Términos Exponenciales Elevados a un Exponente

Aquí aprenderás cómo simplificar expresiones exponenciales que están elevadas a otra potencia secundaria.

¿Qué pasaría si tuvieras una expresión exponencial que fue elevada a una potencia secundaria, como $(2^3)^2$ ? ¿Cómo podrías simplificarla? Una vez que completes esta sección, podrás usar la propiedad de potencia de un producto para simplificar expresiones exponenciales como ésta.

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Foundation: 0802S Power of a Product

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El siguiente video de yourteacher.com puede ayudarte a aclarar cómo funciona la regla del producto para una variedad de expresiones exponenciales:

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YourTeacher: Power Rule- Multiplying Exponents

*Este video solo está disponible en inglés.

Orientación

¿Qué pasa cuando elevamos una expresión completa a una potencia? Elevemos $x$ a la potencia de 4 y elévalo al cubo . Otra vez usaremos la forma completamente factorizada para cada expresión:

$(x^4)^3 & = x^4 \times x^4 \times x^4 \qquad 3 \ factors \ of \ \{x \ to \ the \ power \ 4\} \\\(x \cdot x \cdot x \cdot x) \cdot (x \cdot x \cdot x \cdot x) \cdot (x \cdot x \cdot x \cdot x) & = x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x = x^{12}$

Entonces $(x^4)^3 = x^{12}$ . Puedes notar que cuando elevamos una potencia de $x$ a otra potencia, las potencias se multiplican.

Regla de potencias para exponentes: $(x^n)^m = x^{(n\cdot m)}$

Si tenemos un producto de más de un término dentro del paréntesis, entonces tenemos que distribuir el exponente sobre todos los factores, como distribuir multiplicación sobre adición. Por ejemplo:

$(x^2y)^4 = (x^2)^4 \cdot (y)^4 = x^8y^4.$

O podemos escribir la forma extensa:

$(x^2 y)^4 = (x^2 y) (x^2 y) (x^2 y) (x^2 y) & = (x \cdot x \cdot y) (x \cdot x \cdot y) (x \cdot x \cdot y) (x \cdot x \cdot y)\\\& = x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot y \cdot y \cdot y \cdot y = x^8 y^4$

¡Fíjate que esto NO funciona si tienes una suma o una resta dentro del paréntesis! Por ejemplo, $(x+y)^2 \neq x^2+y^2$ . Este error se comete fácilmente, pero puedes evitarlo si recuerdas lo que significa un exponente: si multiplicas $(x+y)^2$ se convierte en $(x+y)(x+y)$ , y no es lo mismo que $x^2+y^2$ . Aprenderemos cómo podemos simplificar esta expresión más adelante en otro capítulo.

Ejemplo A

Simplifica las siguientes expresiones.

a) $3^5 \cdot 3^7$

b) $2^6 \cdot 2$

c) $(4^2)^3$

Solución

Cuando estamos trabajando sólo con números en vez de variables, podemos usar la regla de producto y la regla de potencia, o podemos simplemente hacer la multiplicación y después simplificar.

a) Podemos usar primero la regla de producto y luego calcular el resultado: $3^5 \cdot 3^7 = 3^{12}=531441$ .

O podemos calcular cada parte por separado y luego multiplicarlas: $3^5 \cdot 3^7 = 243 \cdot 2187 = 531441$ .

b) Podemos usar primero la regla de producto y luego calcular el resultado: $2^6 \cdot 2 = 2^7 = 128$ .

O podemos calcular cada parte por separado y luego multiplicarlas: $2^6 \cdot 2 = 64 \cdot 2 = 128$ .

c) Podemos usar la regla de la potencia primero y luego calcular el resultado: $(4^2)^3 = 4^6 = 4096$ .

O podemos calcular primero la expresión dentro del paréntesis y luego aplicar el exponente fuera del paréntesis $(4^2)^3 = (16)^3 = 4096$ .

Ejemplo B

Simplifica las siguientes expresiones:

a) $x^2 \cdot x^7$

b) $(y^3)^5$

Solución

Cuando estamos trabajando sólo con variables, todo lo que podemos hacer es simplificar lo que más se pueda usando las reglas de producto y potencia.

a) $x^2 \cdot x^7 = x^{2+7} = x^9$

b) $(y^3)^5 = y^{3 \times 5}= y^{15}$

Ejemplo C

Simplifica las siguientes expresiones.

a) $(3x^2 y^3) \cdot (4xy^2)$

b) $(4xyz) \cdot (x^2 y^3) \cdot (2y z^4)$

c) $(2a^3b^3)^2$

Solución

Cuando tenemos una combinación de números y variables, aplicamos las reglas para cada número y variable por separado.

a) Primero agrupamos los términos similares: $(3x^2y^3) \cdot (4xy^2) = (3 \cdot 4) \cdot (x^2 \cdot x) \cdot (y^3 \cdot y^2)$

Luego multiplicamos los números o aplicamos la regla de producto en cada agrupación: $=12 x^3y^5$

b) Agrupa términos similares: $(4xy z) \cdot (x^2 y^3) \cdot (2y z^4) = (4 \cdot 2) \cdot (x \cdot x^2) \cdot (y \cdot y^3 \cdot y) \cdot (z \cdot z^4)$

Multiplica los números o aplica la regla de producto en cada agrupación: $= 8x^3 y^5 z^5$

c) Aplica la regla de potencia para cada término por separado en los paréntesis: $(2a^3b^3)^2 = 2^2 \cdot (a^3)^2 \cdot (b^3)^2$

Multiplica los números o aplica la regla de potencia para cada término $=4a^6 b^6$

Mira este video si necesitas ayuda con los ejemplos anteriores.

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CK-12 Foundation: Power of a Product

*Este video solo está disponible en inglés.

Vocabulario

Exponente: Un exponente es una potencia de un número que muestra cuántas veces ese número se multiplica por sí mismo. Un ejemplo sería $2^3$ . Es multiplicar 2 por sí mismo 3 veces: $2 \times 2 \times 2.$ El número 2 es la base y el número 3 es el exponente. El valor $2^3$ se conoce como la potencia.

Propiedad del producto de potencias: Para todos los números reales $\chi$ ,

$\chi^n \cdot \chi^m = \chi^{n+m}$ .

Propiedad de la potencia de un producto: Para todos los números reales $\chi$ ,

$(\chi^n)^m = \chi^{n \cdot m}$ .

Práctica guiada

Simplifica las siguientes expresiones

a) $(x^2)^2 \cdot x^3$

b) $(2x^2y) \cdot (3xy^2)^3$

c) $(4a^2 b^3)^2 \cdot (2ab^4)^3$

Solución

En problemas donde necesitamos aplicar las reglas de producto y potencia juntas, debemos tener en mente el orden de operaciones. Las operaciones exponenciales tienen primacía sobre la multiplicación.

a) Aplicamos primero la regla de potencia: $(x^2)^2 \cdot x^3 = x^4 \cdot x^3$

Luego aplicamos la regla de producto para combinar los dos términos: $x^4 \cdot x^3 = x^7$

b) Aplicamos primero la regla de potencia: $(2x^2 y) \cdot (3xy^2)^3 = (2x^2y) \cdot (27x^3y^6)$

Luego aplicamos la regla de producto para combinar los dos términos: $(2x^2 y) \cdot (27 x^3 y^6) = 54x^5y^7$

c) Aplicamos la regla de potencia en cada uno de los términos por separado: $(4a^2 b^3)^2 \cdot (2ab^4)^3 = (16a^4 b^6) \cdot (8a^3 b^{12})$

Luego aplicamos la regla de producto para combinar los dos términos: $(16a^4 b^6) \cdot (8a^3 b^{12}) = 128a^7 b^{18}$

Práctica

Simplifica:

$(a^3)^4$
$(xy)^2$
$(-5y)^3$
$(3a^2b^3)^4$
$(-2xy^4z^2)^5$
$(-8x)^3(5x)^2$
$(-x)^2(xy)^3$
$(4a^2)(-2a^3)^4$
$(12xy)(12xy)^2$
$(2xy^2)(-x^2y)^2(3x^2y^2)$

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