Gráficos de Funciones Exponenciales
Aquí aprenderás cómo graficar funciones exponenciales y cómo comparar los gráficos de funciones exponenciales en los mismos ejes coordenados.
Digamos que tienes una función exponencial como
.¿Cómo podrías graficar esta función? Una vez que completes esta sección, podrás graficar y comparar los gráficos de funciones exponenciales como esta.
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Foundation: 08011S Exponential Functions
*Este video solo está disponible en inglés.
Orientación
Una colonia bacteriana tiene una población de tres mil en la tarde de un lunes. Durante la semana siguiente, la población de la colonia se duplica cada día. ¿Cuál es la población de la colonia bacteriana justo a medianoche el día sábado?
A primera vista, este parece un problema que podrías resolver usando una serie geométrica. Y podrías hacerlo, si la población bacteriana se duplicara de una sola vez cada día; ya que se duplicaba cada día por cinco días, la población final sería 3000 veces
.
Pero las bacterias no se reproducen de una sola vez, su población crece lentamente durante el curso de un día entero. Entonces, ¿cómo descubrimos la población después de cinco días y medio? days?
Funciones exponenciales
Las funciones exponenciales se parecen mucho a las series geométricas. La principal diferencia entre ellas es que una serie geométrica es discontinua, mientras una función exponencial es continua .
Discontinua significa que la serie tiene valores en distintos puntos (el primer término, el segundo, etc.).
Continua
msignifica que la función tiene valores para todos los posibles valores de
. Los números enteros incluidos, pero también todos los números entre medio.
El problema con la bacteria es un ejemplo de una función continua. A continuación hay un ejemplo de una función discontinua:
Una hormiga camina sobre varias torres de bloques Lego. Hay un bloque en la primera torre, 3 bloques en la
torre y 9 bloques en la
torre. De hecho, en cada torre sucesiva hay el triple de bloques que los que hay en la torre anterior.
En este ejemplo, cada torre tiene un número distinto de bloques y la próxima torre está hecha al agregar un cierto número de piezas enteras de una sola vez. Sin embargo, lo más importante es que no hay valores de la serie
entre
las torres. No puedes preguntar qué tan alta es la torre entre la
y
ya que no existen torre en esa posición.
Como resultado de esta diferencia, usamos una serie geométrica para describir cantidades que tienen valores en puntos discontinuos, y usamos funciones exponenciales para describir cantidades que tiene valores que cambian continuamente.
Cuando graficamos una función exponencial, dibujamos el gráfico con una curva sólida para mostrar que la función tiene valores a cualquier hora durante el día. Por otro lado, cuando graficamos una serie geométrica, dibujamos puntos discontinuos para significar que la serie sólo tiene valor en esos puntos pero no entre ellos.
A continuación tenemos gráficos para los dos ejemplos anteriores:
La fórmula para una función exponencial es similar a la fórmula para encontrar los términos de una serie geométrica. Una función exponencial toma la forma
Donde
es la cantidad inicial y
es la cantidad por la cual el total es multiplicado cada vez. Por ejemplo, el problema de la bacteria que vimos anteriormente tiene una ecuación de
.
Comparar gráficos de funciones exponenciales
Grafiquemos unas pocas funciones exponenciales y veamos lo que pasa cuando cambiamos las constantes de la fórmula. La forma básica de una función exponencial debería mantenerse igual. Podría volverse más empinada o más baja dependiendo de las constantes que estemos usando.
Primero, veamos qué pasa cuando cambiamos el valor de
.
Ejemplo A
Compare los gráficos de
y
.
Solución
Hagamos una tabla de valores para ambas funciones.
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|---|---|---|
| -3 |
|
|
| -2 |
|
|
| -1 |
|
|
| 0 | 1 |
|
| 1 | 2 |
|
| 2 | 4 |
|
| 3 | 8 |
|
Ahora usemos esta tabla para graficar funciones.
Podemos ver que la función
es más grande que la función
. En ambas funciones, el valor de
se duplica cada vez que
aumenta en uno. Sin embargo
"comienza" con un valor de 3, mientras
con un valor de 1, entonces tiene sentido que
sea mayor ya que sus valores de
se siguen duplicando.
De igual manera, si el valor inicial de
es más pequeño, los valores de la función completa serán más pequeños.
Ejemplo B
Compara los gráficos de
y
.
Solución
Hagamos una tabla de valores para ambas funciones.
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|
|
|---|---|---|
| -3 |
|
|
| -2 |
|
|
| -1 |
|
|
| 0 | 1 |
|
| 1 | 2 |
|
| 2 | 4 |
|
| 3 | 8 |
|
Ahora usemos esta tabla para graficar las funciones.
Como lo esperamos, la función exponencial
es más pequeña que la función exponencial
.
SEntonces, ¿qué pasa si el valor inicial de
es negativo? Averigüémoslo:.
Ejemplo C
Grafica la función exponencial
.
Solución
Hagamos una tabla de valores.
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|
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|---|---|
| -2 |
|
| -1 |
|
| 0 | -5 |
| 1 | -10 |
| 2 | -20 |
| 3 | -40 |
Ahora grafiquemos la función:
Este resultado era de esperarse. Ya que el valor inicial es negativo y se sigue duplicando cada vez, tiene sentido que el valor de
se aleje de cero, pero en una dirección negativa. El gráfico es básicamente tal como el gráfico de
, sólo está reflejado en el eje de
.
Ahora, comparemos funciones exponenciales cuyas bases
son distintas.
Ejemplo D
Grafica las siguientes funciones exponenciales en el mismo gráfico
:
.
Solución
Primero hagamos una tabla de valores para las cuatro funciones.
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|---|---|---|---|---|
| -2 |
|
|
|
|
| -1 |
|
|
|
|
| 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 2 | 3 | 5 | 10 |
| 2 | 4 | 9 | 25 | 100 |
| 3 | 8 | 27 | 125 | 1000 |
Ahora grafiquemos las funciones.
Fíjate que para
, las cuatro funciones son igual a 1. Todas "comienzan" en el mismo punto, pero las que tienen valores más altos para
crecen más rápido cuando
es positivo. Además se reduce más rápido cuando
es negativo.
Finalmente, exploremos qué pasa para valores de
que son menores que 1.
Ejemplo E
Grafica la función exponencial
.
Solución
Empecemos con hacer una tabla de valores. (Recuerda que una fracción elevada a una potencia es equivalente a su mismo valor con una potencia negativa).
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|---|---|
| -3 |
|
| -2 |
|
| -1 |
|
| 0 |
|
| 1 |
|
| 2 |
|
Ahora grafiquemos la función.
Este gráfico se ve muy distinto a los gráficos del ejemplo anterior. ¿Qué sucedió?
Cuando elevamos un número mayor que 1 a la potencia de
, aumenta a medida que
aumenta. Pero cuando elevamos un número menor que 1 a la potencia de
, éste
disminuye
a medida que
aumenta. Puedes comprobarlo con la tabla de valores que vimos anteriormente. Esto tiene sentido ya que multiplicar cualquier número por una cantidad menor que 1 siempre lo hace más pequeño.
Entonces, cuando la base
de una función exponencial está entre 0 y 1, el gráfico es como un gráfico exponencial común, sólo que disminuye en vez de aumentar. Gráficos como éste representan la
disminución exponencial
en vez de un
crecimiento exponencial
. Las funciones de la disminución exponencial se usan para describir cantidades que disminuyen por un periodo de tiempo.
Cuando
se puede escribir como una fracción, podemos usar la propiedad de exponentes negativos para escribir la función de una forma diferente. Por ejemplo,
es equivalente a
. Estas dos formas se usan comúnmente, por ende es importante saber que son equivalentes.
Mira este video si necesitas ayuda con los ejemplos anteriores.
Haz clic en la imagen de arriba para ver más contenido. (requiere conexión a internet)
CK-12 Foundation: Exponential Functions
*Este video solo está disponible en inglés.
Vocabulario
-
Forma general de una función exponencial:
, donde
valor inicial
y
factor de multiplicación.
Práctica guiada
a.)
Grafica la función exponencial
.
b.)
Grafica las funciones
y
en los mismos ejes coordinados.
Solución
a.) Aquí está nuestra tabla de valores y el gráfico de la función.
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|---|---|
| -3 |
|
| -2 |
|
| -1 |
|
| 0 |
|
| 1 |
|
| 2 |
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b.) Aquí está la tabla de valores para las dos funciones. Al mirar los valores de la tabla, podemos ver que las dos funciones son el "inverso" de la otra, en el sentido que los valores para las dos funciones son recíprocos.
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|---|---|---|
| -3 |
|
|
| -2 |
|
|
| -1 |
|
|
| 0 |
|
|
| 1 |
|
|
| 2 |
|
|
| 3 |
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A continuación está el gráfico de las dos funciones. Fíjate que las dos funciones son imágenes espejo cada una de la otra si el espejo se ubica verticalmente en el eje
.
En la próxima sección, verás cómo el crecimiento y la disminución exponencial pueden usarse para representar situaciones en el mundo real.
Práctica
Grafica las siguientes funciones exponenciales haciendo una tabla de valores.
Grafica las siguientes funciones exponenciales.
-
-
-
-
- ¿Cuales dos de los ocho párrafos anteriores son imágenes espejo cada uno de otro?
- ¿Qué función produciría un gráfico que fuera el espejo del gráfico del problema 4?
- ¿De qué otra forma podrías escribir la función exponencial del problema 5?
- ¿De qué otra forma podrías escribir la función del problema 6?
Resuelve los siguientes problemas.
-
Una cadena de cartas es enviada a 10 personas diciéndoles que hagan 10 copias de la carta y envíen cada una a una nueva persona.
- Asume que todos los que reciben la carta la envían a 10 muevas personas y que cada ciclo toma una semana. ¿Cuántas personas recibirán la carta en las siguientes 6 semanas?
- ¿Qué pasaría si todos sólo le envían la carta a 9 personas? ¿Cuántas personas entonces recibirían cartas en la sexta semana?
-
Nadia recibió $200 para su
cumpleaños. Si ella los ahorra en una cuenta de banco con un interés anual del 7,5%, ¿cuánto dinero habrá ahorrado en el banco para su
cumpleaños?
