Factores Monomios Comunes de los Polinomios

En esta sección aprenderás a factorizar el máximo factor común de un polinomio.

Digamos que tienes un polinomio cómo $3x^3 - 9x^2 + 6x$ ¿Cómo podrías factorizarlo completamente? Luego de completar esta sección serás capaz de encontrar el máximo factor común de un polinomio.

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CK-12 Foundation: 0906S Greatest Common Monomial Factors

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Orientación

En las secciones anteriores hemos aprendido a multiplicar polinomios utilizando la propiedad distributiva. Todos los términos de un polinomio tenían que ser multiplicados por todos los términos del otro polinomio. En esta sección aprenderás a realizar el proceso inverso. La distribución inversa se denomina factorización .

Se puede encontrar el área total de las figuras de dos formas.

Podemos encontrar el área de todos los rectángulos pequeños y sumarlas: $ab+ac+ad+ae+2a$ .

También podemos encontrar el área del rectángulo grande de una vez. Su ancho es $a$ y su longitud es $b+c+d+e+2$ , por lo que su área es $a(b+c+d+e+2)$ .

Ya que el área del rectángulo es la misma sin importar el método que usamos, las dos expresiones deben ser iguales.

$ab+ac+ad+ae+2a = a(b+c+d+e+2)$

Para desplazar la parte derecha de la ecuación hacia la parte izquierda utilizaremos la propiedad distributiva. Para hacerlo, necesitamos factorizar Ya que los polinomios pueden ser multiplicados como si fueran números, también se pueden factorizar como números. Más adelante veremos cómo esto nos puede ayudar a resolver problemas.

Encontrar el máximo factor común de un monomio

En las secciones siguientes aprenderás varios métodos de factorización. En la mayoría de los casos, la factorización consta de varios pasos ya que queremos una factorización completa . Esto significa que factorizamos hasta que no podamos continuar.

Partamos por el primer paso: encontrar el máximo factor común del monomio. Cuándo queremos factorizar siempre debemos buscar los monomios en común primero. Analiza el siguiente polinomio, escrito en su forma expandida:

$ax+bx+cx+dx$

Un factor común es cualquier factor que aparece en todos los términos de un polinomio; puede ser un número, una variable o una combinación de números y variables. Considera que en nuestro ejemplo el factor $x$ aparece en todos los términos, por lo que es el factor común.

Para factorizar $x$ , situaremos la variable fuera de un grupo de paréntesis. Dentro del paréntesis escribimos lo que queda cuando dividimos cada término por $x$ :

$x(a+b+c+d)$

Veamos más ejemplos.

Ejemplo A

Factoriza:

a) $2x+8$

b) $15x-25$

c) $3a+9b+6$

Solución

a) Podemos ver que el factor 2 se divide de manera equitativa en ambos términos: $2x + 8 = 2(x) + 2(4)$

Factorizamos el 2 al escribirlo frente a un paréntesis: $2( \ )$

Dentro del paréntesis ponemos lo que queda de cada término cuando dividimos por 2: $2(x + 4)$

b) Vemos que el factor de 5 se divide de manera equitativa en todos los términos: $15x-25= 5(3x)-5(5)$

Factorizamos el 5 para obtener: $5(3x-5)$

c) Vemos que el factor 3 se divide de manera equitativa en todos los términos: $3a + 9b + 6 = 3(a) + 3(3b) + 3(2)$

Factorizamos 3 para obtener: $3(a + 3b + 2)$

Ejemplo B

Encuentra el máximo factor común:

a) $a^3-3a^2+4a$

b) $12a^4-5a^3+7a^2$

Solución

a) Nótese que el factor $a$ aparece en todos los términos de $a^3-3a^2+4a$ , pero cada término tiene $a$ elevado a una potencia distinta. El máximo factor común de todos los términos es simplemente $a$ .

Primero reescribe $a^3-3a^2+4a$ como $a(a^2) + a(-3a) + a(4)$ .

Luego factorizamos $a$ para obtener $a(a^2 - 3a + 4).$

b) El factor $a$ aparece en todos los términos y siempre es elevado, al menos, a la segunda potencia. El máximo factor común más alto de todos los términos es $a^2$ .

Reescribimos la expresión $12a^4-5a^3+7a^2$ como $(12a^2 \cdot a^2) - (5a \cdot a^2) + (7 \cdot a^2)$

Factorizamos $a^2$ para obtener $a^2(12a^2 - 5a + 7)$ .

Ejemplo C

Factoriza completamente:

a) $3ax+9a$

b) $x^3y+xy$

c) $5x^3y-15x^2y^2+25xy^3$

Solución

a) Ambos términos tienen un denominador común de 3, pero también tienen un factor común $a$ . Es más fácil factorizarlos de una vez, lo que nos da $3a(x+3)$ .

b) Tanto $x$ como $y$ son factores comunes. Cuando los factorizamos obtenemos $xy(x^2+1)$ .

c) Los factores comunes son 5, $x$ , e $y$ . Factorizar $5xy$ nos da $5xy(x^2-3xy+5xy^2)$ .

Mira este video si necesitas ayuda con los ejemplos anteriores.

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CK-12 Foundation: Greatest Common Monomial Factors

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Vocabulario

Un factor común puede ser un número, una variable o una combinación de números y de variables que aparecen en cada término del polinomio.

Práctica Guiada

Encuentra el máximo factor común.

$16x^2y^3z^2+4x^3yz+8x^2y^4z^5$

Solución:

Primero revisa los coeficientes para ver si tienen algún factor común. Lo tienen: 4.

Luego, busca la potencia más baja de cada variable, ya que eso es lo máximo que puedes factorizar. La potencia más baja de $x$ es $x^2$ . Las potencias más bajas de $y$ y $z$ corresponden a la primera potencia.

Esto significa que podemos factorizar $4x^2yz$ . Ahora debemos determinar lo que queda en cada término luego de que factorizamos $4x^2yz$ :

$16x^2y^3z^2+4x^3yz+8x^2y^4z^5=4x^2yz(4y^2z+x+2y^3z^4)$

Práctica

Factoriza el máximo factor común de los siguientes polinomios.

$2x^2 - 5x$
$3x^3 - 21x$
$5x^6 + 15x^4$
$4x^3 + 10x^2 - 2x$
$-10x^6 + 12x^5 - 4x^4$
$12xy + 24xy^2 + 36xy^3$
$5a^3 - 7a$
$3y + 6z$
$10a^3 - 4ab$
$45y^{12} + 30y^{10}$
$16xy^2 z + 4x^3 y$
$2a - 4a^2 + 6$
$5xy^2 - 10xy + 5y^2$

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