Propiedades Exponenciales que Involucran Cocientes

Aquí aprenderás cómo simplificar una expresión exponencial que es dividida por otra.

Digamos que tienes una expresión fraccional como $\frac{x^5}{x^2}$ en la cual tanto el numerador como el denominador tuvieran exponentes. ¿Cómo podrías simplificarla? Una vez que completes esta sección, podrás usar la propiedad del cociente de potencias para simplificar expresiones exponenciales como ésta.

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CK-12 Foundation: 0803S Quotient of Powers

*Este video solo está disponible en inglés.

Orientación

Las reglas para simplificar cocientes de exponentes se parecen mucho a las reglas para simplificar productos.

Ejemplo A

Miremos lo que pasa cuando dividimos $x^7$ por $x^4$ :

$\frac{x^7}{x^4} = \frac{\cancel{x} \cdot \cancel{x} \cdot \cancel{x} \cdot \cancel{x} \cdot x \cdot x \cdot x}{\cancel{x} \cdot \cancel{x} \cdot \cancel{x} \cdot \cancel{x}} = \frac{x \cdot x \cdot x}{1} = x^3$

Puedes ver que cuando dividimos dos potencias de $x$ , el número de la $x$ en la solución es el número de la $x$ en la parte de arriba de la fracción menos el número de la $x$ en la parte de abajo. En otras palabras, cuando dividimos expresiones con la misma base, mantenemos esta base y simplemente restamos el exponente en el denominador con el exponente en el numerador.

Regla de cociente para exponentes: $\frac{x^n}{x^m} = x^{(n-m)}$

Cuando tenemos expresiones con más de una base aplicamos la regla de cociente a cada base por separado:

Ahora bien, veamos qué sucede si el exponente en el denominador es mayor que el exponente en el numerador. Por ejemplo, ¿qué pasa cuando aplicamos la regla de cociente a $\frac{x^4}{x^7}$ ?

La regla de cociente nos dice que restemos los exponentes. 4 menos 7 es -3, por ende nuestra respuesta es $x^{-3}$ . ¡un exponente negativo! ¿Qué significa esto?

Ejemplo B

$\frac{x^5y^3}{x^3y^2}=\frac{\cancel{x} \cdot \cancel{x} \cdot \cancel{x} \cdot x \cdot x}{\cancel{x} \cdot \cancel{x} \cdot \cancel{x}} \cdot \frac{\cancel{y} \cdot \cancel{y} \cdot y}{\cancel{y} \cdot \cancel{y}} = \frac{x \cdot x}{1} \cdot \frac{y}{1} = x^2y$

$\frac{x^5y^3}{x^3y^2} = x^{5-3} \cdot y^{3-2} = x^2y$

Bueno, veamos qué obtenemos cuando hacemos la división de la manera larga al escribir cada término en su forma factorizada:

$\frac{x^4}{x^7} = \frac{\cancel{x} \cdot \cancel{x} \cdot \cancel{x} \cdot \cancel{x}}{\cancel{x} \cdot \cancel{x} \cdot \cancel{x} \cdot \cancel{x} \cdot x \cdot x \cdot x} = \frac{1}{x \cdot x \cdot x} = \frac{1}{x^3}$

Incluso cuando el exponente en el denominador es mayor que el exponente en el numerador podemos restar las potencias. Las $x$ que sobran después de que las otras han sido eliminadas terminan en el denominador en vez del numerador. Así como $\frac{x^7}{x^4}$ es igual a $\frac{x^3}{1}$ (o simplemente $x^3$ ), $\frac{x^4}{x^7}$ es igual a $\frac{1}{x^3}$ . Puedes ver también que $\frac{1}{x^3}$ es igual a $x^{-3}$ . Aprenderemos más sobre los exponentes negativos más adelante.

Ejemplo C

Simplifica las siguientes expresiones y deja todos los exponentes positivos.

a) $\frac{x^2}{x^6}$

b) $\frac{a^2b^6}{a^5b}$

Solución

a) Resta el exponente en el numerador al exponente en el denominador y deja las $x$ en el denominador: $\frac{x^2}{x^6} = \frac{1}{x^{6-2}}= \frac{1}{x^4}$

b) Aplica la regla a cada variable por separado: $\frac{a^2b^6}{a^5b} = \frac{1}{a^{5-2}} \cdot \frac{b^{6-1}}{1} = \frac{b^5}{a^3}$

Mira este video si necesitas ayuda con los ejemplos anteriores.

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*Este video solo está disponible en inglés.

Vocabulario

Propiedad de cociente de potencias: Para todos los números reales $x$ ,

$\frac{x^n}{x^m} =x^{n-m}$ .

Práctica guiada

Simplifica cada una de las siguientes expresiones usando una regla de cociente.

a) $\frac{x^{10}}{x^5}$

b) $\frac{a^6}{a}$

c) $\frac{a^5b^4}{a^3b^2}$

Solución

a) $\frac{x^{10}}{x^5}= x^{10-5} = x^5$

b) $\frac{a^6}{a} = a^{6-1} =a^5$

c) $\frac{a^5b^4}{a^3b^2}= a^{5-3} \cdot b^{4-2} = a^2b^2$

Preguntas de revisión

Calcula las siguientes expresiones.

$\frac{5^6}{5^2}$
$\frac{6^7}{6^3}$
$\frac{3^4}{3^{10}}$
$\frac{2^2 \cdot 3^2}{5^2}$
$\frac{3^3 \cdot 5^2}{3^7}$

Simplifica las siguientes expresiones.

$\frac{a^3}{a^2}$
$\frac{x^5}{x^9}$
$\frac{x^6y^2}{x^2y^5}$
$\frac{6a^3}{2a^2}$
$\frac{15x^5}{5x}$
$\frac{25yx^6}{20y^5x^2}$

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