Propiedad del Producto Cero

En esta sección aprenderás cómo aplicar la propiedad del producto cero y como factorizar polinomios para encontrar sus variables desconocidas.

Digamos que tienes una ecuación polinomial como $3x^2 + 4x - 4 = 0$ ¿Cómo factorizarías el polinomio para resolver la ecuación? Luego de completar esta sección, serás capaz de resolver ecuaciones polinomiales mediante la factorización y la propiedad del producto cero.

Mira este video

Haz clic en la imagen de arriba para ver más contenido (requiere conexión a internet)

CK-12 Foundation: 0907S Factoring to Solve Polynomials

*Este video solo está disponible en inglés

Orientación

La cualidad más valiosa de la factorización es que podemos utilizarla para resolver ecuaciones polinomiales.

Ejemplo A

Analiza una ecuación como $2x^2 + 5x - 42 = 0$ . ¿Cómo resuelves la $x$ ?

Solución:

No hay forma de separar $x$ en esta ecuación, por lo que tenemos que resolverla utilizando las técnicas que ya hemos aprendido. Sin embargo, el lado izquierdo de la ecuación puede factorizarse, lo que nos da $(x + 6)(2x - 7)=0$ .

¿Cómo ayuda esto? La respuesta se encuentra en una propiedad muy útil de la multiplicación: si dos números se multiplican por cero, entonces al menos uno de esos números tiene que ser cero. Esto se denomina propiedad del producto cero.

¿Qué significa esto para nuestra ecuación polinomial? Ya que el producto es igual a 0, al menos uno de los factores del lado izquierdo de la ecuación debe ser igual a cero. Podemos encontrar las dos soluciones al designar cada factor como cero y resolver cada ecuación de manera separada.

Designar los factores como cero nos da:

$(x + 6) = 0 && \text{OR} && (2x - 7) = 0$

Resolver las dos ecuaciones nos da:

$& x + 6 = 0 && && 2x - 7 =0\\\& \underline{\underline{x = -6}} && \text{OR} && 2x = 7\\\& && && \underline{\underline{x = \frac{7}{2}}}$

Nótese que la solución es $x = -6$ O $x = \frac{7}{2}$ . El O significa que cualquiera de estos valores de $x$ haría que el producto de los dos factores sea igual a cero. Integremos las respuestas en la ecuación para ver si está correcto.

$& Check: x = - 6; && Check: x = \frac{7}{2}\\\& (x + 6)(2x - 7)= && (x + 6)(2x - 7)=\\\& (-6 +6)(2(-6) -7)= && \left ( \frac{7}{2} + 6 \right ) \left (2 \cdot \frac{7}{2} - 7 \right ) =\\\& (0)(-19) = 0 && \left (\frac{19}{2} \right ) (7 - 7) = \\\& && \left (\frac{19}{2} \right ) (0) = 0$

Ambas soluciones son correctas.

La factorización de polinomios es muy útil ya que la propiedad de producto cero nos permite separar el problema en partes más simples. Cuando no podemos factorizar un polinomio, el problema es más difícil y debemos emplear otros métodos que aprenderás más adelante.

Como último recordatorio, ten en cuenta que la propiedad de producto cero solo funciona cuando un producto es igual a cero. Por ejemplo, si multiplicamos dos números y el resultado es nueve, no significa que uno o ambos números debe ser nueve, Para usar esta propiedad el polinomio factorizado debe ser igual a cero.

Ejemplo B

Resuelve cada ecuación:

a) $(x - 9)(3x + 4)=0$

b) $x(5x - 4) = 0$

c) $4x (x+6)(4x - 9)=0$

Solución

Ya que todos los polinomios están en forma factorizada podemos asignar a cada factor un valor cero y resolver las ecuaciones simplificadas por separado.

a) $(x - 9)(3x + 4) = 0$ Puedes ser separada en dos ecuaciones lineales:

$& x - 9 = 0 && && 3x + 4 = 0\\\& \underline{\underline{x = 9}} && \text{or} && 3x = -4\\\& && && \underline{\underline{x = - \frac{4}{3}}}$

b) $x(5x - 4) = 0$ puede separarse en dos ecuaciones lineales:

$& && && 5x - 4 = 0\\\& \underline{\underline{x = 0}} && \text{or} && 5x = 4\\\& && && \underline{\underline{x = \frac{4}{5}}}$

c) $4x(x + 6)(4x - 9) =0$ puede separarse en tres ecuaciones lineales:

$& 4x = 0 && && x + 6 = 0 && && 4x - 9 =0\\\& x= \frac{0}{4} && \text{or} && x = -6 && \text{or} && 4x = 9\\\& \underline{\underline{x = 0}} && && && && \underline{\underline{x = \frac{9}{4}}}$

Resolución de ecuaciones polinomiales simples mediante la factorización

Ahora que conocemos los aspectos básicos de la factorización podemos resolver ecuaciones polinomiales simples. Ya vimos cómo podemos usar la propiedad del producto cero para resolver polinomios en forma factorizada: ahora podemos usar dicho conocimiento para resolver polinomios mediante la factorización. Estos son los pasos:

a) Reescribe si es necesario, la ecuación en forma estándar para que el lado derecho sea igual a cero.

b) Factoriza el polinomio completamente.

c) Usa la regla del producto cero para dejar cada factor igual a cero.

d) Resuelve cada ecuación a partir del paso 3.

e) Corrobora tus respuestas sustituyendo con tus resultados las partes de la ecuación original.

Ejemplo C

Resuelve las siguientes ecuaciones polinomiales.

a) $x^2 - 2x =0$

b) $2x^2 = 5x$

c) $9x^2 y - 6xy = 0$

Solución

a) $x^2 - 2x = 0$

Re-escribe: no es necesario ya que la ecuación está en la forma correcta.

Factor: el factor común es $x$ , por lo que se factoriza como $x(x-2)=0$ .

Iguala cada factor a cero:

$x = 0 && \text{or} && x - 2 = 0$

Resuelve:

$\underline{x = 0} && \text{or} && \underline{x = 2}$

Revisa: Sustituye con tus respuestas las partes de la ecuación original.

$x & = 0 \Rightarrow (0)^2 - 2(0) = 0 && \text{works out}\\\x & = 2 \Rightarrow (2)^2 - 2(2) = 4 - 4 = 0 && \text{works out}$

Respuesta: $x = 0, x = 2$

b) $2x^2 = 5x$

Re-escribe: $2x^2 = 5x \Rightarrow 2x^2 - 5x = 0$

Factoriza: El factor común es $x$ , por lo que se factoriza $x(2x - 5)=0$ .

Iguala cada factor a cero:

$x = 0 && \text{or} && 2x - 5 = 0$

Resuelve:

$& \underline{x = 0} && \text{or} && 2x = 5\\\& &&&& \underline{x = \frac{5}{2}}$

Revisa: Sustituye con tus respuestas las partes de la ecuación original.

$x & = 0 \Rightarrow 2(0)^2 = 5(0) \Rightarrow 0 = 0 && \text{works out}\\\x & = \frac{5}{2} \Rightarrow 2 \left ( \frac{5}{2} \right )^2 = 5 \cdot \frac{5}{2} \Rightarrow 2 \cdot \frac{25}{4} = \frac{25}{2} \Rightarrow \frac{25}{2} = \frac{25}{2} && \text{works out}$

Respuesta: $x = 0, x =\frac{5}{2}$

c) $9x^2y - 6xy = 0$

Reescribir: no es necesario.

Factor: El factor común es $3xy$ , por lo que se factoriza como $3xy(3x - 2)=0$ .

Iguala cada factor a cero:

$3 = 0$ nunca es correcto, así que esta parte no nos da la solución. Los factores que nos quedan nos dan:

$x = 0 && \text{or} && y = 0 && \text{or} && 3x - 2 = 0$

Resuelve:

$& \underline{x = 0} && \text{or} && \underline{y = 0} && \text{or} && 3x = 2\\\& &&&& \underline{x = \frac{2}{3}}$

Revisa: Sustituye con tus respuestas las partes de la ecuación original.

$& x = 0 \Rightarrow 9(0)y - 6(0)y = 0 - 0 = 0 && \text{works out}\\\& y = 0 \Rightarrow 9x^2 (0) - 6x(0) = 0 - 0 = 0 && \text{works out}\\\& x = \frac{2}{3} \Rightarrow 9 \cdot \left ( \frac{2}{3} \right)^2 y - 6 \cdot \frac{2}{3} y = 9 \cdot \frac{4}{9} y - 4y = 4y - 4y = 0 && \text{works out}$

Respuesta: $x = 0, y = 0, x = \frac{2}{3}$

Mira este video si necesitas ayuda con los ejemplos anteriores.

Haz clic en la imagen de arriba para ver más contenido. (requiere conexión a internet)

CK-12 Foundation: Factoring to Solve Polynomials

*Este video solo está disponible en inglés

Vocabulario

Los polinomios pueden ser escritos en forma expandida o en forma factorizada . Escribirla en forma expandida significa que tienes las sumas y las diferencias de los diferentes términos:

Escribir un polinomio en su forma factorizada significa escribirlo como producto de sus factores.

Propiedad de producto cero: La única forma de que el producto sea cero es que uno o más términos sean iguales a cero:

$a\cdot b=0 \Rightarrow a=0 \text{ or } b=0.$

Práctica Guiada

Resuelve la siguiente ecuación polinomial.

$9x^2-3x=0$

Solución: $9x^2-3x=0$

Reescribir: : No es necesario ya que la ecuación está en la forma correcta.

Factor : El factor común es $3x$ , por lo que se factoriza: $3x(3x-1)=0$ .

Iguala cada factor a cero.

$3x=0 && \text{or} && x-2=0$

Resuelve :

$x=0 && \text{or} && x=2$

Revisa : Sustituye con tus respuestas las partes de la ecuación original.

$x=0 && (0)^2-2(0)=0\\\x=2 && (2)^2-2(2)=0$

Respuesta $x=0, \ x=2$

Práctica

Resuelve las siguientes ecuaciones polinomiales.

$x(x + 12) = 0$
$(2x + 1)(2x - 1) = 0$
$(x - 5)(2x + 7)(3x - 4) = 0$
$2x(x + 9)(7x - 20) = 0$
$x(3 + y) = 0$
$x(x - 2y) = 0$
$18y - 3y^2 = 0$
$9x^2 = 27x$
$4a^2 + a = 0$
$b^2 - \frac{5}{3}b = 0$
$4x^2 = 36$
$x^3 - 5x^2 = 0$

Prev Next

Propiedad del Producto Cero

Mira este video

Orientación

Ejemplo A

Ejemplo B

Ejemplo C

Vocabulario

Práctica Guiada

Práctica

Licencia