Exponentes Fraccionales

Aquí aprenderás cómo simplificar expresiones que contienen exponentes cero o fraccionales.

Digamos que tienes una expresión matemática como $\frac{x^{\frac{5}{8}}}{x^{\frac{1}{3}}}$ que contiene exponentes fraccionales. ¿Cómo podrías simplificarla? Una vez que completes esta sección, podrás simplificar expresiones como ésta con exponentes cero o fraccionales.

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CK-12 Foundation: 0806S Fractional Exponents

*Este video solo está disponible en inglés.

Para más información sobre exponentes cero y negativos, mira el siguiente video en squidoo.com: http://www.google.com/url?sa=t&source=video&cd=4&ved=0CFMQtwIwAw&url=http%3A%2F%2Fwww.youtube.com%2Fwatch%3Fv%3D9svqGWwyN8Q&rct=j&q=negative%20exponents%20applet&ei=1fH6TP2IGoX4sAOnlbT3DQ&usg=AFQjCNHzLF4_2aeo0dMWsa2wJ_CwzckXNA&cad=rja.

Orientación

En una sección anterior vimos la regla de cociente para exponentes: $\left ( \frac{x^n}{x^m} = x^{(n-m)}\right )$ . considera lo que pasa cuando $n = m$ .

Ejemplo A

Por ejemplo, ¿Qué pasa cuando dividimos $x^4$ por $x^4$ ? Aplicando la regla de cociente que nos dice que $\frac{x^4}{x^4} = x^{(4-4)}=x^0$ ¿Qué significa el cero?

Bueno, primero descubrimos la regla de cociente al considerar como los factores de $x$ se eliminan en tal fracción. Hagamos eso de nuevo con nuestro ejemplo de $x^4$ dividido por $x^4$ :

$\frac{x^4}{x^4} = \frac{\cancel{x} \cdot \cancel{x} \cdot \cancel{x} \cdot \cancel{x}}{\cancel{x} \cdot \cancel{x} \cdot \cancel{x} \cdot \cancel{x}} = 1$

Entonces $x^0=1 !$ Puedes ver que esto funciona para cualquier valor del exponente, no sólo 4:

$\frac{x^n}{x^n} = x^{(n-n)} = x^0$

Ya que hay el mismo número de $x$ en el numerador y en el denominador, se eliminan y obtenemos $x^0 = 1$ . Esta regla aplica para todas las expresiones:

Regla de cero para exponentes: $x^0=1$ , donde $x \neq 0$

Simplificar expresiones con exponentes fraccionales

Hasta el momento hemos visto sólo expresiones donde los exponentes son positivos o negativos enteros. Las reglas que hemos aprendido funcionan de la misma manera si las potencias son fracciones o números irracionales. ¿Qué significa un exponente fraccional? Veamos si podemos descubrirlo usando las reglas que ya conocemos.

Supone que tenemos una expresión como $9^{\frac{1}{2}}$ ¿Podemos relacionar esta expresión con otra con la que ya sabemos trabajar? Por ejemplo, ¿Cómo podríamos convertirla en una expresión que no tiene ningún exponente fraccional?

Bueno, la regla de potencias nos dice que si elevamos una expresión exponencial a una potencia, podemos multiplicar los exponentes.

Ejemplo B

Por ejemplo, si elevamos $9^ \frac{1}{2}$ a la potencia de 2, obtenemos $\left(9^\frac{1}{2}\right)^2=9^{2 \cdot \frac{1}{2}}=9^1=9$ .

Entonces, si $9^{\frac{1}{2}}$ cuadrado es 9, ¿a cuánto equivale $9^{\frac{1}{2}}$ Bueno, 3 es el número cuyo cuadrado es 9 (esto significa que, es la raíz cuadrada de 9?, entonces $9^{\frac{1}{2}}$ debe ser igual a 3. Y esto es verdadero para todos los números y variables: un número elevado a la potencia de $\frac{1}{2}$ es igual a la raíz cuadrada del número. Podemos escribir esto como $\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}$ , y luego podemos ver que esto es verdadero ya que $\left( \sqrt{x} \right)^2=x$ al igual que $\left( x^{\frac{1}{2}} \right)^2=x$ .

De igual manera, un número a la potencia de $\frac{1}{3}$ es la raíz cúbica de ése número, y así sucesivamente. En general $x^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{x}$ . Y cuando elevamos un número a una potencia y luego tomamos la raíz de éste, aún obtenemos un exponente fraccional; por ejemplo, $\sqrt[3]{x^4}=\left(x^4\right)^{\frac{1}{3}}=x^{\frac{4}{3}}$ . En general, la regla es la siguiente:

Regla para exponentes fraccionales: $\sqrt[m]{a^n}=a^{\frac{n}{m}}$ and $\left( \sqrt[m]{a}\right)^n=a^{\frac{n}{m}}$

Examinaremos raíces y radicales en detalle luego en otro capítulo. En esta sección, nos centraremos en cómo las reglas de exponentes se aplican a exponentes fraccionales.

Ejemplo C

Simplifica las siguientes expresiones.

a) $a^{\frac{1}{2}} \cdot a^{\frac{1}{3}}$

b) $\left(a^{\frac{1}{3}}\right)^2$

c) $\frac{a^{\frac{5}{2}}}{a^{\frac{1}{2}}}$

d) $\left(\frac{x^2}{y^3}\right)^{\frac{1}{3}}$

Solución

a) Aplica la regla de producto: $a^\frac{1}{2} \cdot a^\frac{1}{3}=a^{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}}=a^{\frac{5}{6}}$

b) Aplica la regla de potencia: $\left(a^{\frac{1}{3}}\right)^2=a^{\frac{2}{3}}$

c) Aplica la regla de cociente $\frac{a^{\frac{5}{2}}}{a^{\frac{1}{2}}}=a^{\frac{5}{2}-\frac{1}{2}}=a^{\frac{4}{2}}=a^2$

d) Aplica la regla de potencia para cocientes $\left(\frac{x^2}{y^3}\right)^{\frac{1}{3}}=\frac{x^{\frac{2}{3}}}{y}$

Mira este video si necesitas ayuda con los ejemplos anteriores.

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CK-12 Foundation: Zero and Fractional Exponents

*Este video solo está disponible en inglés.

Vocabulario

Regla cero para exponentes: $x^0=1$ , donde $x \neq 0$

Regla para exponentes fraccionales: $\sqrt[m]{a^n}=a^{\frac{n}{m}}$ y $\left( \sqrt[m]{a}\right)^n=a^{\frac{n}{m}}$

Práctica guiada

Simplifica las siguientes expresiones

a) $\left(x^{\frac{2}{5}}\right)^5$

b) $\frac{y^{\frac{3}{4}}}{y^{\frac{1}{8}}}$

c) $\left(\frac{x^{2a}}{y^{4b}}\right)^{\frac{1}{2}}$

Solución

a) Aplica la regla de potencia: $\left(x^{\frac{2}{5}}\right)^5=x^{\frac{2}{5}\cdot 5}=x^2$

b) Aplica la regla de cociente: $\frac{y^{\frac{3}{4}}}{y^{\frac{1}{8}}}=y^{\frac{3}{4}-\frac{1}{8}}=y^{\frac{6}{8}-\frac{1}{8}}=y^{\frac{5}{8}}$

c) Aplica la regla de potencias para cocientes: $\left(\frac{x^{2a}}{y^{4b}}\right)^{\frac{1}{2}}=\frac{x^{2a\cdot \frac{1}{2}}}{y^{4b\cdot \frac{1}{2}}}=\frac{x^{a}}{y^{2b}}$

Practica

Simplifica las siguientes expresiones de tal manera que no haya ningún exponente negativo en la respuesta.

$(x^\frac{1}{2} y^\frac{-2}{3})(x^2y^\frac{1}{3})$
$x^{-3} \cdot x^3$
$y^{5} \cdot y^{-5}$
$\frac{x^2y^{-3}}{x^{-4}y^{-2}}\cdot x^2$

Simplifica las siguientes expresiones de tal manera que no haya ninguna fracción en las respuestas.

$x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{5}{2}}$
$\left(\frac{a}{b}\right)^{3/4}$
$\frac{3x^2y^\frac{3}{2}}{xy^\frac{1}{2}}$
$\frac{x^\frac{1}{2}y^\frac{5}{2}}{x^\frac{3}{2} y^\frac{3}{2}}$
$\left(\frac{a^2b^{\frac{1}{3}}}{a^3b}\right)^\frac{1}{2}$
$\left(\frac{a^\frac{1}{2}b}{ab^\frac{1}{4}}\right)^2$

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