Adición y Sustracción de Polinomios

En esta sección aprenderás a sumar y sustraer polinomios, además de simplificar tus respuestas. También podrás resolver problemas cotidianos usando la adición y sustracción de polinomios.

Digamos que tienes dos polinomios cómo $4x^2 - 5$ y $13x + 2$ ¿Cómo puedes sumarlos y restarlos? Luego de completar esta sección serás capaz de sumar y sustraer polinomios como estos.

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Para practicar más adiciones y sustracciones de polinomios juega Battleship en http://www.quia.com/ba/28820.html . La dificultad aumenta a medida que juegas. ¡Cuidado con las preguntas trampa!

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CK-12 Foundation: 0902S Lesson Addition and Subtraction of Polynomials

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Orientación

Para sumar uno o más polinomios, escribe su suma y luego simplifica combinando los términos semejantes.

Ejemplo A

Suma y simplifica los polinomios.

a) Suma $3x^2-4x+7$ y $2x^3-4x^2-6x+5$

b) Suma $x^2-2xy+y^2$ y $2y^2-3x^2$ y $10xy+y^3$

Solución

a) $& (3x^2-4x+7)+(2x^3-4x^2-6x+5)\\\\text{Group like terms:} & = 2x^3+(3x^2-4x^2)+(-4x-6x)+(7+5)\\\\text{Simplify:} & = 2x^3-x^2-10x+12$

b) $& (x^2-2xy+y^2)+(2y^2-3x^2)+(10xy+y^3)\\\\text{Group like terms:} & = (x^2-3x^2)+(y^2+2y^2)+(-2xy+10xy)+y^3\\\\text{Simplify:} & = -2x^2+3y^2+8xy+y^3$

Para sustraer polinomios, suma el opuesto de cada término del polinomio que estás sustrayendo.

Ejemplo B

a) Sustrae $x^3-3x^2+8x+12$ de $4x^2+5x-9$

b) Sustrae $5b^2-2a^2$ de $4a^2-8ab-9b^2$

Solución

a) $(4x^2+5x-9)-(x^3-3x^2+8x+12) & = (4x^2+5x-9)+(-x^3+3x^2-8x-12)\\\\text{Group like terms:} & = -x^3+(4x^2+3x^2)+(5x-8x)+(-9-12)\\\\text{Simplify:} & = -x^3+7x^2-3x-21$

b) $(4a^2-8ab-9b^2)-(5b^2-2a^2) & = (4a^2-8ab-9b^2)+(-5b^2+2a^2)\\\\text{Group like terms:} & = (4a^2+2a^2)+(-9b^2-5b^2)-8ab\\\\text{Simplify:} & = 6a^2-14b^2-8ab$

Nota: Una manera fácil de comprobar tu trabajo luego de sumar o restar polinomios es sustituir una variable por un valor conveniente y comprobar que tanto tu respuesta como el problema dan el mismo valor. Por ejemplo, en la parte (b) anterior, si consideramos $a=2$ y $b=3$ , podemos realizar la siguiente comprobación.

$& \text{Given} && \text{Solution}\\\& (4a^2-8ab-9b^2)-(5b^2-2a^2) && 6a^2-14b^2-8ab\\\& (4(2)^2-8(2)(3)-9(3)^2)-(5(3)^2-2(2)^2) && 6(2)^2-14(3)^2-8(2)(3)\\\& (4(4)-8(2)(3)-9(9))-(5(9)-2(4)) && 6(4)-14(9)-8(2)(3)\\\& (-113)-37 && 24-126-48\\\& -150 && -150$

Ya que ambas expresiones dan el mismo resultado cuando sustituimos las variables con valores arbitrarios, podemos estar seguros de que nuestra respuesta es correcta.

Nota: Cuando utilizas este método, no escojas un valor 0 o 1 ya que puede generar problemas comunes.

Resolución de problemas utilizando la adición o la sustracción de polinomios

Una forma en la que podemos usar los polinomios es para buscar el área de una figura geométrica.

Ejemplo C

Escribe un polinomio que represente el área de cada figura.

Solución

a) Esta figura está compuesta por dos cuadrados y dos rectángulos.

$\text{The blue square has area} \ y \times y & = y^2.\\\\text{The yellow square has area} \ x \times x & = x^2.\\\\text{The pink rectangles each have area} \ x \times y & = xy.$

Para encontrar el área total de la figura sumamos todas las áreas separadas:

$Total \ area &= y^2 + x^2 + xy + xy\\\& = y^2 + x^2 + 2xy$

b) Esta figura está formada por dos cuadrados y un rectángulo.

$\text{The yellow squares each have area} \ a \times a & = a^2.\\\\text{The orange rectangle has area} \ 2a \times b & = 2ab.$

Para encontrar el área total de la figura sumamos todas las áreas separadas:

$Total \ area & = a^2 + a^2 + 2ab\\\& = 2a^2 + 2ab$

c) Para encontrar el área de la zona verde tenemos que encontrar primero el área del cuadrado verde grande y sustraer el área del cuadrado pequeño.

$\text{The big square has area}: y \times y & = y^2.\\\\text{The little square has area}: x \times x & = x^2.\\\Area \ of \ the \ green \ region & = y^2 - x^2$

d) Para encontrar el área de la figura podemos encontrar el área del rectángulo grande y sumar las áreas de los cuadrados rosados.

$\text{The pink squares each have area} \ a \times a & = a^2.\\\\text{The blue rectangle has area} \ 3a \times a & = 3a^2.$

Para encontrar el área total de la figura sumamos todas las áreas separadas:

$Total \ area = a^2 + a^2 + a^2 + 3a^2 = 6a^2$

Otra forma de encontrar el área es encontrar el área del cuadrado grande y sustraer las áreas de los tres cuadrados amarillos:

$\text{The big square has area} \ 3a \times 3a & = 9a^2.\\\\text{The yellow squares each have area} \ a \times a & = a^2.$

Para encontrar el área total de la figura sustraemos:

$Area & = 9a^2 - (a^2 + a^2 + a^2)\\\& = 9a^2 - 3a^2 \\\& = 6a^2$

Mira este video si necesitas ayuda con los ejemplos anteriores.

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Vocabulario

Un polinomio es una expresión compuesta por constantes, variables y los exponentes enteros positivos de las variables.

En un polinomio, el número que aparece en frente de cada término de la variable se denomina coeficiente.

En un polinomio, el número que aparece sin variable se denomina constante.

Los términos semejantes son términos en el polinomio que tienen la(s) misma(s) variable(s) con los mismos exponentes, pero pueden tener distintos coeficientes.

Práctica Guiada

Sustraiga $4t^2+7t^3-3t-5$ de $6t+3-5t^3+9t^2$ .

Solución:

Al sustraer polinomios debemos recordar sustraer cada término. Si el término ya es negativo, sustraer un término es lo mismo que sumarlo:

$6t+3-5t^3+9t^2-(4t^2+7t^3-3t-5)&= \\\6t+3-5t^3+9t^2-(4t^2)-(7t^3)-(-3t)-(-5)&=\\\6t+3-5t^3+9t^2-4t^2-7t^3+3t+5&=\\\(6t+3t)+(3+5)+(-5t^3-7t^3)+(9t^2-4t^2)&=\\\9t+8-12t^3+5t^2&=\\\-12t^3+5t^2+9t+8\\\$

La respuesta final está en forma estándar.

Práctica

Suma y simplifica.

$(x+8)+(-3x-5)$
$(-2x^2+4x-12)+(7x+x^2)$
$(2a^2b-2a+9)+(5a^2b-4b+5)$
$(6.9a^2-2.3b^2+2ab)+(3.1a-2.5b^2+b)$
$\left ( \frac{3}{5}x^2-\frac{1}{4}x+4 \right )+ \left ( \frac{1}{10}x^2 + \frac{1}{2}x-2\frac{1}{5} \right )$

Sustrae y simplifica.

$(-t+5t^2)-(5t^2+2t-9)$
$(-y^2+4y-5)-(5y^2+2y+7)$
$(-5m^2-m)-(3m^2+4m-5)$
$(2a^2b-3ab^2+5a^2b^2)-(2a^2b^2+4a^2b-5b^2)$
$(3.5x^2y-6xy+4x)-(1.2x^2y-xy+2y-3)$

Encuentra el área de las siguientes figuras.

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