Programación Lineal

En esta sección, aprenderás a analizar y encontrar la(s) posible(s) solución(es) a un sistema de inecuaciones que se encuentra(n) bajo un conjunto determinado de restricciones.

Digamos que tienes una ecuación como $z = x + y$ en la que se colocan un conjunto de restricciones como $x - y \le 4$ , $x + y \le 2,$ y $2x + 3y \ge -3$ ¿Cómo encontrarías los valores mínimos y máximos de z ? Tras completar esta sección, serás capaz de analizar un sistema de inecuaciones para realizar las mejores decisiones teniendo en cuenta las restricciones que tiene la situación.

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CK-12 Foundation: 0711S Linear Programming

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Las calculadoras gráficas pueden ser muy útiles para resolver problemas que involucran inecuaciones. El siguiente video muestra un problema de programación lineal del mundo real analizado en detalle en una calculadora gráfica, aunque los métodos usados ahí también pueden ser usados en la resolución del problema con papel y lápiz.

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Stacy Reagan: Linear Programming

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Orientación

Muchos de los problemas interesantes del mundo real se pueden solucionar con sistemas de inecuaciones lineales.

Por ejemplo, vas a tu restaurante favorito y quieres que te atienda tu mejor amigo que trabaja allí. Sin embargo, tu amigo solo atiende mesas en una sección determinada del restaurante. El lugar es también conocido por sus increíbles vistas, así que te quieres sentar en un área determinada del restaurante que ofrezca una buena vista. Resolver un sistema de inecuaciones lineales te permitirá encontrar el área en el restaurante en donde te puedes sentar para obtener la mejor vista y ser atendido por tu amigo.

Con frecuencia, los sistemas de inecuaciones lineales se ocupan de problemas en los que estás tratando de encontrar la mejor situación posible considerando un conjunto dado de restricciones. La mayoría de estos problemas de aplicación se incluyen en una categoría llamada problemas de programación lineal .

La programación lineal es el proceso de tomar varias inecuaciones lineales relacionadas con alguna situación y encontrar el mejor valor posible bajo estas condiciones. Un ejemplo común sería tomar las restricciones de los materiales y el trabajo en una fábrica, y luego determinar los mejores niveles de producción para maximizar las ganancias bajo estas condiciones. Estos tipos de problemas se usan diariamente en la organización y distribución de recursos. Estos sistemas cotidianos pueden tener decenas o cientos de variables, o quizá más. En esta sección, solo trabajaremos con los casos lineales simples que tengan dos variables.

El proceso general es el siguiente:

Graficar las inecuaciones (llamadas restricciones ) para formar un área limitada en el plano cartesiano (llamada región de factibilidad ).
Averiguar las coordenadas de las esquinas (o vértices) de esta región de factibilidad mediante la resolución del sistema de ecuaciones que aplican a cada uno de los puntos de intersección.
Probar estos puntos angulares en la fórmula (llamada la ecuación de optimización ) para la cual estás tratando de encontrar el valor máximo o mínimo.

Ejemplo A

If $z = 2x + 5y$ , encuentra los valores máximos y mínimos de $z$ dadas estas restricciones:

$2x - y & \le 12\\\4x + 3y & \ge 0\\\x - y & \ge 6$

Solución

En primer lugar, necesitamos encontrar la solución a este sistema de inecuaciones lineales mediante el uso de un gráfico y de sombreado apropiado. Para graficar las inecuaciones, las reescribimos en la forma pendiente-intercepto:

$y & \ge 2x - 12\\\y & \ge - \frac{4}{3}x\\\y & \le x - 6$

Estas tres inecuaciones lineales reciben el nombre de restricciones y, a continuación, se muestra su gráfico:

La sección sombreada en el gráfico es llamada la región de factibilidad . Todas las soluciones posibles para el sistema se encuentran en esa región. Ahora, debemos intentar encontrar los valores máximos y mínimos de la variable $z$ dentro de esta región. En otras palabras, ¿qué valores de $x$ e $y$ ubicados dentro de la región de factibilidad nos darán los valores totales mayores y menores para la expresión $2x + 5y$ ?

Afortunadamente, no tenemos que probar cada punto en la región para averiguar eso. Lo que pasa es que el valor mínimo o máximo de la ecuación de optimización en un sistema lineal como el presentado aquí siempre será encontrado en uno de los vértices (las esquinas) de la región de factibilidad, solo debemos averiguar qué vértices son. Entonces, por cada vértice (cada punto en el que dos de las rectas en el grafico se intersectan), necesitamos resolver solamente el sistema de esas dos ecuaciones y luego encontrar el valor de $z$ en ese punto.

El primer sistema consiste en las ecuaciones $y = 2x - 12$ y $y = - \frac{4}{3}x$ . Podemos resolver este sistema con el método de sustitución:

$- \frac{4}{3}x &= 2x - 12 \Rightarrow -4x = 6x - 36 \Rightarrow -10x = -36 \Rightarrow x = 3.6\\\y &= 2x - 12 \Rightarrow y = 2(3.6) - 12 \Rightarrow y = - 4.8$

Las rectas se intersectan en el punto (3,6; -4,8).

El segundo sistema consiste en las ecuaciones $y = 2x - 12$ y $y = x - 6$ . Resolver este sistema con el método de sustitución:

$x - 6 &= 2x - 12 \Rightarrow 6 = x \Rightarrow x = 6\\\y &= x - 6 \Rightarrow y = 6 - 6 \Rightarrow y = 0$

Las rectas se intersectan en el punto (6, 0).

El tercer sistema consiste en las ecuaciones $y = - \frac{4}{3}x$ y $y = x - 6$ . Resolver este sistema con el método de sustitución:

$x - 6 &= - \frac{4}{3}x \Rightarrow 3x - 18 = -4x \Rightarrow 7x = 18 \Rightarrow x = 2.57\\\y &= x - 6 \Rightarrow y = 2.57 - 6 \Rightarrow y = -3.43$

Las rectas se intersectan en el punto (2,57; -3,43). .

De esta manera, ahora tenemos tres puntos diferentes que podrían darnos los valores máximos y mínimos para $z$ . Para averiguar cuáles son los que dan los valores máximos y mínimos, podemos sustituir los puntos en la ecuación de optimización $z = 2x + 5y$ .

Cuando sustituimos (3,6; -4,8), obtenemos $z = 2(3.6) +5(-4.8) = -16.8$ .

Cuando sustituimos (6, 0), obtenemos $z = 2(6) + 5(0) = 12$ .

Cuando sustituimos (2,57; -3,43), obtenemos $z = 2(2.57) + 5(-3.43) = -12.01$ .

Por consiguiente, podemos ver que el punto (6, 0) nos da el valor máximo posible para $z$ y el punto (3,6; -4,8) nos da el valor mínimo.

En el ejemplo anterior, aprendimos cómo aplicar el método de programación lineal en lo abstracto. En el siguiente ejemplo, observaremos una aplicación cotidiana.

Ejemplo B

Tienes $10.000 para invertir y tres fondos diferentes para escoger. El fondo de bonos municipales genera una ganancia del 5%, la permuta de incumplimiento crediticio del banco local genera una ganancia del 7% y una cuenta de alto riesgo genera una ganancia del 10%. Para minimizar el riesgo, decides no invertir más de $1.000 en la cuenta de alto riesgo. Por razones de impuestos, necesitas invertir al menos tres veces más en los bonos municipales que en la permuta de incumplimiento crediticio del banco. ¿Cuál es la mejor manera de distribuir tu dinero, dadas estas restricciones?

Solución:

Definamos nuestras variables:

$x$ es la cantidad de dinero invertido en los bonos municipales con ganancias del 5%

$y$ es la cantidad de dinero invertido en la permuta de incumplimiento crediticio del banco con ganancias del 7%

$10000 - x - y$ es la cantidad de dinero invertido en la cuenta de alto riesgo con ganancias del 10%

$z$ es el interés total generado por todas las inversiones, entonces $z = .05x + .07y + .1(10000 - x - y)$ o $z = 1000 - 0.05x - 0.03y$ . Esta es la cantidad que estamos tratando de maximizar. Nuestro objetivo es encontrar los valores de $x$ e $y$ que maximizan el valor de $z$ .

A continuación, escribamos inecuaciones para las restricciones: :

Decides no invertir más de $1.000 en la cuenta de alto riesgo, lo que significa:

$10000 - x - y \le 1000$

Necesitas invertir al menos tres veces más en los bonos municipales que en la permuta de incumplimiento crediticio del banco, lo que significa:

$3y \le x$

Además, no puedes invertir menos de cero dólares en cada cuenta, de esta forma:

$x & \ge 0\\\y & \ge 0\\\10000 - x - y & \ge 0$

Para resumir, debemos maximizar la expresión $z = 1000 - .05x - .03y$ mediante el uso de las restricciones:

$& 10000 - x - y \le 1000 && && y \ge 9000 - x\\\& 3y \le x && && y \le \frac{x}{3}\\\& x \ge 0 && \text{Or in slope-intercept form:} && x \ge 0\\\& y \ge 0 && && y \ge 0\\\& 10000 - x - y \ge 0 && && y \le 10000 - x$

Paso 1: Encontrar la región de solución al conjunto de inecuaciones mediante la gráfica de cada recta y el sombreado apropiado. La siguiente gráfica muestra la región de superposición:

La región de color morado es la región de factibilidad en donde se pueden dar todas las soluciones posibles.

Paso 2: Ahora, necesitamos encontrar los vértices de la región de factibilidad. Fíjate que hay cuatro esquinas. Para encontrar sus coordenadas, debemos emparejar las ecuaciones correspondientes y resolver cada sistema resultante.

Sistema 1:

$y = \frac{x}{3}\!\\\y = 10000 - x$

Sustituir la primera ecuación en la segunda ecuación:

$\frac{x}{3} &= 10000 - x \Rightarrow x = 30000 - 3x \Rightarrow 4x = 30000 \Rightarrow x = 7500\\\y &= \frac{x}{3} \Rightarrow y = \frac{7500}{3} \Rightarrow y = 2500$

El punto de intersección es (7500, 2500).

Sistema 2:

$y = \frac{x}{3}\!\\\y = 9000 - x$

Sustituir la primera ecuación en la segunda ecuación:

$\frac{x}{3} &= 9000 - x \Rightarrow x = 27000 - 3x \Rightarrow 4x = 27000 \Rightarrow x = 6750\\\y &= \frac{x}{3} \Rightarrow y = \frac{6750}{3} \Rightarrow y = 2250$

El punto de intersección es (6750, 2250).

Sistema 3:

$y = 0\!\\\y = 10000 - x$

El punto de intersección es (10000, 0).

Sistema 4:

$y = 0\!\\\y = 9000 - x$

El punto de intersección es (9000, 0).

Step 3: Para poder encontrar el valor máximo de $z$ , necesitamos sustituir todos los puntos de intersección en la ecuación para. $z$ y encontrar cuál produce el valor máximo.

(7500, 2500): $z = 1000 - 0.05(7500) - 0.03(2500) = 550$

(6750, 2250): $z = 1000 - 0.05(6750) - 0.03(2250) = 595$

(10000, 0): $z = 1000 - 0.05(10000) - 0.03(0) = 500$

(9000, 0): $z = 1000 - 0.05(9000) - 0.03(0) = 550$

La ganancia máxima en la inversión de $595 ocurre en el punto (6750, 2250). Esto quiere decir lo siguiente:

$6,750 son invertidos en los bonos municipales.

$2,250 son invertidos en la permuta de incumplimiento crediticio del banco.

$1,000 son invertidos en la cuenta de alto riesgo.

Ejemplo C

James está tratando de expandir su negocio de pastelería para incluir magdalenas y pasteles personales. James tiene 40 horas disponibles para decorar los nuevos productos y no puede usar más de 22 libras de mezcla para torta. Cada pastel personal requiere 2 libras de mezcla y 2 horas para decorar. Cada orden de magdalenas requiere 1 libra de mezcla y 4 horas para decorar. Si James puede vender cada pastel personal a $14,99 y cada orden de magdalenas por $16,99, ¿cuántos pasteles personales y órdenes de magdalenas deberá hacer James para obtener la mayor ganancia?

Hay cuatro inecuaciones en esta situación. En primer lugar, establezcamos las variables. Digamos que $p=$ el número de pasteles personales y $c=$ el número de órdenes de magdalenas. .

Transformemos esto en un sistema de inecuaciones.

$2p+1c \le 22$ – Esta es la cantidad disponible de mezcla.

$2p+4c \le 40$ – Esta es la cantidad disponible de tiempo para decorar.

$p \ge 0$ – No puedes hacer un número menor a cero de pasteles personales.

$c \ge 0$ – No puedes hacer un número menor a cero de órdenes de magdalenas.

A continuación, grafica cada inecuación y determina la región de factibilidad.

La región de factibilidad tiene cuatro vértices: {(0, 0),(0, 10),(11, 0),(8, 6)}. Según nuestro teorema, la respuesta de optimización solo se producirá en uno de estos vértices.

Escribe la ecuación de optimización. ¿Cuántos de cada tipo de orden debería hacer James para obtener la mayor ganancia?

$14.99p+16.99c=maximum \ revenue$

Sustituye cada par ordenado para determinar cuál de estos genera mayor dinero.

$(0,0) & \rightarrow \$0.00\\\(0,10) & \rightarrow 14.99(0)+16.99(10)=\$169.90\\\(11,0) &\rightarrow 14.99(11)+16.99(0)=\$164.89\\\(8,6) & \rightarrow 14.99(8)+16.99(6)=\$221.86$

Para obtener la mayor ganancia, James debería hacer 8 pasteles personales y 6 órdenes de magdalenas.

Mira este video si necesitas ayuda con los ejemplos anteriores.

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CK-12 Foundation: Linear Programming

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Vocabulario

La programación lineal es el proceso matemático de analizar un sistema de inecuaciones para realizar las mejores decisiones, dadas las restricciones de la situación.

Las restricciones son las limitaciones particulares de una situación relacionadas con el tiempo, el dinero o los materiales.

En un problema de optimización el objetivo es localizar la región de factibilidad del sistema y usarlo para responder una pregunta de rentabilidad u optimización .

La solución al sistema de inecuaciones es la región común sombreada que se encuentra entre todas las inecuaciones del sistema.

La región sombreada común del sistema de inecuaciones se llama región de factibilidad. .

Práctica Guiada

Grafica la solución para el siguiente sistema:

$x-y< -6\\\2y\ge 3x+17$

Solución:

Primero, reescribiremos las ecuaciones a la forma pendiente-intercepto para graficarlas:

Inecuación 1 $x-y &< -6 \quad \text{Solve for y.}\\\-y& < -x -6 \quad \text{Subtract x from each side.}\\\y & > x+6 \quad \text{Multiply each side by -1, flipping the inequality.}$

Inecuación 2 $2y &\ge3x+17< \quad \text{Solve for y.}\\\y&\ge\frac{3}{2}x+8.5<\quad \text{Divide each side by 2.}$

Grafica cada ecuación y realiza el sombreado apropiado:

Práctica

Resuelve los siguientes problemas de programación lineal.

Dadas las siguientes restricciones, encuentra los valores máximos y mínimos de $z = -x + 5y$ : $x + 3y \le 0\!\\\x - y \ge 0\!\\\3x - 7y \le 16$

Papá Noel está designando elfos para trabajar en un turno de 8 horas para fabricar camiones de juguete. Los elfos aprendices cobran un estimado de cinco bastones de dulce por hora trabajada, pero solo pueden fabricar cuatro camiones por hora. Los elfos experimentados pueden hacer seis camiones en una hora y se les paga 8 bastones de dulce por hora. Solo hay lugar para nueve elfos en la fábrica de camiones de juguete y debido a una huelga de los productores de bastones de dulce, Papá Noel solo puede pagar 480 bastones por el turno completo de 8 horas.

¿Cuántos elfos experimentados y cuántos elfos aprendices deberían trabajar durante este turno para maximizar el número de camiones fabricados?
¿Cuántos camiones se fabricarán?
Justo antes de que comience el turno, los elfos aprendices demandan un aumento de sueldo. Insisten en recibir siete bastones de dulce por hora. Ahora, ¿cuántos elfos experimentados y cuántos elfos aprendices deberían trabajar durante este turno?
¿Cuántos camiones se fabricarán ahora y cuántos bastones le sobrarán a Papá Noel?

En la mueblería de Adrian, él fabrica estantes y gabinetes para televisores. Cada tipo de mueble le toma casi el mismo tiempo de ensamblaje. El estima que tiene tiempo para fabricar un máximo de 18 muebles para este sábado. Los materiales que necesita para fabricar cada estante le cuestan $20 y los materiales para cada gabinete de televisor le cuestan $45. Adrian tiene $600 para gastar en materiales. Genera una ganancia de $60 por cada estantería y $100 por cada gabinete para televisor.

Establece un sistema de inecuaciones. ¿Qué valores de $x-$ E $y-$ obtienes para el punto en que la ganancia de Adrian es maximizada? Esta solución, ¿tiene sentido en el mundo real?
¿Cuáles serían los dos valores posibles de $x-$ e $y-$ más cercanos a los valores en esa solución?
Con dos opciones cada una para $x$ e $y$ , existen cuatro combinaciones posibles de valores de $x-$ e $y-$ De esas cuatro combinaciones, ¿cuáles se encontrarían dentro de la región de factibilidad del problema?
¿Cuál de estas combinaciones factibles parece que generaría la mayor ganancia? Prueba cada una para confirmar tu suposición. ¿Cuánta ganancia obtendría Adrian con esa combinación?
Basados en las estimaciones anteriores de Adrian, ella no cree que puede vender más de 8 gabinetes para televisor. Ahora, ¿cuántos estantes y cuántos gabinetes debería fabricar y cuál sería su ganancia?
Supone que Adrian está seguro de que puede vender todos los muebles que pueda fabricar, pero no tiene espacio para exponer más de 7 estantes en su tienda. Ahora, ¿cuántos estantes y cuántos gabinetes debería fabricar y cuál sería su ganancia?
A continuación, hay un problema de "programación lineal" en una recta, en vez de un plano. Dadas las restricciones $x \le 5$ y $x \ge -2$ , maximiza el valor de $y$ donde $y = x + 3$ .

Recursos de Texas Instruments

En el FlexBook "CK-12 Texas Instruments Algebra I", hay actividades para calculadoras graficas diseñadas para complementar los objetivos de algunas de las lecciones en este Capítulo. Vea http://www.ck12.org/flexr/chapter/9617 .

Programación Lineal

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