Notación Científica

Aquí aprenderás cómo escribir números muy grandes y muy pequeños para que sea más fácil trabajar con ellos y evaluarlos.

¿Sabías que la población de Estados Unidos es 308.000.000? ¿Cómo podrías simplificar este número para que trabajar con él sea más fácil? Una vez que completes esta sección, podrás escribir números muy grandes y muy pequeños como éste en notación científica.

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Foundation: 0808S Scientific Notation

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Orientación

Considera el número seiscientos cuarenta y tres mil doscientos noventa y siete. Lo escribimos 643.297 y la posición de cada dígito tiene un "valor" asignado a éste. Puede que hayas visto una tabla como ésta antes:

$& \text{hundred-thousands} \quad \text{ten-thousands} \quad \text{thousands} \quad \text{hundreds} \quad \text{tens} \quad \text{units}\\\& \qquad \quad \ 6 \qquad \qquad \qquad \qquad 4 \qquad \qquad \qquad 3 \qquad \qquad \quad 2 \qquad \quad 9 \qquad \ \ 7$

Hemos visto que cuando escribimos un exponente sobre un número, significa que tenemos que multiplicar un cierto número de copias de ese número. Hemos visto también que un exponente cero siempre nos da 1, y que los exponentes negativos nos dan respuestas fraccionales.

Mira cuidadosamente la tabla de arriba, ¿notaste que todos los títulos de las columnas son potencias de diez? Aquí hay una lista:

$100,000 &= 10^5\\\10,000 &= 10^4\\\1,000 &= 10^3\\\100 &= 10^2\\\10 &= 10^1$

Incluso la columna de "unidades" es sólo una potencia de 10. Unidad significa 1 y 1 es $10^0$ .

Si dividimos 643.297 por 100.000 obtenemos 6,43297; si multiplicamos 6,43297 por 100.000 obtenemos 643.297. Pero sólo hemos visto que 100.000 es lo mismo que $10^5$ , entonces si multiplicamos 6,43297 por $10^5$ también vamos a obtener 643.297. En otras palabras,

$643,297 = 6.43297 \times 10^5$

Escribir números en notación científica

En notación científica los números siempre se escriben en la forma $a \times 10^b$ , donde $b$ es un número entero y $a$ es entre 1 y 10 (esto significa que tiene exactamente 1 dígito que no es cero antes del decimal). Esta notación es especialmente útil para números que son muy grandes o muy pequeños

Acá hay un conjunto de ejemplos:

$1.07 \times 10^4 &= 10,700\\\1.07 \times 10^3 &= 1,070\\\1.07 \times 10^2 &= 107\\\1.07 \times 10^1 &= 10.7\\\1.07 \times 10^0 &= 1.07\\\1.07 \times 10^{-1} &= 0.107\\\1.07 \times 10^{-2} &= 0.0107\\\1.07 \times 10^{-3} &= 0.00107\\\1.07 \times 10^{-4} &= 0.000107$

Mira el primer ejemplo y fíjate dónde está la coma decimal en ambas expresiones.

Entonces el exponente en el 10 actúa para mover la coma decimal hacia la derecha. Un exponente de 4 la mueve 4 lugares y un exponente de 3 la movería 3 veces.

Esto tiene sentido porque cada vez que multiplicas por 10 mueves la coma decimal hacia la derecha. 1,07 por 10 es 10,7, que por 10 de nuevo es 107,0 y así sucesivamente.

De igual manera, si miras los siguientes ejemplos en la tabla puedes ver que un exponente negativo en el 1 significa que la coma decimal se mueve esa cantidad de veces hacia la izquierda. Esto es porque multiplicar $10^{-1}$ es lo mismo que multiplicar por $\frac{1}{10}$ , lo que sería dividir por 10. Por ende, en vez de mover la coma decimal un lugar hacia la derecha por cada múltiplo de 10, la movemos un lugar hacia la izquierda por cada múltiplo de $\frac{1}{10}$ .

Así es cómo convertir números de notación científica a la forma estándar. Cuando convertimos números a notación científica, sin embargo, tenemos que aplicar todo el proceso al revés. Primero movemos la coma decimal hasta que esté inmediatamente al lado del primer dígito que no es cero; luego contamos cuántos lugares la movimos. Si la movimos hacia la izquierda, el exponente en el 10 es positivo; si la movimos hacia la derecha, es negativo.

Entonces, por ejemplo, para escribir 0,000032 en notación científica, primero moveríamos el decimal cinco lugares hacia la derecha para obtener 3,2; luego, ya que lo movimos hacia la derecha, el exponente del 10 debería ser cinco negativo por ende el número en notación científica es $3.2 \times 10^{-5}$ .

Puedes comprobar dos veces si lo hiciste en la dirección correcta mediante una comparación del número en notación científica con el número en su forma estándar, y luego piensa;"¿éste es un número grande o un número pequeño?". Un exponente positivo en el 10 representa un número más grande que 10 y un exponente negativo representa uno más pequeño que 10. Puedes fácilmente darte cuenta si el número en su forma estándar es más grande o más pequeño que 10 con tan sólo mirarlo.

Para más práctica, visita la herramienta online en http://hotmath.com/util/hm_flash_movie.html?movie=/learning_activities/interactivities/sciNotation.swf . Haz clic en los botones flecha para mover la coma decimal hasta que el número en el medio esté escrito en la notación científica adecuada y ve cómo el exponente cambia mientras mueves la coma decimal.

Ejemplo A

Escribe los siguientes números en notación científica.

a) 63

b) 9,654

c) 653,937,000

d) 0.003

e) 0.000056

f) 0.00005007

Solución

a) $63 = 6.3 \times 10 = 6.3 \times 10^1$

b) $9,654 = 9.654 \times 1,000 = 9.654 \times 10^3$

c) $653,937,000 = 6.53937000 \times 100,000,000 = 6.53937 \times 10^8$

d) $0.003 = 3 \times \frac{1}{1000} = 3 \times 10^{-3}$

e) $0.000056 = 5.6 \times \frac{1}{100,000} = 5.6 \times 10^{-5}$

f) $0.00005007 = 5.007 \times \frac{1}{100,000} = 5.007 \times 10^{-5}$

Ejemplo B

Calcula las siguientes expresiones y escribe tu respuesta en notación científica.

a) $(3.2 \times 10^6) \cdot (8.7 \times 10^{11})$

b) $(5.2 \times 10^{-4}) \cdot (3.8 \times 10^{-19})$

c) $(1.7 \times 10^6) \cdot (2.7 \times 10^{-11})$

Solución

La clave para calcular expresiones que tienen notación científica es agrupar las potencias de 10 y tratarlas por separado.

a) $(3.2 \times 10^6) (8.7 \times 10^{11}) = \underbrace{3.2 \times 8.7}_{27.84} \times \underbrace{10^6 \times 10^{11}}_{10^{17}} = 27.84 \times 10^{17}.$ Pero $27.84 \times 10^{17}$ no está en notación científica propiamente tal ya que tiene más de un dígito antes de la coma decimal. Debemos mover la coma decimal un lugar más hacia la izquierda y sumar 1 al exponente, lo que nos da $2.784 \times 10^{18}$ .

$(5.2 \times 10^{-4}) (3.8 \times 10^{-19}) &= \underbrace{5.2 \times 3.8}_{19.76} \times \underbrace{10^{-4} \times 10^{-19}}_{10^{-23}} \\\ &= 19.76 \times 10^{-23} \\\ &= 1.976 \times 10^{-22}$

c) $(1.7 \times 10^6) (2.7 \times 10^{-11}) = \underbrace{1.7 \times 2.7}_{4.59} \times \underbrace{10^6 \times 10^{-11}}_{10^{-5}} = 4.59 \times 10^{-5}$

Cuando usamos notación científica en el mundo real, a menudo redondeamos nuestros cálculos. Ya que generalmente tratamos con números muy pequeños o muy grandes, puede ser más fácil redondear para que así no tengamos que tratar con todos los dígitos. La notación científica nos ayuda con esto al permitirnos no escribir todos los ceros extra. Por ejemplo, si redondeamos 4.227.457.903 a 4.200.000.000, podemos luego escribirlo en notación científica tan simple como $4.2 \times 10^9$ .

Cuando redondeamos, a menudo hablamos de cifras importantes o dígitos importantes . Las cifras importantes incluyen:

Todos los dígitos que no sean cero
Todos los que no sean cero que están antes de un dígito que no sea cero y después tanto de una coma decimal o de otro dígito que no sea cero.

Por ejemplo, el número 4000 tiene un dígito importante; los ceros no cuentan porque no hay un dígito que no sea cero después de ellos. Pero el número 4000,5 tiene cinco dígitos importantes; el 4, el 5 y todos los ceros del medio y el número 0,003 tiene tres dígitos importantes: el 3 y los dos ceros que están entre el 3 y la coma decimal.

Ejemplo C

Calcula las siguientes expresiones. Redondea a 3 las cifras importantes y escribe tu respuesta en notación científica.

a) $(3.2 \times 10^6) \div (8.7 \times 10^{11})$

b) $(5.2 \times 10^{-4}) \div (3.8 \times 10^{-19})$

Solución

Es más fácil si convertimos a fracciones y LUEGO separamos las potencias de 10.

a) $(3.2 \times 10^6) \div (8.7 \times 10^{11}) &= \frac{3.2 \times 10^6}{8.7 \times 10^{11}} && - separate \ out \ the \ powers \ of \ 10:\\\& = \frac{3.2}{8.7} \times \frac{10^6}{10^{11}} && - evaluate \ each \ fraction \ (round \ to \ 3 \ s.f.):\\\& = 0.368 \times 10^{(6 - 11)}\\\& = 0.368 \times 10^{-5} && - remember \ how \ to \ write \ scientific \ notation!\\\& = 3.68 \times 10^{-6}$

b) $(5.2 \times 10^{-4}) \div (3.8 \times 10^{-19}) & = \frac{5.2 \times 10^{-4}}{3.8 \times 10^{-19}} && - separate \ the \ powers \ of \ 10:\\\& = \frac{5.2}{3.8} \times \frac{10^{-4}}{10^{-19}} && - evaluate \ each \ fraction \ (round \ to \ 3 \ s.f.)\\\& = 1.37 \times 10^{((-4) - (-19))}\\\& = 1.37 \times 10^{15}$

Mira este video si necesitas ayuda con los ejemplos anteriores.

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CK-12 Foundation: Scientific Notation

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Vocabulario

En la notación científica , los números se escriben siempre en la forma $a \times 10^b$ , donde $b$ es un número entero y $a$ es un número desde 1 a 10 (esto significa que tiene exactamente 1 dígito que no es cero antes del decimal).

Práctica guiada

Calcula las siguientes expresiones. Redondea a 3 las cifras importantes y escribe tu respuesta en notación científica.

$(1.7 \times 10^6) \div (2.7 \times 10^{-11})$

Solución:

$(1.7 \times 10^6) \div (2.7 \times 10^{-11}) & = \frac{1.7 \times 10^6}{2.7 \times 10^{-11}} && - next \ we \ separate \ the \ powers \ of \ 10:\\\& = \frac{1.7}{2.7} \times \frac{10^6}{10^{-11}} && - evaluate \ each \ fraction \ (round \ to \ 3 \ s.f.)\\\& = 0.630 \times 10^{(6-(-11))}\\\& = 0.630 \times 10^{17}\\\& = 6.30 \times 10^{16}$

Fíjate que tenemos que dejar el cero final para indicar que el resultado ha sido redondeado.

Practica

Escribe el valor numérico de los siguientes ejercicios.

$3.102 \times 10^2$
$7.4 \times 10^4$
$1.75 \times 10^{-3}$
$2.9 \times 10^{-5}$
$9.99 \times 10^{-9}$

Escribe los siguientes números en notación científica.

120,000
1,765,244
12
0.00281
0.000000027

¿Cuántos dígitos importantes hay en cada uno de los siguientes ejercicios?

38553000
2754000.23
0.0000222
0.0002000079

Redondea cada uno de los siguientes ejercicios a dos dígitos importantes.

3.0132
82.9913

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