Productos Notables de los Polinomios

En esta sección aprenderás cómo encontrar dos productos notables de los polinomios: 1) el cuadrado de un polinomio y 2) dos binomios con los cuales la fórmula de suma y diferencia puede ser aplicada. También aprenderás a aplicar los productos notables de los polinomios para resolver problemas cotidianos.

Digamos que te piden multiplicar dos binomios que son exactamente iguales, cómo $(x^2 - 2)(x^2 - 2)$ Del mismo modo, digamos que tuvieras que multiplicar dos binomios entre los cuales el signo entre los dos términos es el opuesto del signo del otro término, como por ejemplo $(x^2 - 2)(x^2 + 2)$ ¿Qué atajos puedes usar? Luego de completar esta sección, serás capaz de encontrar el cuadrado de un binomio, además del producto de los binomios usando la fórmula de la suma y la diferencia.

Mira este video

Haz clic en la imagen de arriba para ver más contenido (requiere conexión a internet)

CK-12 Foundation: 0905S Special Products of Polynomials

*Este video solo está disponible en inglés

Orientación

Ya vimos que si multiplicamos dos binomios necesitamos asegurarnos de multiplicar de cada término del primer binomio con cada término del segundo binomio. Veamos otro ejemplo.

Multiplica dos binomios lineales (binomios con grado 1):

$(2x+3)(x+4)$

Cuando multiplicamos obtenemos un polinomio cuadrático (uno con grado 2) con cuatro términos:

$2x^2+8x+3x+12$

Los términos del centro son términos semejantes y los podemos combinar. Al simplificar obtenemos $2x^2+11x+12$ . Este es un trinomio (polinomio con tres términos) cuadrático o de segundo grado.

Considera que cada vez que multiplicamos dos binomios lineales con una variable, obtendremos un polinomio cuadrático. En esta sección hablaremos sobre algunos productos notables de los binomios.

Encuentra el cuadrado de un binomio

Un producto notable de un polinomio es el cuadrado del binomio . Considera el producto $(x+4)(x+4)$ .

Ya que estamos multiplicando la misma expresión por sí misma, significa que estamos elevando la expresión al cuadrado. La expresión $(x+4)(x+4)$ es igual a $(x+4)^2$ .

Cuando la multiplicamos, obtenemos $x^2+4x+4x+16$ , simplificado a $x^2+8x+16$ .

Los términos del medio --los que sumamos para obtener $8x$ -- eran iguales. ¿Coincidencia? Para averiguarlo, elevemos al cuadrado un binomio lineal común.

$(a+b)^2 & = (a+b)(a+b)=a^2+ab+ab+b^2\\\& = a^2+2ab+b^2$

Evidentemente, los términos del centro son iguales. ¿Qué pasa si la expresión que elevamos al cuadrado es una diferencia en vez de una suma?

$(a-b)^2 & = (a-b)(a-b) = a^2-ab-ab+b^2\\\& = a^2-2ab+b^2$

En general, pareciera que cada vez que elevamos un binomio, los dos términos del centro son iguales. El patrón general es: elevar al cuadrado un binomio, tomar el cuadrado del primer término, sumar o sustraer dos veces el producto de los términos y sumar el cuadrado del segundo término. Recuerda estas fórmulas:

$(a+b)^2 & = a^2+2ab+b^2\\\& \text{and}\\\(a-b)^2 & = a^2-2ab+b^2$

¡Recuerda! Elevar un polinomio a una potencia significa que multiplicamos el polinomio por sí mismo cuantas veces indique el exponente. Por ejemplo, $(a+b)^2=(a+b)(a+b)$ . ¡No pienses que $(a+b)^2=a^2+b^2$ ! Para comprobarlo que es un error, sustituye las variables $a$ y $b$ de la ecuación por números (por ejemplo, $a = 4$ y $b = 3$ ), y corroborarás que no es una expresión verdadera. El término del medio, $2ab$ , es vital para que la ecuación funcione.

Podemos aplicar la fórmula para los binomios cuadrados a un número sinnúmero de problemas.

Ejemplo A

Eleva cada binomio y simplifica.

a) $(x+10)^2$

b) $(2x-3)^2$

c) $(x^2+4)^2$

Solución

Usemos la fórmula del cuadrado del binomio para multiplicar cada expresión.

a) $(x+10)^2$

Si consideramos que $a = x$ y $b = 10$ , nuestra fórmula $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ se convierte en $(x+10)^2=x^2+2(x)(10)+10^2$ , y se simplifica a $x^2+20x+100$ .

b) $(2x-3)^2$

Si consideramos que $a = 2x$ y $b = 3$ , nuestra fórmula $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ se convierte en $(2x-3)^2=(2x^2)-2(2x)(3)+(3)^2$ , y se simplifica a $4x^2-12x+9$ .

c) $(x^2+4)^2$

Si consideramos $a = x^2$ y $b = 4$ , entonces

$(x^2+4)^2 & = (x^2)^2+2(x^2)(4)+(4)^2\\\& = x^4+8x^2+16$

Encontrar el producto de un binomio utilizando patrones de suma y diferencia

Otro producto especial de los binomios es el producto de la suma y la diferencia de términos. Por ejemplo, multipliquemos los siguientes binomios.

$(x+4)(x-4)&=x^2-4x+4x-16\\\& = x^2-16$

Nótese que los términos del medio son opuestos, por lo que se anulan cuando juntamos términos semejantes. Esto no es coincidencia, ya que siempre ocurre cuando multiplicamos la suma y la diferencia de los mismos términos. En general,

$(a+b)(a-b) & = a^2-ab+ab-b^2\\\& = a^2-b^2$

Cuando multiplicamos la suma y la diferencia de los mismos dos términos, los términos del centro se anulan. Sacamos el cuadrado del primer término menos el cuadrado del segundo término. Recuerda esta fórmula.

Fórmula de la suma y la diferencia: $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$

Apliquemos la fórmula a algunos ejemplos.

Ejemplo B

Multiplica los siguientes binomios y simplifica.

a) $(x+3)(x-3)$

b) $(5x+9)(5x-9)$

c) $(2x^3+7)(2x^3-7)$

Solución

a) Considera que $a = x$ y $b = 3$ , entonces:

$(a+b)(a-b) & = a^2-b^2\\\(x+3)(x-3) & = x^2-3^2\\\& = x^2-9$

b) Considera $a = 5x$ y $b = 9$ , entonces:

$(a+b)(a-b)&=a^2-b^2\\\(5x+9)(5x-9)&=(5x)^2-9^2\\\& = 25x^2-81$

c) Considera $a = 2x^3$ y $b = 7$ , entonces:

$(2x^3+7)(2x^3-7) & = (2x^3)^2-(7)^2\\\& = 4x^6-49$

Resolución de problemas cotidianos utilizando los productos notables de los polinomios

Veamos ahora cómo podemos aplicar los productos notables de los polinomios a problemas de geometría y a los cálculos mentales.

Ejemplo C

Encuentra el área del siguiente cuadro:

Solución

El largo de cada lado es $(a+b)$ , por lo que el área es $(a+b)(a+b)$ .

Esta es una representación visual del cuadrado de un binomio. El cuadrado azul tiene un área de $a^2$ , el cuadrado rojo un área de $b^2$ , y cada rectángulo tiene un área de $ab$ , por lo que sumados el área $(a+b)(a+b)$ es igual a $a^2+2ab+b^2$ .

El siguiente ejemplo muestra cómo usar los productos notables para realizar cálculos mentales rápidamente.

Ejemplo D

Usa la fórmula de diferencia de cuadrados y la fórmula del cuadrado del binomio para encontrar los productos de los siguientes números sin utilizar calculadora.

a) $43 \times 57$

b) $45^2$

c) $481 \times 319$

Solución

La clave para estos "trucos" mentales es reescribir cada número como la suma o la diferencia de números que sabes elevar al cuadrado con facilidad.

a) Reescribe 43 como $(50-7)$ y 57 como $(50 + 7)$ .

Luego $43 \times 57 = (50-7)(50 + 7) = (50)^2 - (7)^2 = 2500-49 = 2451$

b) $45^2 = (40 + 5)^2 = (40)^2 + 2(40)(5) + (5)^2 = 1600 + 400 + 25 = 2025$

c) Reescribe 481 como $(400 + 81)$ y 319 como $(400-81)$ .

Luego $481 \times 319 = (400 + 81)(400-81) = (400)^2-(81)^2$

$(400)^2$ es fácil: equivale a 160000.

$(81)^2$ no es fácil de calcular mentalmente, así que lo reescribiremos como $80 + 1$ .

$(81)^2 = (80 + 1)^2 = (80)^2 + 2(80)(1) + (1)^2 = 6400 + 160 + 1 = 6561$

Luego $481 \times 319 = (400)^2 - (81)^2 = 160000 - 6561 = 153439$

Mira este video si necesitas ayuda con los ejemplos anteriores.

Haz clic en la imagen de arriba para ver más contenido (requiere conexión a internet)

CK-12 Foundation: Special Products of Polynomials

*Este video solo está disponible en inglés

Vocabulario

Cuadrado de un binomio: $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2,$ y $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$

Fórmula de la suma y la diferencia: $(a+b)(a-b) = a^2-b^2$

Práctica Guiada

1. Eleva al cuadrado y simplifica: $(5x-2y)^2$ .

2. Multiplica $(4x+5y)(4x-5y)$ y simplifica.

3. Usa la fórmula de diferencia de cuadrados y la fórmula del binomio cuadrado para encontrar el producto de $112 \times 88$ sin utilizar calculadora.

Soluciones:

1.) $(5x-2y)^2$

Considera $a = 5x$ y $b = 2y$ , entonces

$(5x-2y)^2 & = (5x)^2-2(5x)(2y)+(2y)^2\\\& = 25x^2-20xy+4y^2$

2.) Considera $a = 4x$ y $b = 5y$ , entonces:

$(4x+5y)(4x-5y)&=(4x)^2-(5y)^2\\\& = 16x^2-25y^2$

3. ) La clave para estos "“trucos" mentales es reescribir cada número como la suma o la diferencia de números que sabes elevar con facilidad.

Reescribe 112 como $(100 + 12)$ y 88 como $(100-12)$ .

Entonces

$112 \times 88 &= (100 + 12)(100-12)\\\ &= (100)^2 - (12)^2\\\ &= 10000 - 144\\\ &= 9856$

Práctica

Usa la regla del producto notable para elevar al cuadrado los binomios y multiplicar las siguientes expresiones.

$(x+9)^2$
$(3x-7)^2$
$(5x-y)^2$
$(2x^3-3)^2$
$(4x^2+y^2)^2$
$(8x-3)^2$
$(2x+5)(5+2x)$
$(xy-y)^2$

Usa el producto especial de la suma y la diferencia para multiplicar las siguientes expresiones.

$(2x-1)(2x+1)$
$(x-12)(x+12)$
$(5a-2b)(5a+2b)$
$(ab-1)(ab+1)$
$(z^2+y)(z^2-y)$
$(2q^3+r^2)(2q^3-r^2)$
$(7s-t)(t+7s)$
$(x^2y+xy^2)(x^2y-xy^2)$

Encuentra el área del cuadrado al extremo derecho de la siguiente figura.

Multiplica los siguientes números utilizando los productos notables.

$45 \times 55$
$56^2$
$1002 \times 998$
$36 \times 44$
$10.5 \times 9.5$
$100.2 \times 9.8$
$-95 \times -105$
$2 \times -2$

Prev Next

Productos Notables de los Polinomios

Mira este video

Orientación

Ejemplo A

Ejemplo B

Ejemplo C

Ejemplo D

Vocabulario

Práctica Guiada

Práctica

Licencia