Multiplicación de Polinomios por Binomios

En esta sección aprenderás a multiplicar un polinomio por otro y simplificar tu respuesta. También aprenderás a resolver problemas cotidianos utilizando la multiplicación de polinomios.

Digamos que tienes dos polinomios cómo $3x^3 + 2x^2$ y $x^2 - 1$ ¿Cómo puedes multiplicarlos? Luego de completar esta sección serás capaz de usar la propiedad distributiva para multiplicar un polinomio por otro.

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CK-12 Foundation: 0904S Multiplying a Polynomial by a Polynomial

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Este video de Khan Academy muestra cómo la multiplicación de dos binomios está relacionada con la propiedad distributiva.

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Khan Academy: Level 1 multiplying expressions

Orientación

Comenzaremos multiplicando dos binomios. Un binomio es un polinomio con dos términos, por lo que el producto de dos binomios tendrá la forma $(a+b)(c+d)$ .

Incluso podemos utilizar la propiedad distributiva si lo hacemos astutamente. Primero, consideremos el primer grupo de paréntesis como un término. La propiedad distributiva dice que podemos multiplicar ese término por $c$ , multiplicarlo por $d$ , y luego sumar los productos: $(a+b)(c+d)=(a+b) \cdot c+(a+b) \cdot d$ .

Podemos reescribir esta expresión como $c(a+b)+d(a+b)$ . Ahora miremos cada mitad por separado. Podemos aplicar la propiedad distributiva nuevamente a cada grupo de paréntesis, lo que nos da como resultado $c(a+b)+d(a+b)=ca+cb+da+db.$

Ten en cuenta que cada vez que multiplicas dos polinomios, cada término del polinomio es multiplicado por cada término en el otro polinomio. .

Ejemplo A

Multiplica y simplifica: $(2x+1)(x+3)$

Solución

Tenemos que multiplicar cada término del primer polinomio por cada término del segundo polinomio. Asegúrate de obtener todos los productos.

Primero, multiplica el primer término del primer grupo de paréntesis por todos los términos en el segundo grupo de paréntesis.

Ahora estamos listos con el primer término. Luego, multiplicamos el segundo término del primer paréntesis por todos los términos del segundo paréntesis y lo sumamos a los términos anteriores.

Ya terminamos con la multiplicación y ahora podemos simplificar:

$(2x)(x)+(2x)(3)+(1)(x)+(1)(3)=2x^2+6x+x+3=2x^2+7x+3$

Esta manera de multiplicar polinomios se llama multiplicación en línea o horizontal Otro método para multiplicar polinomios es usar la multiplicación vertical similar a la multiplicación vertical de números regulares que ya aprendiste.

Ejemplo B

Multiplica y simplifica:

a) $(4x-5)(x-20)$

b) $(3x-2)(3x+2)$

c) $(3x^2+2x-5)(2x-3)$

d) $(x^2-9)(4x^4+5x^2-2)$

Solución

a) Con el método de multiplicación horizontal quedaría como

$(4x-5)(x-20)&=(4x)(x)+(4x)(-20)+(-5)(x)+(-5)(-20)\\\ &=4x^2-80x-5x+100\\\ &=4x^2-85x+100$

En el método de multiplicación vertical, sin embargo, ordenamos los polinomios uno encima de otro, con los términos semejantes en la misma columna.

$& \qquad \quad \ 4x-5\\\& \underline{\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; x-20\;\;}\\\& \quad \ -80x+100\\\& \underline{4x^2-5x \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\\& 4x^2-85x+100$

Ambas técnicas dan el mismo resultado: $4x^2-85x+100$ . Usaremos la multiplicación vertical para los otros problemas.

$& \qquad \ \ 3x-2\\\& \underline{\;\;\;\;\;\;\;\;\; 3x+2}\\\& \qquad \ \ 6x-4\\\& \underline{9x^2-6x \;\;\;\;\;\;}\\\& 9x^2+0x-4$

La respuesta es $9x^2-4$ .

c) Es mejor dejar el polinomio más pequeño al final de la columna:

$& \qquad \quad 3x^2+2x-5\\\& \underline{\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; 2x-3\;\;\;}\\\& \quad \ \ -9x^2-6x+15\\\& \underline{6x^3+4x^2-10x \;\;\;\;\;\;\;\;}\\\& 6x^3-5x^2-16x+15$

La respuesta es $6x^3-5x^2-16x+15$ .

d) Realiza una multiplicación vertical y deja espacio para las potencias que faltan de $x$ :

$& \qquad \quad \ \ \ 4x^4+5x^2-2\\\&\underline{\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; x^2-9}\\\& \quad \ \ -36x^4-45x^2+18\\\& \underline{4x^6+\;5x^4\;-\;2x^2 \;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\\& 4x^6-31x^4-47x^2+18$

La respuesta es $4x^6-31x^4-47x^2+18$ .

Resolver problemas reales utilizando la multiplicación de polinomios

En esta sección verás cómo la multiplicación de polinomios puede usarse para encontrar las áreas y el volumen de figuras geométricas

Ejemplo C

a) Encuentra el área de las figuras:

b) Encuentra el volumen de la figura:

Soluciones:

a) Usamos la siguiente fórmula para obtener el área de un rectángulo: $\text{Area} = \text{length} \times \text{width}$ .

Para el rectángulo grande:

$\text{Length} & = b + 3, \ \text{Width} = b + 2\\\\text{Area} & = (b + 3)(b + 2)\\\& = b^2+2b+3b+6\\\& = b^2 + 5b+6$

b) El volumen de esta figura = (área de la base)(altura).

$\text{Area of the base} & = x(x+2)\\\& = x^2+2x\\\\text{Height} & = 2x + 1\\\\text{Volume} & =(x^2+2x)(2x+1)\\\& = 2x^3+x^2+4x^2+2x\\\& = 2x^3+5x^2+2x$

Mira este video para entender más sobre los ejemplos anteriores.

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CK-12 Foundation: Multiplying a Polynomial by a Polynomial

*Este video solo está disponible en inglés

Vocabulario

Un binomio es un polinomio con dos términos.

La propiedad distributiva de los binomios: la propiedad distributiva dice que el término en frente de los paréntesis es multiplicado con cada término dentro del paréntesis por separado. Luego, sumamos los resultados de los productos.

$(a+b)(c+d)&=c\cdot (a+b)+d\cdot (a+b)\\\ &=c\cdot a+c \cdot b+d \cdot a+d \cdot b \\\ &= \ ca+cb+da+db$

Práctica Guiada

1. Encuentra el área de la figura:

2. Encuentra el volumen de la figura:

Solución:

1. Podemos sumar el área del rectángulo azul y el área de los rectángulos naranjos, pero es más fácil encontrar el área del rectángulo grande completo y sustraer el área del rectángulo amarillo.

$\text{Area of big rectangle} & = 20(12) = 240\\\\text{Area of yellow rectangle} & = (12-x)(20-2x)\\\& = 240-24x-20x+2x^2\\\& = 240-44x+2x^2\\\& = 2x^2-44x+240$

El área que buscamos es la diferencia entre los dos:

$\text{Area} & = 240-(2x^2-44x+240)\\\& = 240 + (-2x^2+44x-240)\\\& = 240 -2x^2 +44x-240\\\& = -2x^2+44x$

2. El volumen de la figura = (área de la base)(altura).

$\text{Area of the base} & = (4a-3)(2a+1)\\\& = 8a^2+4a-6a-3\\\& = 8a^2-2a-3\\\\text{Height} & = a + 4\\\\text{Volume} & = (8a^2-2a-3)(a+4)$

Multipliquemos usando el método vertical:

$& \qquad \quad \ \ \ 8a^2-2a-3\\\& \underline{\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; a+4\;\;}\\\& \qquad \quad \ 32a^2-8a-12\\\& \underline{8a^3\;-\;\;2a^2\;-3a \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\\& 8a^3+\ \ 30a^2-11a-12$

El volumen es $8a^3+30a^2-11a-12$ .

Práctica

Multiplica y simplifica.

$(x-3)(x+2)$
$(a+b)(a-5)$
$(x+2)(x^2-3)$
$(a^2+2)(3a^2-4)$
$(7x-2)(9x-5)$
$(2x-1)(2x^2-x+3)$
$(3x+2)(9x^2-6x+4)$
$(a^2+2a-3)(a^2-3a+4)$
$3(x-5)(2x+7)$
$5x(x+4)(2x-3)$

Encuentra el área de las siguientes figuras.

Encuentra el volumen de las siguientes figuras.

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