanto, este sistema de inecuaciones no tiene solución.

Sin embargo, un sistema de inecuaciones puede a veces tener una solución incluso si las rectas son paralelas. Por ejemplo, ¿qué sucedería si cambiamos las direcciones de los signos de desigualdad en el sistema que acabamos de graficar?

,

Para graficar el sistema, trazamos las mismas rectas que para el sistema anterior, pero sombreamos hacia arriba de la primera inecuación y hacia debajo de la segunda inecuación. A continuación, se encuentra el resultado:

Puedes ver que esta vez las regiones sombreadas se superponen. El área que se encuentra entre las dos rectas es la solución al sistema.

Graficar un Sistema de Más de Dos Inecuaciones lineales

Cuando resolvemos un sistema de solo dos inecuaciones lineales, la solución siempre es una región ilimitada una que continúa infinitamente en, al menos, una dirección. Sin embargo, si juntamos un sistema de más de dos inecuaciones, a veces, podemos obtener una solución que es limitada una región finita con tres o más lados.

Observemos un ejemplo simple.

Ejemplo C

Encuentra la solución al siguiente sistema de inecuaciones.

Solución

Comencemos por escribir nuestras inecuaciones en la forma pendiente-intercepto.

Ahora, podemos graficar cada recta y sombrear apropiadamente. En primer lugar, graficamos :

Luego, graficamos :

Finalmente, graficamos e , y obtenemos la región que se muestra a continuación, que es el lugar donde las cuatro inecuaciones se superponen.

La solución es limitada porque hay rectas a todos los lados de la región de solución. En otras palabras, la región de solución es una figura geométrica limitada, en este caso, es un triángulo.

Fíjate también que sólo tres de las rectas que graficamos en verdad forman los límites de la región. Algunas veces, cuando graficamos múltiples inecuaciones, resulta que algunas de ellas no afectan la solución final. En este caso, la solución sería la misma, incluso si hubiéramos dejado afuera la inecuación . Esto sucede porque la región de solución del sistema formado por las otras tres inecuaciones se encuentra contenida completamente dentro de la región de solución de esa cuarta inecuación. En otras palabras, cualquier solución a las otras tres inecuaciones es automáticamente una solución para la cuarta, así que sumar esta última inecuación no reduce la región de solución en lo absoluto.

Sin embargo, eso no fue obvio hasta que dibujamos el gráfico.

Mira este video si necesitas ayuda con los ejemplos anteriores.

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CK-12 Foundation: Systems of Linear Inequalities

Vocabulario

• Solución al sistema de inecuaciones: La solución a un sistema de inecuaciones es la región común sombreada que se encuentra entre todas las inecuaciones del sistema.

• Región factible: La región común sombreada del sistema de inecuaciones recibe el nombre de región factible. .

• Optimización: El objetivo es localizar la región factible del sistema y utilizarla para responder una pregunta de rentabilidad u optimización. .

Práctica Guiada

Escribe el sistema de inecuaciones que se muestra a continuación. .

Solución:

Hay dos rectas limítrofes, por lo que existen dos inecuaciones. Escribe cada una en la forma pendiente-intercepto.

Práctica

1. Considera el sistema . ¿Es consistente o inconsistente? ¿Por qué?
2. Considera el sistema . ¿Es consistente o inconsistente? ¿Por qué?
3. Considera el sistema . ¿Es consistente o inconsistente? ¿Por qué?
4. En el ejemplo 3 de esta sección, resolvimos un sistema de cuatro inecuaciones y observamos que una de las inecuaciones, , no afectaba la solución del sistema.
   1. ¿Qué pasaría si reemplazáramos esa inecuación por ?
   2. ¿Qué otra inecuación podríamos agregar al sistema original sin que sufra un cambio? Demuestra cómo hacerlo mediante la gráfica de esa inecuación junto al resto del sistema.
   3. ¿Qué otra inecuación podríamos agregar al sistema original para que se vuelva inconsistente? Demuestra cómo hacerlo mediante la gráfica de esa inecuación junto al resto del sistema.
5. Recuerda las inecuaciones compuestas con una variable con las que trabajamos en el capítulo 6. Las inecuaciones compuestas con "y" son sistemas simples como los sistemas con los que estamos trabajando en esta sección, excepto que tienen una variable, en vez de dos.
   1. Graficar la inecuación en dos dimensiones. ¿Qué otra inecuación podría ser combinada con esta para que se vuelva un sistema inconsistente?
   2. Graficar la inecuación en una recta numérica. ¿Qué sistema bidimensional tendría un gráfico que luciría igual que este?

Encontrar la región de solución de los siguientes sistemas de inecuaciones.

Recursos de Texas Instruments

En el FlexBook "CK-12 Texas Instruments Algebra I", hay actividades para calculadoras graficas diseñadas para complementar los objetivos de algunas de las lecciones en este Capítulo. Vea http://www.ck12.org/flexr/chapter/9617 .