Multiplicación de Monomios por Polinomios

En esta sección aprenderás a usar la propiedad distributiva para multiplicar un polinomio por un monomio.

Digamos que te dan un monomio y un polinomio cómo $3x^3$ y $x^2 + 4$ ¿Cómo los multiplicarías? Luego de completar esta sección serás capaz de multiplicar un polinomio por un monomio.

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CK-12 Foundation: Multiplying a Polynomial by a Monomial

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Orientación

Así como podemos sumar y sustraer polinomios, también podemos multiplicarlos. La propiedad distributiva y las técnicas que has aprendido para operar los exponentes te serán útiles en esta sección.

Multiplicación de un polinomio por un monomio

Cuando multiplicamos polinomios debemos recordar las reglas de los exponentes que aprendimos en el capítulo anterior. La regla del producto tiene una importancia vital: $x^n \cdot x^m=x^{n+m}$ .

Si las expresiones que estamos multiplicando tienen coeficientes y más de una variable, debemos multiplicar los coeficientes como cualquier otro número y aplicar la regla del producto en cada variable por separado.

Ejemplo A

Multiplica los siguientes monomios.

a) $(2x^2)(5x^3)$

b) $(-3y^4)(2y^2)$

c) $(3xy^5)(-6x^4y^2)$

d) $(-12a^2b^3c^4)(-3a^2b^2)$

Solución

a) $(2x^2)(5x^3)=(2 \cdot 5) \cdot (x^2 \cdot x^3)=10x^{2+3} = 10x^5$

b) $(-3y^4)(2y^2)=(-3 \cdot 2) \cdot (y^4 \cdot y^2)=-6y^{4+2}=-6y^6$

c) $(3xy^5)(-6x^4y^2)=-18x^{1+4}y^{5+2}=-18x^5y^7$

d) $(-12a^2b^3c^4)(-3a^2b^2)=36a^{2+2}b^{3+2}c^4 = 36a^4b^5c^4$

Para multiplicar un polinomio por un monomio tenemos que utilizar la propiedad distributiva . Recuerda que la propiedad indica que $a(b + c) = ab + ac$ .

Ejemplo B

Multiplica:

a) $3(x^2+3x-5)$

b) $4x(3x^2-7)$

c) $-7y(4y^2-2y+1)$

Solución

a) $3(x^2+3x-5)=3(x^2)+3(3x)-3(5)=3x^2+9x-15$

b) $4x(3x^2-7)=(4x)(3x^2)+(4x)(-7)=12x^3-28x$

$-7y(4y^2-2y+1)&=(-7y)(4y^2)+(-7y)(-2y)+(-7y)(1)\\\ &=-28y^3+14y^2-7y$

Ten en cuenta que cuando usamos la propiedad distributiva, el problema se transforma en una multiplicación de monomios por polinomios y la suma de sus partes separadas.

Ejemplo C

Multiplica:

a) $2x^3(-3x^4+2x^3-10x^2+7x+9)$

b) $-7a^2bc^3(5a^2-3b^2-9c^2)$

Solución

a) $2x^3(-3x^4+2x^3-10x^2+7x+9)&=(2x^3)(-3x^4)+(2x^3)(2x^3)+(2x^3)(-10x^2)+(2x^3)(7x)+(2x^3)(9)\\\& = -6x^7+4x^6-20x^5+14x^4+18x^3$

b) $-7a^2bc^3(5a^2-3b^2-9c^2) & = (-7a^2bc^3)(5a^2)+(-7a^2bc^3)(-3b^2)+(-7a^2bc^3)(-9c^2)\\\& = -35a^4bc^3 + 21a^2b^3c^3 + 63a^2bc^5$

Mira este video si necesitas ayuda con los ejemplos anteriores.

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CK-12 Foundation: Multiplying a Polynomial by a Monomial

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Vocabulario

Propiedad distributiva: Para cualquier expresión $a, \ b$ , y $c$ , $a(b+c)=ab+ac$ .

Práctica Guiada

Multiplica $-2a^2b^4(3ab^2+7a^3b-9a+3)$ .

Solución:

Multiplica el monomio por cada término en paréntesis:

$& -2a^2b^4(3ab^2+7a^3b-9a+3)\\\& = (-2a^2b^4)(3ab^2)+(-2a^2b^4)(7a^3b)+(-2a^2b^4)(-9a)+(-2a^2b^4)(3)\\\& = -6a^3b^6-14a^5b^5+18a^5b^4-6a^2b^4$

Práctica

Multiplica los siguientes monomios.

$(2x)(-7x)$
$(10x)(3xy)$
$(4mn)(0.5nm^2)$
$(-5a^2b)(-12a^3b^3)$
$(3xy^2z^2)(15x^2yz^3)$

Multiplica y simplifica.

$17(8x-10)$
$2x(4x-5)$
$9x^3(3x^2-2x+7)$
$3x(2y^2+y-5)$
$10q(3q^2r+5r)$
$-3a^2b(9a^2-4b^2)$

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