Exponentes Negativos

Aquí aprenderás cómo simplificar expresiones que tienen exponentes negativos.

Digamos que tienes una expresión matemática como $\frac{x^{-2}}{x^{-6}}$ que tiene exponentes negativos. ¿Cómo podrías simplificarla de tal manera que ninguno de sus exponentes quedara negativo? Una vez que completes esta sección podrás simplificar expresiones con exponentes negativos como ésta.

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Foundation: 0805S Negative Exponents

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Orientación

Las reglas de producto y cociente para exponentes nos llevan a varios conceptos interesantes. Por ejemplo, hasta el momento hemos considerado mayormente números positivos enteros como exponentes, pero podrías estar preguntándote qué pasa cuando el exponente no es un número positivo entero. ¿Qué significa elevar algo a la potencia de 0, o -1, o $\frac{1}{2}$ ? En esta sección, lo aprenderemos.

Simplificar expresiones con exponentes negativos

Cuando aprendimos la regla de cociente para exponentes $\left ( \frac{x^n}{x^m}=x^{(n-m)} \right )$ , vimos que ésta se aplica incluso cuando el exponente en el denominador es mayor que el del numerador. Eliminar los factores en el numerador con los del denominador deja los factores restantes en el denominador, y restar los exponentes deja un número negativo. Por ende, los exponentes negativos sólo representan fracciones con exponentes en el denominador. Esto se puede resumir en una regla:

Regla de potencias negativas para exponentes: $x^{-n} = \frac{1}{x^n}$ , donde $x \neq 0$

Los exponentes negativos se pueden aplicar a productos y cocientes también. Aquí hay un ejemplo de un exponente negativo aplicado a un producto:

$& (x^3y)^{-2} = x^{-6}y^{-2} && \text{using the power rule}\\\& x^{-6}y^{-2} = \frac{1}{x^6} \cdot \frac{1}{y^2} = \frac{1}{x^6y^2} && \text{using the negative power rule separately on each variable}$

Aquí hay un ejemplo de un exponente negativo aplicado a un cociente:

$& \left ( \frac{a}{b} \right )^{-3} = \frac{a^{-3}}{b^{-3}} && \text{using the power rule for quotients}\\\& \frac{a^{-3}}{b^{-3}} = \frac{a^{-3}}{1} \cdot \frac{1}{b^{-3}} = \frac{1}{a^3} \cdot \frac{b^3}{1} && \text{using the negative power rule on each variable separately}\\\& \frac{1}{a^3} \cdot \frac{b^3}{1} = \frac{b^3}{a^3} && \text{simplifying the division of fractions}\\\& \frac{b^3}{a^3} = \left ( \frac{b}{a} \right )^3 && \text{using the power rule for quotients in reverse.}$

Este último paso no era verdaderamente necesario, pero poner la respuesta de esa forma nos muestra algo útil: $\left ( \frac{a}{b} \right )^{-3}$ es igual a $\left ( \frac{b}{a} \right )^3$ . Este es un ejemplo de una regla que podemos aplicar más generalmente:

Regla de potencias negativas para fracciones: $\left ( \frac{x}{y} \right )^{-n} = \left ( \frac{y}{x} \right )^n,$ donde $x \neq 0, y \neq 0$

Esta regla puede ser útil cuando quieras escribir una expresión sin usar fracciones.

Ejemplo A

Escribe las siguientes expresiones sin fracciones.

a) $\frac{1}{x}$

b) $\frac{2}{x^2}$

c) $\frac{x^2}{y^3}$

d) $\frac{3}{xy}$

Solución

a) $\frac{1}{x} = x^{-1}$

b) $\frac{2}{x^2} = 2x^{-2}$

c) $\frac{x^2}{y^3} = x^2y^{-3}$

d) $\frac{3}{xy} = 3x^{-1}y^{-1}$

Ejemplo B

Simplifica las siguientes expresiones y escríbelas sin fracciones

a) $\frac{4a^2b^3}{2a^5b}$

b) $\left ( \frac{x}{3y^2} \right )^3 \cdot \frac{x^2y}{4}$

Solución

a) Reduce los números y aplica la regla de cociente a cada variable por separado:

$\frac{4a^2b^3}{2a^5b} = 2 \cdot a^{2-5} \cdot b^{3-1} = 2a^{-3}b^2$

b) Aplica primero la regla de potencia para cocientes:

$\left ( \frac{2x}{y^2} \right )^3 \cdot \frac{x^2y}{4} = \frac{8x^3}{y^6} \cdot \frac{x^2y}{4}$

Luego simplifica los números y usa la regla de producto con las $x$ y la regla de cociente en las $y$

$\frac{8x^3}{y^6} \cdot \frac{x^2y}{4} = 2 \cdot x^{3+2} \cdot y^{1-6} = 2x^5y^{-5}$

Puedes usar también la regla de potencia negativa de manera inversa si quieres escribir una expresión sin exponentes negativos.

Ejemplo C

Escribe las siguientes expresiones sin exponentes negativos.

a) $3x^{-3}$

b) $a^2b^{-3}c^{-1}$

c) $4x^{-1}y^3$

d) $\frac{2x^{-2}}{y^{-3}}$

Solución

a) $3x^{-3} = \frac{3}{x^3}$

b) $a^2b^{-3}c^{-1} = \frac{a^2}{b^3c}$

c) $4x^{-1}y^3 = \frac{4y^3}{x}$

d) $\frac{2x^{-2}}{y^{-3}} = \frac{2y^3}{x^2}$

Mira este video si necesitas ayuda con los ejemplos anteriores.

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CK-12 Foundation: Negative Exponents

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Vocabulario

Regla de exponente negativo para exponentes: $x^{-n} = \frac{1}{x^n}$ , donde $x \neq 0.$

Práctica guiada

Simplifica las siguientes expresiones y escribe las respuestas sin potencias negativas.

a) $\left ( \frac{ab^{-2}}{b^3} \right )^2$

b) $\frac{x^{-3}y^2}{x^2y^{-2}}$

Solución

a) Aplica la regla de cociente dentro del paréntesis: $\left ( \frac{ab^{-2}}{b^3} \right )^2 = (ab^{-5})^2$

Luego aplica la regla de potencia: $(ab^{-5})^2 = a^2b^{-10} = \frac{a^2}{b^{10}}$

b) Aplica la regla de cociente a cada variable por separado: $\frac{x^{-3}y^2}{x^2y^{-2}} = x^{-3-2}y^{2-(-2)} = x^{-5}y^4 = \frac{y^4}{x^5}$

Practica

Simplifica las siguientes expresiones de tal manera que no haya ningún exponente negativo en la respuesta.

$x^{-1}y^2$
$x^{-4}$
$\frac{x^{-3}}{x^{-7}}$
$\frac{x^{-3}y^{-5}}{z^{-7}}$
$\left ( \frac{a}{b} \right )^{-2}$
$(3a^{-2}b^2c^3)^3$

Simplifica las siguientes expresiones de tal manera que no haya fracciones en la respuesta.

$\frac{a^{-3}(a^5)}{a^{-6}}$
$\frac{5x^6y^2}{x^8y}$
$\frac{(4ab^6)^3}{(ab)^5}$
$\frac{(3x^3)(4x^4)}{(2y)^2}$
$\frac{a^{-2}b^{-3}}{c^{-1}}$

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