Propiedades Exponenciales que Involucran Productos

Aquí aprenderás a escribir una multiplicación repetida en forma exponencial. También aprenderás cómo multiplicar y simplificar las expresiones exponenciales.

Digamos que debes simplificar una expresión matemática que contiene exponentes, como por ejemplo $4^3 \cdot 4^2$ ¿Cómo lo harías? Una vez que completes esta sección, podrás usar la propiedad del producto de potencias para simplificar expresiones exponenciales como ésta.

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CK-12 Foundation: 0801S Product of Powers

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Orientación

Anteriormente en el capítulo, analizamos brevemente las expresiones que tienen exponentes, como $3^5$ or $x^3$ . En estas expresiones, el número de abajo se llama base y el número de arriba se conoce como potencia o exponente . La expresión completa es igual a la base multiplicada por sí misma un número de veces igual al exponente; en otras palabras, el exponente nos dice cuántas veces debemos multiplicar el número base por sí mismo.

Ejemplo A

Escriba la forma exponencial.

a) $2 \cdot 2$

b) $(-3)(-3)(-3)$

c) $y \cdot y \cdot y \cdot y \cdot y$

d) $(3a)(3a)(3a)(3a)$

Solución

a) $2 \cdot 2 = 2^2$ ya que tenemos 2 factores de 2

b) $(-3)(-3)(-3) = (-3)^3$ ya que tenemos 3 factores de (-3)

c) $y \cdot y \cdot y \cdot y \cdot y = y^5$ ya que tenemos 5 factores de $y$

d) $(3a)(3a)(3a)(3a)=(3a)^4$ ya que tenemos 4 factores de $3a$

Cuando la base es variable, conviene dejar la expresión en forma exponencial, si no escribiéramos $x^7$ , tendríamos que escribir $x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x$ Pero cuando la base es un número, podemos simplificar la expresión m´s que eso. Por ejemplo, $2^7$ equivale a $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$ , pero podemos multiplicar todos esos 2 para obtener 128.

Simplifiquemos las expresiones del ejercicio A.

Ejemplo B

Simplifica.

a) $2^2$

b) $(-3)^3$

c) $y^5$

d) $(3a)^4$

Solución

a) $2^2 = 2 \cdot 2 =4$

b) $(-3)^3 = (-3)(-3)(-3)=-27$

c) $y^5$ ya está simplificado

d) $(3a)^4 = (3a)(3a)(3a)(3a) = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot a \cdot a \cdot a \cdot a = 81 a^4$

Ten cuidado al tomar potencias de números negativos. Recuerda estas reglas:

$(negative \ number) \cdot (positive \ number) = negative \ number\! \\\(negative \ number) \cdot (negative \ number) = positive \ number$

Por ende incluso las potencias de números negativos son siempre positivas. Ya que hay un número par de factores, emparejamos los números negativos y todos los negativos se anulan.

$(-2)^6 &= (-2)(-2)(-2)(-2)(-2)(-2)\\\ &= \underbrace{ (-2)(-2) }_{+4} \cdot \underbrace{ (-2)(-2) }_{+4} \cdot \underbrace{ (-2)(-2) }_{+4}\\\ &= +64$

Y las potencias impares de números negativos son siempre negativas. Ya que hay un número impar de factores, aún podemos emparejar números negativos para obtener números positivos, pero siempre habrá un factor negativo sobrante, entonces la respuesta es negativa:

$(-2)^5 &= (-2)(-2)(-2)(-2)(-2)\\\ &= \underbrace{(-2)(-2)}_{+4} \cdot \underbrace{(-2)(-2)}_{+4} \cdot \underbrace{(-2)}_{-2}\\\ &= -32$

Usa la propiedad del producto de potencias

Entonces, ¿qué pasa cuando multiplicamos una potencia de $x$ por otra? Veamos qué pasa cuando multiplicamos $x$ a la potencia de por $x$ al cubo . Para ilustrarlo de mejor manera, usaremos la forma factorizada completa de cada potencia:

$\underbrace{(x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x)}_{x^5} \cdot \underbrace{(x \cdot x \cdot x)}_{x^3} = \underbrace{(x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x)}_{x^8}$

Entonces $x^5 \times x^3 = x^8$ . Puede que ya hayas visto el patrón para multiplicar potencias, pero confirmémoslo con otro ejemplo. Vamos a multiplicar $x$ cl cuadrado by $x$ a la potencia de :

$\underbrace{(x \cdot x)}_{x^2} \cdot \underbrace{(x \cdot x \cdot x \cdot x)}_{x^4} = \underbrace{(x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x)}_{x^6}$

Entonces $x^2 \times x^4 = x^6$ . Mira cuidadosamente las potencias y fíjate cuántos factores hay en cada cálculo. $5 \ x$ por $3 \ x$ es igual a $(5 + 3) = 8 \ x$ . $2 \ x$ por $4 \ x$ es igual a $(2 + 4) = 6 \ x$ (equis como unidad multiplicada por si misma).

Deberías notar que cuando tomamos el producto de dos potencias de $x$ , el número de $x$ presentes en la respuesta es el número total de $x$ en todos los términos que estás multiplicando. En otras palabras, el exponente de la respuesta es la suma de los exponentes en el producto.

Regla de producto para exponentes: $x^n \cdot x^m = x^{(n+m)}$

Sin embargo, hay errores que fácilmente se cometen con esta regla. Veamos cómo evitarlos

Ejemplo C

Multiplica $2^2 \cdot 2^3$ .

Solución

$2^2 \cdot 2^3 = 2^5 = 32$

Fíjate que cuando usas la regla de producto no multiplicas las bases . En otras palabras, debes evitar el error común de escribir $2^2 \cdot 2^3 = 4^5$ . Puede comprobar que esto es verdadero si multiplicas cada expresión 4 veces 8 es definitivamente 32, no 1024.

Ejemplo D

Multiplica $2^2 \cdot 3^3$ .

Solución

$2^2 \cdot 3^3 = 4 \cdot 27 = 108$

En este caso, no podemos usar la regla de producto completamente, ya que se aplica sólo a términos que tienen la misma base . En un caso como este donde las bases son diferentes, sólo tenemos que multiplicar los números a mano alzada, los cuales no sean $2^5$ o $3^5$ o $6^5$ o algo simple como esto.

Mira este video si necesitas ayuda con los ejemplos anteriores.

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CK-12 Foundation: Products of Powers

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Vocabulario

Un exponente es una potencia de un número que muestra cuántas veces ese número se multiplica por sí mismo. Un ejemplo sería $2^3$ . Es multiplicar 2 por sí mismo 3 veces: $2 \times 2 \times 2$ . El número 2 es la base y el número 3 es el exponente. El valor $2^3$ se conoce como la potencia.

Regla de producto para exponentes: $x^n \cdot x^m = x^{(n+m)}$

Práctica guiada

Simplifica los siguientes exponentes:

a. $(-2)^5$

b. $(10x)^2$

Soluciones:

a. $(-2)^5=(-2)(-2)(-2)(-2)(-2)=-32$

b. $(10x)^2=10^2\cdot x^2=100x^2$

Práctica

Escribe una notación exponencial:

$4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4$
$3x \cdot 3x \cdot 3x$
$(-2a)(-2a)(-2a)(-2a)$
$6 \cdot 6 \cdot 6 \cdot x \cdot x \cdot y \cdot y \cdot y \cdot y$
$2 \cdot x \cdot y \cdot 2 \cdot 2 \cdot y \cdot x$

Encuentra cada número.

$5^4$
$(-2)^6$
$(0.1)^5$
$(-0.6)^3$
$(1.2)^2+5^3$
$3^2 \cdot (0.2)^3$

Multiplica y simplifica:

$6^3 \cdot 6^6$
$2^2 \cdot 2^4 \cdot 2^6$
$3^2 \cdot 4^3$
$x^2 \cdot x^4$
$(-2y^4)(-3y)$
$(4a^2)(-3a)(-5a^4)$

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