Aplicaciones de las Funciones Exponenciales

Aquí aprenderás cómo aplicar un plan de resolución de problemas que involucren funciones exponenciales. También aprenderás cómo resolver aplicaciones de la vida real que involucran crecimiento y disminución exponencial.

Digamos que ganas $500 en una competencia de deletreo y lo inviertes en un fondo mutuo que paga el 8% de interés anual. ¿Cuánto dinero tendrías después de 5 años? Una vez que completes esta sección podrás resolver problemas de la vida real como éste que involucran funciones exponenciales.

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CK-12 Foundation: 0812S Applications of Exponential Functions

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Orientación

Para su octavo cumpleaños, la abuela de Shelley le regaló una bolsa llena de dulces. Shelley los contó y vio que había 160 dulces en la bolsa. Como te lo imaginas, a Shelley le encantan los dulces, así que se comió la mitad de los dulces el primer día. Luego su madre le dijo que si se los comía con esa rapidez, los dulces le durarían sólo un día más. Shelley ideó un mejor plan. Siempre comería la mitad de los dulces que dejaba cada día. Ella cree que esa es la forma que le permite comer dulces todos los días sin acabarlos de una vez.

¿Cuántos dulces tiene Shelley al finalizar la semana? ¿Los dulces verdaderamente durarán para siempre?

Hagamos una tabla de valores para este problema.

$& \text{Day} && \ \ 0 && \ 1 && \ 2 && \ 3 && \ 4 && 5 && \ 6 && \ 7\\\& \# \ \text{of candies} && 160 && 80 && 40 && 20 && 10 && 5 && 2.5 && 1.25$

Puedes ver que si Shelley come la mitad de los dulces cada día, entonces al final de la semana ella sólo tiene 1,25 dulces en la bolsa.

Escribamos una ecuación para esta función exponencial. Usando la fórmula $y = A \cdot b^x$ , podemos ver que $A$ es 160 (el número de dulces con las que comienza) y $b$ es $\frac{1}{2}$ , entonces nuestra ecuación es $y = 160 \cdot \left ( \frac{1}{2} \right )^x$ .)

Ahora grafiquemos esta función. El gráfico desprendido se muestra a continuación.

Entonces, ¿durarán para siempre los dulces de Shelley? Vimos que para el fin de semana le quedan 1,25 dulces, por ende no parece haber mucha esperanza con esto. Pero si miras el gráfico, verás que el gráfico nunca llega a cero. Teóricamente siempre quedará algo de dulces, pero ¡Shelley comerá fracciones muy pequeñas de un dulce cada día luego de la primera semana!

Ésta es una característica principal de una función de disminución exponencial. Sus valores disminuyen cada vez más, pero nunca alcanzan completamente el cero. En matemática decimos que la función tiene una asíntota en $y = 0$ ; en otras palabras, se acerca cada vez más a la línea $y = 0$ pero nunca la alcanza.

Estrategias para resolver problemas

¿Recuerdas que anteriormente vimos nuestro plan para resolver problemas?

Entender el problema.
Diseñar un plan, traducir.
Ejecutar el plan, resolver.
Observar, revisar e interpretar.

Podemos usar este plan para resolver problemas de aplicación que involucran funciones exponenciales. El interés compuesto, el volumen del sonido, el aumento o disminución de la población o la disminución radioactiva son todas aplicaciones de funciones exponenciales. En estos problemas, usaremos los métodos para construir una tabla e identificar un patrón para ayudarnos a diseñar un plan para resolver los problemas.

Ejemplo A

Supón que se invierten $4.000 con un interés compuesto anual de 6%. ¿Cuánto dinero habrá en el banco en 5 años? ¿y en 20 años?

Solución

Paso 1: Lee el problema y resume la información.

Se invierten $4.000 con un interés compuesto anual de 6%, queremos saber cuánto dinero tendremos en 5 años.

Asigna las variables:

Dejamos $x =$ Tiempo en años

Dejamos $y =$ Cantidad de dinero en una cuenta de inversiones

Paso 2: Busca un patrón.

Comenzamos con $4.000 y cada año sumamos un 6% de interés a la cuenta en el banco.

$& \text{Start:} && \$4000\\\& 1^{st} \ \text{year:} && \text{Interest} = 4000 \times (0.06) = \$240\\\& && \text{This is added to the previous amount:} \ \$4000 + \$4000 \times (0.06)\\\& && = \$4000(1 + 0.06)\\\& && = \$4000 (1.06)\\\& && = \$4240\\\& 2^{nd} \ \text{year} && \text{Previous amount} + \text{interest on the previous amount}\\\& && = \$4240(1 + 0.06)\\\& && = \$4240 (1.06)\\\& && = \$4494.40$

El patrón es que cada año multiplicamos el monto anterior por el factor de 1.06.

Completemos una tabla de valores:

$& \text{Time (years)} && \ \ 0 && \ \ 1 && \quad 2 && \quad 3 && \quad 4 && \quad 5\\\& \text{Investments amount} (\$) && 4000 && 4240 && 4494.4 && 4764.06 && 5049.90 && 5352.9$

Podemos ver que en 5 años tendremos $5352,90 en la cuenta de inversiones .

Paso 3: Encuentra una fórmula.

Pudimos calcular el monto de 5 años tan solo siguiendo el patrón, pero en vez de seguir el patrón por otros 15 años, es más fácil usarlo para encontrar una fórmula general. Ya que la inversión original se multiplica por 1,06 cada año, podemos usar la notación exponencial. Nuestra fórmula es $y = 4000 \cdot (1.06)^x$ , donde $x$ es el número de años desde que se hizo la inversión.

Para encontrar la cantidad después de 5 años introducimos $x = 5$ a la ecuación:

$y = 4000 \cdot (1.06)^5 = \$5352.90$

Para encontrar el monto después de 20 años introducimos $x = 20$ a la ecuación:

$y = 4000 \cdot (1.06)^{20} = \$12828.54$

Revisa 4: Revisa.

Al mirar la solución otra vez, podemos ver que obtuvimos las respuestas de las preguntas que teníamos y las respuestas tienen sentido.

Para revisar nuestras respuestas, podemos introducir valores pequeños de $x$ a la fórmula para ver si calzan con los valores de la tabla:

$x = 0: \ \ y = 4000 \cdot (1.06)^0 = 4000$

$x = 1: \ \ y = 4000 \cdot (1.06)^1 = 4240$

$x = 2: \ \ y = 4000 \cdot (1.06)^2 = 4494.4$

Las respuestas calzan con los valores que encontramos anteriormente. La tasa de crecimiento aumenta cada año y esto tiene sentido ya que el interés es el 6% de una cantidad que es más grande cada año.

Ejemplo B

En el año 2002, la población de estudiantes en una ciudad era de 90.000. Esta población disminuye con una tasa de 5% cada año. ¿Cuál será la población de estudiantes el año 2010?

Solución

Paso 1: Lee el problema y resume la información.

La población es 90.000; la tasa de disminución es 5% cada año; queremos saber la población luego de 8 años.

Asigna variables:

Dejamos $x =$ tiempo desde el 2002 (en años)

Dejamos $y =$ población de estudiantes

Paso 2: Busca un patrón.

Comencemos en el año 2002, cuando la población era 90,000.

La tasa de disminución es un 5% cada año, por ende la población en el 2003 es 90.000 menos el 5% de 90.000, o el 95% de 90,000.

$& \text{In} \ 2003: \qquad \quad \text{Population} = 90,000 \times 0.95\\\& \text{In} \ 2004: \qquad \quad \text{Population} = 90,000 \times 0.95 \times 0.95$

El patrón es que para cada año multiplicamos por un factor de 0.95

Completemos una tabla de valores:

$& \text{Year} && \ 2002 && \ 2003 && \ 2004 && \ 2005 && \ 2006 && \ 2007\\\& \text{Population} && 90,000 && 85,500 && 81,225 && 77,164 && 73,306 && 69,640$

Paso 3: Encontrar una fórmula.

Ya que multiplicamos por 0,95 cada año, nuestra fórmula exponencial es $y = 90000 \cdot (0.95)^x$ , donde $x$ es el número de años desde el 2002. Para encontrar la población del año 2010 (8 años después del 2002) introducimos $x = 8$ :

$y = 90000 \cdot (0.95)^8 = 59,708$ estudiantes.

Paso 4: Revisa.

Si miramos de nuevo la solución, podemos ver que respondimos la pregunta y que tiene sentido. La respuesta tiene sentido porque los números disminuyen cada año como lo esperábamos. Podemos comprobar que la formula es correcta si introducimos los valores de $x$ desde la tabla para ver si los valores calzan con los que nos dio la fórmula.

$& \text{Year} \ 2002, x = 0: \qquad \quad \text{Population} = y = 90000 \cdot (0.95)^0 = 90,000\\\& \text{Year} \ 2003, x = 1: \qquad \quad \text{Population} = y = 90000 \cdot (0.95)^1 = 85,500\\\& \text{Year} \ 2004, x = 2: \qquad \quad \text{Population} = y = 90000 \cdot (0.95)^2 = 81,225$

Resolver problemas del mundo real que involucran crecimiento exponencial

Ahora veremos más problemas del mundo real que involucran funciones exponenciales. Comenzaremos con situaciones que involucran crecimiento exponencial.

Ejemplo C

Se estima que la población de una ciudad aumenta un 15% cada año. La población hoy en día es de 20 miles. Haz un gráfico de la función población y descubre cuál será la población en 10 años.

Solución

Primero debemos escribir una función que describa la población de la ciudad.

La forma general de una función exponencial es $y = A \cdot b^x$ .

Define $y$ como la población de la ciudad.

Define $x$ como el número de años a partir de ahora.

$A$ es la población inicial, entonces $A = 20$ (thousand).

Finalmente debemos encontrar qué es $b$ Nos dijeron que la población aumenta un 15% cada año. Para calcular porcentajes tenemos que cambiarlos a decimales: 15% es equivalente a 0,15. Entonces cada año, la población crece un 15% de $A$ , o $0.15A$ .

Para encontrar la población total del próximo año, debemos sumar la población actual al aumento en la población. En otras palabras , $A + 0.15A = 1.15A$ . Entonces la población debe ser multiplicada por un factor de 1,15 cada año. Esto significa que la base exponencial es $b = 1.15$ .

La fórmula que describe este problema es $y = 20 \cdot (1.15)^x$ .

Ahora hagamos una tabla de valores.

$x$	$y = 20 \cdot (1.15)^x$
-10	4.9
-5	9.9
0	20
5	40.2
10	80.9

Ahora podemos graficar la función.

Fíjate que usamos valores negativos de $x$ en nuestra tabla de valores. ¿Tiene sentido pensar que hay tiempo negativo? Sí, el tiempo negativo puede representar el tiempo pasado. Por ejemplo, $x = -5$ en este problema representa la población de hace 5 años.

La pregunta que se hizo en el problema era: ¿cuál será la población de la ciudad en 10 años? Para encontrar ese número, agregamos $x = 10$ a la ecuación y obtenemos: $y = 20 \cdot (1.15)^{10} = 80,911$ .

La ciudad tendrá 80,911 personas en diez años más.

Ejemplo D

Peter ganó $1500 el verano pasado. Si él depositara el dinero en una cuenta bancaria que genera un 5% de interés compuesto anual, ¿cuánto dinero tendrá en cinco años?

Solución

Este problema tiene que ver con un interés compuesto anual. Esto significa que cada año el interés se calcula con la cantidad de dinero que tienes en el banco. Ese interés se suma a la cantidad original y cada año el interés se calcula con esa nueva cantidad, por ende se te paga interés del interés.

Escribamos una función que describa la cantidad de dinero en el banco.

La forma general de una función exponencial es $y = A \cdot b^x$ .

Define $y$ como la cantidad de dinero en el banco.

Define $x$ como el número de años a partir de ahora.

$A$ es la cantidad inicial, entonces $A = 1500$ .

Ahora debemos encontrar qué representa $b$ es.

Nos dicen que el interés es 5% cada año, lo que es 0,05 en forma decimal. Cuando sumamos $0.05A$ a $A$ , obtenemos $1.05A$ , entonces ese es el factor que multiplicamos por cada año. La base exponencial es $b = 1.05$ .

La fórmula que describe este problema es $y = 1500 \cdot 1.05^x$ . Para encontrar la cantidad total de dinero que habrá en el banco en cinco años, simplemente introducimos $x = 5$ .

$y = 1500 \cdot (1.05)^5 = \$ 1914.42$

Resolver problemas del mundo real que involucran disminución exponencial

Los problemas de disminución exponencial aparecen en varios problemas de aplicación. Algunos ejemplos son problemas de vida media y problemas de devaluación . Resolvamos un ejemplo de cada uno de estos problemas.

Ejemplo E

Una sustancia radioactiva tiene una vida media de una semana. En otras palabras, al final de cada semana el nivel de radiación es la mitad del valor al inicio de la semana. El nivel de radioactividad inicial es 20 cuentas por segundo.

Dibuja el gráfico de la cantidad de radioactividad contra el tiempo en semanas.

Encuentra la fórmula que entrega la radioactividad en términos de tiempo.

Encuentra la radioactividad que queda luego de tres semanas.

Solución

Comencemos por hacer una tabla de valores y luego dibuja el gráfico.

Tiempo	Radioactividad
0	20
1	10
2	5
3	2.5
4	1.25
5	0.625

La disminución exponencial calza con la formula general $y = A \cdot b^x$ . En este caso:

$y$ es la cantidad de radioactividad

$x$ es el tiempo en semanas

$A = 20$ es la cantidad inicial

$b = \frac{1}{2}$ ya que la sustancia pierde la mitad de su valor cada semana

La fórmula para este problema es $y = 20 \cdot \left ( \frac{1}{2} \right )^x$ o $y = 20 \cdot 2^{-x}$ . Para descubrir cuánta radioactividad queda luego de tres semanas, introducimos $x = 3$ a esta fórmula.

$y = 20 \cdot \left (\frac{1}{2} \right )^3 = 20 \cdot \left ( \frac{1}{8} \right ) = 2.5$

Mira esto si necesitas ayuda con los ejemplos anteriores.

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Vocabulario

Forma general de una función exponencial: $y=A(b)^x$ , donde $A=$ valor inicial and

$b=$ factor de multiplicación.

Práctica guiada

El costo de un auto nuevo es $32.000. Su valor se deprecia en una tasa de 15% por año. Esto significa que pierde el 15% de cada valor de cada año.

Dibuja el gráfico del valor del auto contra el tiempo en años.

Encuentra la fórmula que entrega el valor del auto en términos de tiempo.

Encuentra el valor del auto cuando tenga 4 años.

Solución

Comencemos por hacer una tabla de valores. Para completar los valores comenzamos con 32.000 a un tiempo de $t = 0$ . Luego multiplicamos el valor del auto por 85% por cada año que pasa (ya que el auto pierde un 15% de su valor, esto significa que mantiene el 85% de su valor). Recuerda que el 85% significa que multiplicamos por el decimal .85.

Tiempo	Valor (miles)
0	32
1	27.2
2	23.1
3	19.7
4	16.7
5	14.2

Ahora dibuja el gráfico:

Comencemos con la fórmula general $y = A \cdot b^x$

En este caso:

$y$ es el valor del auto,

$x$ es el tiempo en años,

$A = 32$ es la cantidad inicial en miles,

$b = 0.85$ ya que multiplicamos la cantidad por este factor para obtener el valor del auto el próximo año

La fórmula para este problema es $y = 32 \cdot (0 .85)^x$ .

Finalmente, para encontrar el valor del auto cuando tenga 4 años, introducimos $x = 4$ a la fórmula: $y = 32 \cdot (0.85)^4 = 16.7$ miles de dólares o $16,704 si no redondeamos.

Práctica

Resuelve los siguientes problemas que involucran crecimiento exponencial.

Nadia recibió $200 en su $10^{th}$ cumpleaños. Si ahorra ese dinero en un banco con una tasa de interés compuesto anual de 7,5%, ¿cuánto dinero tendrá en el banco para su $21^{st}$ cumpleaños?
Supón de nuevo que Nadia recibió $200 en su $10^{th}$ Pero ahora ella ahorra ese dinero en un banco que también tiene una tasa de interés de 7,5%, pero que es compuesto trimestralmente; ¿cuánto dinero tendrá en el banco para su $21^{st}$ cumpleaños?
3. La población de una ciudad crece el 15% cada año. Si la ciudad comenzó con 105 personas, ¿cuántas personas habrán en 10 años?

Vida media: Supone que una sustancia radioactiva disminuye con una tasa de 3,5% por hora.
1. ¿Qué porcentaje de la sustancia queda luego de 6 horas?
2. ¿Qué porcentaje queda luego de 12 horas?
3. La sustancia se puede manejar con seguridad cuando ha disminuido por lo menos el 50% de su radioactividad. Haz una aproximación de cuántas horas se demorará para poder hacer esto.
4. Revisa tu aproximación. ¿Qué tan cerca estuviste?
Disminución de población: En 1990, un área rural tiene 1.200 especies de pájaros.
1. Si las especies de pájaros se están extinguiendo con una tasa de 1,5% por década (diez años), ¿cuántos pájaros quedarán en el año 2020?
2. Con la misma tasa, ¿Cuántos habían el año 1980?
Crecimiento: Janine es dueña de una cadena de restaurantes de comida rápida que tenía 200 tiendas el año 1999. Si la tasa de aumento es el 8% anual, ¿cuántas tiendas tendrá el restaurante en el año 2007?
Inversión: Paul invierte $360 en una cuenta que paga un 7,25% compuesto anual.
1. ¿Cuál es la cantidad total en la cuenta después de 12 años?
2. Si Paul invierte una cantidad igual en una cuenta que paga el 5% compuesto trimestralmente (cuatro veces al año), ¿cuál será la cantidad de dinero en la cuenta después de 12 años?
3. ¿Cuál es la mejor inversión?
El costo de un vehículo todo terreno nuevo es $7200. Éste disminuye un 18% por año.
1. Dibuja el gráfico del valor del vehículo contra el tiempo en años.
2. Encuentra la fórmula que entrega el valor del vehículo en términos de tiempo.
3. Encuentra el valor del vehículo cuando tiene diez años.
El porcentaje de luz visible a metros lo entrega la función .
1. ¿Cuál es el factor de multiplicación?
2. ¿Cuál es el valor inicial?
3. Encuentra el porcentaje de luz visible a 25 metros.
10. Una persona está infectada con cierta infección bacteriana. Cuando él/ella va al doctor, la población bacteriana es de 2 millones. El doctor le receta un antibiótico que reduce la población bacteriana a de su tamaño cada día.
1. Dibuja el gráfico del tamaño de la población bacteriana contra el tiempo en días.
2. Encuentra la fórmula que entrega el tamaño de la población bacteriana en términos de tiempo.
3. Encuentra el tamaño de la población bacteriana diez días después de que la persona tomó el medicamento por primera vez.
4. Encuentra el tamaño de la población bacteriana después de 2 semanas (14 días).

Recursos de Texas Instruments

En el FlexBook “CK-12 Texas Instruments Algebra I”, hay actividades para calculadoras graficas diseñadas para complementar los objetivos de algunas de las lecciones en este capítulo. Véase http://www.ck12.org/flexr/chapter/9618 .

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