Series Geométricas y Funciones Exponenciales

Aquí aprenderás cómo encontrar términos en series geométricas. También aprenderás como resolver aplicaciones en el mundo real que involucran series geométricas.

Digamos que tienes una serie de números como 1, 3, 9, 27... en la cual cada número se calcula multiplicando el número anterior con una cantidad fija. ¿Cómo podrías encontrar el quinto y sexto número en esta serie? Una vez que completes esta sección podrás resolver problemas como éste que involucran series geométricas.

Prueba esto

Para más práctica en encontrar los términos en series geométricas, visita el navegador de juego en http://www.ies-math.com/math/java/misc/sum/sum.html .

Mira este video

Haz clic en la imagen de arriba para ver más contenido. (requiere conexión a internet)

Foundation: 0810S Lesson Geometric Sequences

*Este video solo está disponible en inglés.

Orientación

Considera la siguiente pregunta:

Qué preferirías, ¿recibir un millón de dólares, o recibir un centavo el primer día, duplicar ese centavo el día siguiente y luego duplicar los centavos del día anterior y así sucesivamente por un mes?

A primera vista es fácil decir ""Dame el millón!", pero ¿por qué no hacemos algunos cálculos para ver cómo se acumula la otra opción?

Empiezas con un centavo el primer día y lo duplicas cada día. Duplicar significa que seguimos multiplicando por 2 cada día del mes (30 días).

El primer día, recibes 1 centavo, o $2^0$ centavos.

El segundo día, recibes 2 centavos, o $2^1$ centavos.

El tercer día, recibes 4 centavos, o $2^2$ centavos. ¿Ya viste el patrón?

El cuarto día, recibes 8 centavos, o $2^3$ centavos. Cada día, el exponente es uno menos que el número de ése día.

Entonces al trigésimo día recibirás $2^{29}$ centavos, lo que es 536.870.012 centavos, o sea ¡$5.368.709,12 dólares! Eso es mucho más que un millón de dólares.

Este problema es un ejemplo de una serie geométrica. En esta sección, descubriremos qué es una serie geométrica y cómo resolver problemas que involucran series geométricas.

Identificar una serie geométrica

Una serie geométrica es una secuencia de números en la cual cada número de la serie se obtiene al multiplicar el número anterior por una cantidad fija llamada la razón común. En otras palabras, la razón entre cualquier término y el término anterior es siempre la misma. En el ejemplo anterior la razón común era 2, ya que el número de centavos se duplicaba cada día.

La razón común, $r$ , se puede encontrar en cualquier serie geométrica al dividir cualquier término con el término antes de él.

Acá hay algunos ejemplos de series geométricas y sus razones comunes.

$& 4, 16, 64, 256, \ldots \qquad \qquad \ r = 4 \quad \ \ \ \ (\text{divide 16 by 4 to get 4})\\\& 15, 30, 60, 120, \ldots \qquad \qquad r = 2 \quad \ \ \ \ (\text{divide 30 by 15 to get 2})\\\& 11, \frac{11}{2}, \frac{11}{4}, \frac{11}{8}, \frac{11}{16}, \ldots \qquad \ r = \frac{1}{2} \quad \ \ \left (\text{divide} \ \frac{11}{2} \ \text{by 11 to get} \ \frac{1}{2}\right )\\\& 25, -5, 1, -\frac{1}{5}, \frac{1}{25}, \ldots \qquad \ \ r = - \frac{1}{5} \quad \left (\text{divide 1 by -5 to get} - \frac{1}{5} \right )$

Si conocemos la razón común $r$ , podemos encontrar el siguiente término en la serie sólo con multiplicar el último término con $r$ . Además, si hay algún término faltante en la serie, podemos encontrarlo al multiplicar el término anterior a cada término faltante por la razón común.

Ejemplo A

Completa los términos faltantes en cada serie.

a) 1, ___, 25, 125, ___

b) 20, ___, 5, ___, 1.25

Solución

a) Primero podemos encontrar la razón común al dividir 125 por 25 para obtener $r = 5$ .

Para encontrar el primer término faltante, multiplicamos 1 por la razón común: $1 \cdot 5 = 5$

Para encontrar el segundo término faltante, multiplicamos 125 por la razón común: $125 \cdot 5 = 625$

La serie (a) queda así: 1, 5, 25, 125, 625,...

b) Primero tenemos que encontrar la razón común, pero ¿cómo lo hacemos cuando no tenemos términos al lado de otros términos que podamos dividir?

Bueno, sabemos que para obtener de 20 a 5 en la serie debemos multiplicar 20 por la razón común dos veces : : una para obtener el segundo término de la serie y otra para obtener hasta cinco. Entonces podemos decir $20 \cdot r \cdot r = 5$ , or $20 \cdot r^2 = 5$ .

Al dividir ambas por 20 obtenemos $r^2 = \frac{5}{20} = \frac{1}{4}$ , o $r = \frac{1}{2}$ (porque $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$ ).

Para obtener el primer término faltante, multiplicamos 20 por $\frac{1}{2}$ y tenemos 10.

Para obtener el segundo término faltante, multiplicamos 5 por $\frac{1}{2}$ y obtenemos 2.5.

La serie (b) queda así: 20, 10, 5, 2.5, 1.25,...

Puedes ver que si seguimos multiplicando por la razón común, podemos encontrar cualquier término que queramos de la serie: el décimo término, el quincuagésimo, milésimo, etc. Sin embargo, sería muy tedioso seguir multiplicando una y otra vez para encontrar un término que esté muy alejado del primero. ¿Qué podríamos hacer en vez de multiplicar repetidamente?

Veamos una serie geométrica que comienza con el número 7 y que tiene una razón común de 2.

$& \text{The} \ 1^{st} \ \text{term is:} && 7 = 7 \cdot 2^0\\\& \text{We obtain the} \ 2^{nd} \ \text{term by multiplying by 2}: && 7 \cdot 2 = 7 \cdot 2^1\\\& \text{We obtain the} \ 3^{rd} \ \text{term by multiplying by 2 again:} && 7 \cdot 2 \cdot 2 = 7 \cdot 2^2\\\& \text{We obtain the} \ 4^{th} \ \text{term by multiplying by 2 again:} && 7 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 7 \cdot 2^3\\\& \text{We obtain the} \ 5^{th} \ \text{term by multiplying by 2 again:} && 7 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 7 \cdot 2^4\\\& \text{The nth term would be:} && 7 \cdot 2^{n - 1}$

El n término es $7 \cdot 2^{n - 1}$ ya que el 7 se multiplica por 2 una vez para el $2^{nd}$ término, dos veces para el tercer término y así con cada término una vez menos que el lugar del término en la serie. En general, escribimos una serie geométrica con $n$ términos así:

$a, ar, ar^2, ar^3, \ldots, ar^{n-1}$

La fórmula para encontrar un término específico en una serie geométrica es:

El $n^{th}$ término en una serie geométrica: $a_n = a_1 r^{n-1}$

( $a_1 =$ primer término, $r =$ razón común)

Ejemplo B

Para cada una de estas series geométricas, encuentra el octavo término de la serie.

a) 1, 2, 4,...

b) 16, -8, 4, -2, 1,...

Solución

a) Primero debemos encontrar la razón común: $r = \frac{2}{1} = 2$ .

El octavo término lo encontramos con la fórmula $a_8 = a_1r^7 = 1 \cdot 2^7 = 128$

En otras palabras, para obtener el octavo término comenzamos con el primer término, el cual es 1, y luego multiplicamos por 2 siete veces.

b) La razón común es $r = \frac{-8}{16} = \frac{-1}{2}$

El octavo término de la serie es $a_8 = a_1 r^7 = 16 \cdot \left ( \frac{-1}{2} \right )^7 = 16 \cdot \frac{(-1)^7}{2^7} = 16 \cdot \frac{-1}{2^7} = \frac{-16}{128} = - \frac{1}{8}$

Miremos otra vez los términos en la segunda serie. Fíjate que alternan entre positivo, negativo, positivo, negativo durante toda la lista. Cuando veas este patrón, sabes que la razón común es negativa; multiplicar por un número negativo cada vez significa que el signo de cada término es opuesto al signo del término anterior.

Resuelve problemas del mundo real que involucran series geométricas

Resolvamos dos problemas de aplicación que involucran series geométricas.

Ejemplo C

Un cortesano le regaló al rey de la India un hermoso tablero de ajedrez hecho a mano. El rey le preguntó qué quería para cambiar su regalo y el cortesano sorprendió al rey al pedirle un grano de arroz en el primer cuadrado del tablero, dos granos en el segundo, cuatro granos en el tercero, etc. El rey aceptó de inmediato y pidió que trajeran el arroz. (De Meadows et. Al 1972, via Porritt 2005) ¿Cuántos granos de arroz tiene que poner el rey en el último cuadrado?

Solución

Un tablero de ajedrez tiene una cuadrícula de $8 \times 8$ , por ende tiene 64 cuadrados.

El cortesano pidió un grano de arroz en el primer cuadrado, dos granos en el segundo, 4 granos en el tercero y así sucesivamente. Podemos escribir esto como una serie geométrica:

1, 2, 4,...

Los números se duplican cada vez, entonces la razón común es $r = 2$ .

El problema nos pregunta cuántos granos de arroz necesita el rey para poner en el último cuadrado, por ende necesitamos encontrar el $64^{th}$ de la serie. Usemos nuestra fórmula:

$a_n = a_1 r^{n-1}$ , donde $a_n$ es cualquier término que queramos encontrar, $a_1$ es el primer término y $r$ es la razón común.

$a_{64} = 1 \cdot 2^{63} = 9,223,372,036,854,775,808$ granos de arroz.

El problema que hemos resuelto se puede aplicar en negocios y tecnología. En estrategia tecnológica la segunda mitad del tablero de ajedrez es una frase acuñada por un hombre llamado Ray Kurzweil, haciendo referencia al punto donde un factor de crecimiento exponencial comienza a tener un impacto económico importante en una estrategia de negocios general de una organización.

El número total de granos de arroz en la primera mitad del tablero de ajedrez es $1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 + 256 + 512 + 1024 \ldots + 2,147,483,648,$ con un total de exactamente 4,294,967,295 295 granos de arroz, o aproximadamente 100.000 kg de arroz (si la masa de un grano de arroz pesa 15 mg). Esta cantidad total es aproximadamente la $\frac{1}{1,000,000^{th}}$ parte de la producción total en India en el año 2005 y es una cantidad que seguramente el rey podría haber pagado.

El número total de granos de arroz en la segunda mitad del tablero de ajedrez es $2^{32} + 2^{33} + 2^{34} \ldots + 2^{63}$ , para darnos un total de 18.446.744.069.414.584.320 granos de arroz. Esto es cerca de 460 billones de toneladas, o 6 veces el peso total de toda la materia viva en la tierra. El rey no entendía lo que estaba aceptando, ¡debió haber estudiado algebra! [Wikipedia; GNU-FDL]

Mira este video si necesitas ayuda con los ejemplos anteriores.

Haz clic en la imagen de arriba para ver más contenido. (requiere conexión a internet)

CK-12 Foundation: Geometric Sequences

*Este video solo está disponible en inglés.

Vocabulario

Una serie geométrica es una secuencia de números en la cual cada número de la serie se encuentra al multiplicar el número previo por una cantidad fija conocida como la razón común. En otras palabras, la razón entre cualquier término y el término anterior es siempre la misma. En el ejemplo anterior la razón común era 2, que era la cantidad de centavos duplicados cada día.

La razón común, , $r$ , se puede encontrar en cualquier serie geométrica al dividir cualquier término por el término anterior.

Práctica guiada

Una súper pelota tiene una razón de rebote de 75%; cuando rebota repetidamente, cada rebote es un 75% más alto que el anterior. Cuando la lanzas desde una altura de 20 metros:

a) ¿A qué altura rebota la pelota después de que choca con el suelo por tercera vez?

b) ¿A qué altura rebota la pelota después de que choca con el suelo por septuagésima vez?

Solución

Podemos escribir una serie geométrica que nos da la altura de cada rebote con la razón común de $r = \frac{3}{4}$ :

$20, 20 \cdot \frac{3}{4}, 20 \cdot \left ( \frac{3}{4} \right )^2, 20 \cdot \left ( \frac{3}{4} \right )^3 \ldots$

a) La pelota comienza con una altura de 20 metros; después del primer rebote alcanza una altura de $20 \cdot \frac{3}{4} = 15 \ feet$ .

Después del segundo rebote alcanza una altura de $20 \cdot \left ( \frac{3}{4} \right )^2 = 11.25 \ feet$ .

Después del tercer rebote alcanza una altura de $20 \cdot \left ( \frac{3}{4} \right )^3 = 8.44 \ feet$ .

b) Fíjate que la altura después del primer rebote corresponde al segundo término en la serie, la altura después del segundo rebote corresponde al tercer término en la serie y así sucesivamente.

c) Esto significa que la altura después del septuagésimo rebote corresponde al $18^{th}$ . Puedes encontrar la altura al usar la fórmula: $18^{th}$ termino:

$a_{18} = 20 \cdot \left ( \frac{3}{4} \right )^{17} = 0.15 \ feet.$

Aquí hay un gráfico que representa esta información. (Las alturas en puntos que no sean la punta de cada rebote son sólo aproximaciones)

Practica

Determina los primeros cinco términos de cada serie geométrica.

$a_1 = 2, r = 3$
$a_1 = 90, r = -\frac{1}{3}$
$a_1 = 6, r = -2$
$a_1 = 1, r = 5$
$a_1 = 5, r = 5$
$a_1 = 25, r = 5$
¿Te fijaste en algo de las últimas tres series?

Encuentra los términos que faltan en cada serie geométrica.

3, __ , 48, 192, __
81, __ , __ , __ , 1
$\frac{9}{4} \ , \underline{\;\;\;\;} \ , \underline{\;\;\;\;} \ , \frac{2}{3} \ , \underline{\;\;\;\;}$
2, __ , __ , -54, 162

Encuentra el término indicado de cada serie geométrica.

$a_1 = 4, r = 2$ ; encuentra $a_6$
$a_1 = -7, r = - \frac{3}{4}$ ; encuentra $a_4$
$a_1 = -10, r = -3$ ; encuentra $a_{10}$
En una serie geométrica, $a_3 = 28$ y $a_5 = 112;$ encuentra $r$ y $a_1$ .
En una serie geométrica, $a_2 = 28$ y $a_5 = 112;$ encuentra $r$ y $a_1$ .
Como pudiste ver en las últimas dos preguntas, los mismos términos pueden aparecer en series con razones diferentes.
1. Escribe una serie geométrica que tiene 1 y 9 como dos de sus términos (no necesariamente los primeros dos).
2. Escribe una serie geométrica diferente que también tiene 1 y 9 como dos de sus términos.
3. Escribe una serie geométrica que tiene 6 y 24 como dos de sus términos.
4. Escribe una serie geométrica diferente que también tiene 6 y 24 como dos de sus términos.
5. ¿Cuál es la razón común de la serie cuyos primeros tres términos son 2, 6 y 18?
6. ¿Cuál es la razón común de la serie cuyos primeros tres términos son 18, 6 y 2?
7. ¿Cuál es la relación entre esas razones?
Ana realiza un salto de bungee desde un puente sobre el agua. En el salto inicial, la cuerda se estira 120 metros. En el siguiente rebote, el estiramiento es el 60% del salto original y cada rebote adicional la cuerda se estira un 60% del salto anterior.
1. ¿Cuál será el estiramiento de la cuerda en el tercer rebote?
2. ¿Cuál será el estiramiento de la cuerda en el $12^{th}$ rebote?

Prev Next

Series Geométricas y Funciones Exponenciales

Prueba esto

Mira este video

Orientación

Ejemplo A

Ejemplo B

Ejemplo C

Vocabulario

Práctica guiada

Practica

Licencia