Exponente de un Cociente

Digamos que tienes una expresión fraccional con exponentes que fue elevada a una potencia secundaria, como ¿Cómo podrías simplificarla? Una vez que completes esta sección, podrás usar la propiedad de la potencia de un cociente para simplificar expresiones exponenciales como ésta.

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CK-12 Foundation: 0804S Power of a Quotient

*Este video solo está disponible en inglés.

Orientación

Cuando elevamos un cociente completo a una potencia, otra regla especial se aplica. Aquí hay un ejemplo:

Fíjate que el exponente fuera del paréntesis se multiplica por separado con el exponente en el numerador y el exponente en el denominador. A esto se le llama la regla de potencia de un cociente:

Regla de potencias para cocientes:

Apliquemos estas reglas nuevas con unos pocos ejemplos.

Ejemplo A

Simplifica las siguientes expresiones.

a)

b)

c)

Solución

Ya que sólo hay números y no variables, podemos calcular las expresiones y deshacernos de los exponentes por completo.

a) Podemos usar primero la regla de cociente y luego calcular el resultado:

O podemos calcular cada parte por separado y luego dividir:

b) Podemos usar primero la regla de cociente y luego calcular el resultado:

O podemos calcular cada parte por separado y luego reducir:

Fíjate que tiene más sentido aplicar primero la regla de cociente para los ejemplos (a) y (b). Aplicar las reglas de exponente para simplificar la expresión antes de añadir cualquier número real significa que tendremos números más pequeños y fáciles para trabajar.

c) Podemos usar primero la regla de potencia para cocientes y luego calcular el resultado:

O podemos calcular primero dentro del paréntesis y luego aplicar el exponente:

Ejemplo B

Simplifica las siguientes expresiones:

a)

b)

Solución

a) Usa la regla de cociente:

b) Usa la regla de potencias para cocientes y luego la regla de cociente:

O usa primero la regla de cociente dentro del paréntesis y luego aplica la regla de potencia:

Ejemplo C

Simplifica las siguientes expresiones.

a)

b)

Solución

Cuando tenemos una combinación de números y variables, aplicamos las reglas a cada número o a cada variable por separado.

a) Agrupa términos similares:

Luego reduce los números y aplica la regla de cociente en cada fracción para obtener .

b) Aplica primero la regla de cociente dentro del paréntesis:

Luego aplica la regla de potencia para cocientes:

Mira este video si necesitas ayuda con los ejemplos anteriores.

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CK-12 Foundation: Power of a Quotient

*Este video solo está disponible en inglés.

Vocabulario

• Propiedad de cociente de potencias: Para todos los números reales ,

.

• Propiedad de la potencia de un cociente:

Práctica guiada

Simplifica las siguientes expresiones.

a)

b)

Solución

En problemas donde necesitamos aplicar varias reglas juntas, debemos tener en mente el orden de las operaciones.

a) Aplicamos primero la regla de las potencias en el primer término:

Luego aplicamos la regla de cociente para simplificar la fracción:

Y finalmente simplificamos con la regla de producto:

b)

Simplificamos dentro del paréntesis reduciendo los números:

Luego aplicamos la regla de potencia a la primera fracción:

Agrupamos términos similares:

Y aplicamos la regla de cociente a cada fracción:

Practica

Calcula las siguientes expresiones

Simplifica las siguientes expresiones

4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. donde y
10. donde y
11. donde
12. donde
13. Si y , simplifica lo que más se pueda.