Factorización de Expresiones Cuadráticas

En esta sección aprenderás a factorizar polinomios de segundo grado, también conocidos como polinomios cuadráticos. Todos los términos de estos polinomios tienen coeficientes positivos.

Digamos que tienes una expresión cuadrática como $x^2 + 9x + 14$ que tiene todos los coeficientes positivos. ¿Cómo factorizarías la expresión? Luego de completar esta sección serás capaz de resolver expresiones cuadráticas como ésta con coeficientes positivos.

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CK-12 Foundation: 0908S Factoring Quadratic Expressions

*Este video solo está disponible en inglés

Orientación

Los polinomios cuadráticos son polinomios de $2^{nd}$ grado. La forma estándar de un polinomio cuadrático se escribe

$ax^2 + bx + c$

donde $a, b,$ y $c$ representan números constantes. La factorización de estos polinomios depende de los valores de estas constantes. En esta sección aprenderemos cómo factorizar polinomios cuadráticos con diferentes valores para $a, b,$ y $c$ . (Cuándo ninguno de los coeficientes es cero, estas expresiones también se llaman trinomios , cuadráticos, ya que son polinomios de tres términos.)

Ya has aprendido cómo factorizar polinomios cuadráticos en dónde $c = 0$ . Por ejemplo, para la expresión cuadrática $ax^2 + bx$ , el factor común es $x$ y esta expresión se factoriza como $x(ax + b)$ . Ahora veremos cómo factorizar expresiones cuadráticas en las que $c$ no es cero.

Factorizar cuando a = 1, b es positivo , y c también

Primero, considera el caso en que $a = 1, b$ es positivo y $c$ también. Los trinomios cuadráticos tendrán la forma:

$x^2 + bx +c$

Como ya sabes, al multiplicar dos factores $(x + m)(x + n)$ , obtenemos una expresión polinomial cuadrática. Miremos este proceso en detalle. Primero usamos la distribución:

$(x + m)(x + n) = x^2 + nx + mx + mn$

Luego, simplificamos al combinar los términos semejantes en la mitad. Obtenemos:

$(x + m)(x + n) = x^2 + (n + m) x +mn$

Por lo que para factorizar una expresión cuadrática solo necesitamos realizar el proceso inverso.

$& \text{We see that} \qquad \qquad \qquad \quad \ x^2 + (n + m)x + mn \\\& \text{is the same form as} \qquad \qquad x^ 2 + bx + c$

Esto significa que tenemos que encontrar dos números $m$ y $n$ donde

$n + m = b \qquad \qquad \text{and} \qquad \qquad mn = c$

Los factores de $x^2 + bx + c$ siempre son dos binomios

$(x + m)(x + n)$

tal que $n + m = b$ y $mn = c$ .

Ejemplo A

Factoriza $x^2 + 5x + 6$ .

Solución

Buscamos una respuesta que es el producto de los dos binomios en paréntesis:

$(x\;\;\;\;)(x\;\;\;\;)$

Queremos dos números $m$ y $n$ que se multipliquen a 6 y que sumen hasta 5. Una buena estrategia es enumerar las maneras posibles en las que podemos multiplicar dos números para obtener 6 y luego ver cuál de esos números suma hasta 5:

$& 6 = 1 \cdot 6 && \text{and} && 1 + 6 = 7\\\& 6 = 2 \cdot 3 && \text{and} && 2 + 3 = 5 \qquad This \ is \ the \ correct \ choice.$

Por lo tanto, la respuesta es $(x + 2)(x + 3)$ .

Podemos revisar si la respuesta es correcta multiplicando $(x + 2)(x + 3)$ :

$& \quad \quad \quad x + 2\\\& \underline{\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x + 3}\\\& \quad \quad \ 3x + 6\\\& \underline{x^2 + 2x\;\;\;\;\;\;}\\\& x^2 + 5x + 6$

La respuesta es correcta.

Ejemplo B

Factoriza $x^2 + 7x + 12$ .

Solución

Buscamos una respuesta que es el producto de los dos binomios en paréntesis: $(x\;\;\;\;\;)(x\;\;\;\;)$

El número 12 puede ser escrito como el producto de los siguientes números:

$& 12 = 1 \cdot 12 && \text{and} && 1 + 12 = 13\\\& 12 = 2 \cdot 6 && \text{and} && 2 + 6 = 8\\\& 12 = 3 \cdot 4 && \text{and} && 3 + 4 = 7 \qquad This \ is \ the \ correct \ choice.$

La respuesta es correcta $(x + 3)(x + 4)$ .

Ejemplo C

Factoriza $x^2 + 8x + 12$ .

Solución

Buscamos una respuesta que es el producto de los dos binomios en paréntesis $(x\;\;\;\;\;)(x\;\;\;\;)$

El número 12 puede ser escrito como producto de los siguientes números:

$& 12 = 1 \cdot 12 && \text{and} && 1 + 12 = 13\\\& 12 = 2 \cdot 6 && \text{and} && 2 + 6 = 8 \qquad This \ is \ the \ correct \ choice.\\\& 12 = 3 \cdot 4 && \text{and} && 3 + 4 = 7$

La respuesta es correcta $(x + 2)(x + 6)$ .

Mira este video si necesitas ayuda con los ejemplos anteriores.

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CK-12 Foundation: Factoring Quadratic Expressions

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Vocabulario

La forma cuadrática de los factores de $x^2 + bx + c$ como producto de dos binomios en paréntesis: $(x + m)(x + n)$

Si $b$ y $c$ son positivos, tanto $m$ y $n$ son positivos.

Práctica Guiada

Factoriza $x^2 + 12x + 36$ .

Solución

Buscamos una respuesta que es el producto de los dos binomios en paréntesis: $(x\;\;\;\;)(x\;\;\;\;)$

El número 36 puede ser escrito como el producto de los siguientes números:

$& 36 = 1 \cdot 36 && \text{and} && 1 + 36 = 37\\\& 36 = 2 \cdot 18 && \text{and} && 2 + 18 = 20\\\& 36 = 3 \cdot 12 && \text{and} && 3 + 12 = 15\\\& 36 = 4 \cdot 9 && \text{and} && 4 + 9 = 13\\\& 36 = 6 \cdot 6 && \text{and} && 6 + 6 = 12 \qquad This \ is \ the \ correct \ choice.$

La respuesta es $(x + 6)(x + 6)$ .

Práctica

Factoriza los siguientes polinomios cuadráticos.

$x^2 + 10x + 9$
$x^2 + 15x + 50$
$x^2 + 10x + 21$
$x^2 + 16x + 48$
$x^2+14x+45$
$x^2+15x+50$
$x^2+22x+40$
$x^2+15x+56$
$x^2+2x+1$
$x^2+10x+24$
$x^2+17x+72$
$x^2+25x+150$

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