Polinomios en Forma Estándar

En esta sección aprenderás a identificar los polinomios y encontrar su grado. También aprenderás a escribir expresiones polinómicas en forma estándar y simplificarlas agrupando.

Digamos que te dan la expresión algebraica $3x - 2x^2 + 5 - x + 6x^2$ ¿Cómo puedes simplificarla y determinar su grado? Al terminar esta sección serás capaz de agrupar términos semejantes para simplificar expresiones polinómicas como esta y clasificarlas según su grado.

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Foundation: 0901S Lesson Polynomial Expressions

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Orientación

Hasta ahora solo hemos visto funciones de rectas (funciones lineales) y funciones en las cuales la variable aparece en el exponente (funciones exponenciales). En esta sección trataremos las funciones polinómicas. Un polinomio está compuesto de distintos términos que contienen las potencias enteras positivas de las variables. Este es un ejemplo de polinomio:

$4x^3+2x^2-3x+1$

Cada parte que se sume o reste en un polinomio se denomina término del polinomio. El ejemplo anterior es un polinomio de cuatro términos .

Los números que aparecen en cada término frente de las variables son denominados coeficientes . El número que aparece solo y sin variable se denomina constante .

En este caso el coeficiente de $x^3$ es 4 , el coeficiente de $x^2$ es 2 , el coeficiente de $x$ es -3 y la constante es 1 .

Grados de los polinomios y forma estándar

Cada término de un polinomio tiene un grado diferente. El grado del término es la potencia de la variable de dicho término.

$& 4x^3 && \text{has degree} \ 3 \ \text{and is called a cubic term or} \ 3^{rd} \ \text{order term}.\\\& 2x^2 && \text{has degree} \ 2 \ \text{and is called a quadratic term or} \ 2^{nd} \ \text{order term}.\\\& -3x && \text{has degree} \ 1 \ \text{and is called a linear term or} \ 1^{st} \ \text{order term}.\\\& 1 && \text{has degree} \ 0 \ \text{and is called the constant}.$

Por definición, el grado de un polinomio es igual al grado del término con el grado más grande. En este ejemplo, el polinomio es de grado 3, también denominado como polinomio "cúbico" (¿Por qué crees que se les llama cúbicos?).

Los polinomios pueden tener más de una variable. Aquí hay otro ejemplo de un polinomio:

$t^4-6s^3t^2-12st+4s^4-5$

Este es un polinomio porque todos los exponentes de las variables son enteros positivos. Este polinomio tiene cinco términos. Veamos cada uno de ellos con más atención.

Nota: El grado de un término es la suma de las potencias de cada variable del término. En otras palabras, el grado de cada término es igual al número de variables multiplicadas en dicho término, sin importar si son iguales o diferentes.

$& t^4 && \text{has a degree of} \ 4, \ \text{so it's a} \ 4^{th} \ \text{order term}\\\& -6s^3t^2 && \text{has a degree of} \ 5, \ \text{so it's a} \ 5^{th} \ \text{order term}.\\\& -12st && \text{has a degree of} \ 2, \ \text{so it's a} \ 2^{nd} \ \text{order term}.\\\& 4s^4 && \text{has a degree of} \ 4, \ \text{so it's a} \ 4^{th} \ \text{order term}.\\\& -5 && \text{is a constant, so its degree is} \ 0.$

Debido a que el grado más alto de un término en este polinomio es 5, se considera que es un polinomio de grado $5^{th}$ o de $5^{th}$ orden polinomial.

Los polinomios que solo tiene un término tienen un nombre especial: se denominan monomios ( mono significa uno). Un monomio puede ser una constante, una variable o el producto de una constante y una o más variables. Como puedes ver, cada término en un polinomio es un monomio, por lo que un polinomio es solo la suma de varios monomios. Aquí hay algunos ejemplos de monomios:

$b^2 \qquad -2ab^2 \qquad 8 \qquad \frac{1}{4}x^4 \qquad -29xy$

Ejemplo A

Para los siguientes polinomios, identifica el coeficiente de cada término, la constante, el grado de cada término y el grado del polinomio.

a) $x^5-3x^3+4x^2-5x+7$

b) $x^4-3x^3y^2+8x-12$

Solución

a) $x^5-3x^3+4x^2-5x+7$

Los coeficientes de cada término son, en orden 1, -3, 4 y -5. La constante es 7.

Los grados de cada término son 5, 3, 2, 1 y 0. Por lo tanto, el grado del polinomio es 5.

b) $x^4-3x^3y^2+8x-12$

Los coeficientes de cada término en orden son 1, -3 y 8. La constante es -12.

Los grados de cada término son 4, 5, 1 y 0. Por lo tanto, el grado del polinomio es 5.

Ejemplo B

Clasifica las siguientes expresiones como polinomios o no polinomios.

a) $5x^5-2x$

b) $3x^2-2x^{-2}$

c) $x\sqrt{x}-1$

d) $\frac{5}{x^3+1}$

e) $4x^\frac{1}{3}$

f) $4xy^2-2x^2y-3+y^3-3x^3$

Solución

a) Es un polinomio.

b) No es un polinomio porque tiene un exponente negativo.

c) No es un polinomio porque tiene un radical.

d) No es un polinomio porque la potencia de $x$ aparece en el denominador de una fracción y no hay forma de reescribirlo para que deje de serlo.

e) No es un polinomio porque tiene un exponente fraccionario.

f) Es un polinomio.

A menudo ordenamos los términos de manera decreciente según su potencia. Esto se denomina forma estándar .

Los siguientes polinomios están en forma estándar:

$4x^4-3x^3+2x^2-x+1$

$a^4b^3-2a^3b^3+3a^4b-5ab^2+2$

El primer término de un polinomio en forma estándar se denomina término principal , El coeficiente del término principal se denomina coeficiente principal .

El primer polinomio tiene el término principal $4x^4,$ El coeficiente principal es 4.

El segundo polinomio tiene el término principal $a^4b^3,$ El coeficiente principal es 1.

Ejemplo C

Reordena los términos de los siguientes polinomios de modo que queden en forma estándar. Señala el término principal y el coeficiente principal de cada polinomio.

a) $7-3x^3+4x$

b) $ab-a^3+2b$

c) $-4b+4+b^2$

Solución

a) $7-3x^3+4x$ queda como $-3x^3+4x+7$ . El término principal es $-3x^3$ ; El coeficiente principal es -3.

b) $ab-a^3+2b$ queda como $-a^3+ab+2b$ . El término principal es $-a^3$ ; El coeficiente principal es -1.

c) $-4b+4+b^2$ queda como $b^2-4b+4$ . El término principal es $b^2$ ; El coeficiente principal es 1.

Simplificación de polinomios

Un polinomio está simplificado cuando no tiene términos semejantes. Los términos semejantes son términos en el polinomio que tienen la(s) misma(s) variable(s) con los mismos exponentes, sin importar si tienen los mismos coeficientes o si estos son diferentes.

Por ejemplo, $2x^2y$ y $5x^2y$ son términos semejantes, pero $6x^2y$ y $6xy^2$ no son términos semejantes.

Cuando un polinomio tiene términos semejantes, lo podemos simplificar agrupando dichos términos.

$& x^2+\underline{6xy} - \underline{4xy} + y^2\\\& \qquad \nearrow \qquad \nwarrow\\\& \qquad \text{Like terms}$

Podemos simplificar este polinomio agrupando los términos semejantes $6xy$ y $-4xy$ formando $(6-4)xy$ , o $2xy$ . El nuevo polinomio es $x^2+2xy+y^2$ .

Ejemplo D

Simplifica los siguientes polinomios identificando los términos semejantes y agrupándolos.

a) $2x -4x^2+6+x^2-4+4x$

b) $a^3b^3-5ab^4+2a^3b-a^3b^3+3ab^4-a^2b$

Solución

a) Reordena los términos para que los términos semejantes queden agrupados: $(-4x^2+x^2)+(2x+4x)+(6-4)$

Combina cada grupo de términos semejantes: $-3x^2+6x+2$

b) Reordena los términos de forma que los términos semejantes queden agrupados $(a^3b^3-a^3b^3)+(-5ab^4+3ab^4)+2a^3b-a^2b$

Combina cada grupo de términos semejantes: $0-2ab^4+2a^3b-a^2b=-2ab^4+2a^3b-a^2b$

Mira este video si necesitas ayuda con los ejemplos anteriores.

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CK-12 Foundation: Polynomial Expressions

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Vocabulario

Un polinomio es una expresión compuesta por constantes, variables y los exponentes enteros positivos de las variables.

En un polinomio, el número que aparece en cada término frente a las variables se llama coeficiente.

En un polinomio, el número que aparece solo y sin variable se denomina constante.

Un monomio es un polinomio de un solo término. Puede ser una constante, una variable o una variable con coeficiente.

El grado de un polinomio es el grado más alto de los términos. El grado de un término es la potencia de la variable, o en caso de que tenga más de una variable, la suma de las potencias de cada variable.

En la forma estándar ordenamos los términos de un polinomio de forma tal que el término con el grado más alto es seguido por los otros términos de manera decreciente.

Los términos semejantes son términos en los polinomios que tienen las misma(s) variable(s) y los mismos exponentes, pero tienen distintos coeficientes.

Práctica Guiada

Simplifica y reescribe los siguientes polinomios en forma estándar. Indica el grado del polinomio.

$16x^2y^3-3xy^5-2x^3y^2+2xy-7x^2y^3+2x^3y^2$

Solución:

Comienza combinando los términos semejantes para simplificar:

$16x^2y^3-3xy^5-2x^3y^2+2xy-7x^2y^3+2x^3y^2$

es igual a

$(16x^2y^3-7x^2y^3)-3xy^5+(-2x^3y^2+2x^3y^2)+2xy$

lo que se simplifica a

$9x^2y^3-3xy^5+2xy.$

Para reordenar esta expresión en la forma estándar, necesitamos determinar el grado de cada término. El primer término tiene el grado $2+3=5$ , el segundo término tiene el grado $1+5=6$ , y el último término tiene el grado $1+1=2$ . Ordenaremos los términos de mayor a menor:

$-3xy^5+9x^2y^3+2xy$

El grado de un polinomio será el grado más alto de entre todos los términos. En este caso es 6.

Práctica

Indique si las expresiones son polinomios.

$x^2+3x^{\frac{1}{2}}$
$\frac{1}{3}x^2y-9y^2$
$3x^{-3}$
$\frac{2}{3}t^2-\frac{1}{t^2}$
$\sqrt{x}-2x$
$\left ( x^\frac{3}{2} \right )^2$

Expresa cada polinomio en forma estándar. Señala el grado de cada polinomio.

$3-2x$
$8-4x+3x^3$
$-5+2x-5x^2+8x^3$
$x^2-9x^4+12$
$5x+2x^2-3x$

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