Factorización de Expresiones Cuadráticas con Coeficientes Negativos

En esta sección aprenderás a factorizar polinomios cuadráticos en los cuales algunos términos tienen coeficientes negativos.

¿Qué harías con una expresión cuadrática como $x^2 - 3x - 10$ o $-x^2 - 4x -4$ en las que algunos o todos los coeficientes son negativos? ¿Cómo la factorizarías? Luego de completar esta sección serás capaz de factorizar expresiones cuadráticas como esta para varios coeficientes con valores negativos.

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CK-12 Foundation: 0909S Factoring Quadratic Expressions with Negative Coefficients

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Orientación

En la sección anterior vimos como factorizar expresiones cuadráticas cuyos coeficientes eran todos positivos. En esta sección veremos lo que pasa cuando factorizamos expresiones cuadráticas en las que algunos coeficientes son negativos.

Factorizar cuando a=1, b es negativo y c es positivo

Veamos cómo este método funciona si el coeficiente del medio es negativo.

Ejemplo A

Factoriza $x^2 - 6x + 8$ .

Solución

Buscamos una respuesta que es el producto de los dos binomios en paréntesis: $(x\;\;\;\;)(x\;\;\;\;)$

Cuando tenemos coeficientes negativos tenemos que recordar que también puede haber factores negativos. El número 8 puede ser escrito como el producto de los siguientes números:

$8 = 1 \cdot 8 \quad \quad \text{and} \quad \quad 1 + 8 = 9$

pero también

$8 = (-1) \cdot (-8) \quad \quad \text{and} \quad \quad -1 + (-8) = -9$

$8 = 2 \cdot 4 \quad \quad \text{and} \quad \quad 2 + 4 = 6$

pero también

$8 = (-2) \cdot (-4) \quad \quad \text{and} \quad \quad -2 + (-4) = -6.$

La última es la opción correcta. La respuesta es $(x - 2)(x - 4)$ . Podemos corroborar multiplicando $(x - 2)(x - 4)$ :

$& \quad \quad \quad x - 2\\\& \underline{\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x - 4}\\\& \quad \ - \ 4x + 8\\\& \underline{x^2 - \ 2x\;\;\;\;\;\;\;}\\\& x^2 - \ 6x + 8$

La respuesta es correcta.

Ejemplo B

Factoriza $x^2 - 17x + 16$ .

Solución

Buscamos una respuesta que es el producto de los dos binomios en paréntesis: $(x\;\;\;\;)(x\;\;\;\;)$

El número 16 puede escribirse como el producto de los siguientes números:

$& 16 = 1 \cdot 16 && \text{and} && 1 + 16 = 17\\\& 16 = (-1) \cdot (-16) && \text{and} && -1 + (-16) = -17 \qquad (Correct \ choice)\\\& 16 = 2 \cdot 8 && \text{and} && 2 + 8 = 10\\\& 16 = (-2) \cdot (-8) && \text{and} && -2 + (-8) = -10\\\& 16 = 4 \cdot 4 && \text{and} && 4 + 4 = 8\\\& 16 = (-4) \cdot (-4) && \text{and} && -4 + (-4) = -8$

La respuesta es $(x - 1)(x - 16)$ .

En general, cuándo $b$ es negativo y $a$ y $c$ positivos, los dos factores binomiales tendrán signos negativos en vez de positivos.

Factorizar cuando a=1 y c es negativo

Veámos ahora como funciona este método si el término constante es negativo.

Ejemplo C

Factoriza $x^2 + 2x - 15$ .

Solución

Buscamos una respuesta que es el producto de los dos binomios en paréntesis: $(x\;\;\;\;)(x\;\;\;\;\;)$

Una vez más debemos considerar el signo negativo. El número -15 puede ser escrito como el producto de los siguientes números:

$& -15 = -1 \cdot 15 && \text{and} && -1 + 15 = 14\\\& -15 = 1 \cdot (-15) && \text{and} && 1 + (-15) = -14\\\& -15 = -3 \cdot 5 && \text{and} && -3 + 5 = 2 \qquad \qquad (Correct \ choice)\\\& -15 = 3 \cdot (-5) && \text{and} && 3 + (-5) = -2$

La respuesta es $(x - 3)(x +5)$ .

Podemos corroborar la respuesta multiplicando:

$& \quad \quad \ \ x - \ 3\\\& \underline{\;\;\;\;\;\;\;\;\; x + \;5\;}\\\& \quad \quad 5x - 15\\\& \underline{x^2 - 3x\;\;\;\;\;\;\;\;}\\\& x^2 + 2x - 15$

La respuesta es correcta.

Ejemplo D

Factoriza $x^2 - 10x - 24$ .

Solución

Buscamos una respuesta que es el producto de los dos binomios en paréntesis: $(x\;\;\;\;)(x\;\;\;\;)$

El número -24 puede ser escrito como el producto de los siguientes números:

$& -24 = -1 \cdot 24 && \text{and} && -1 + 24 = 23\\\& -24 = 1 \cdot (-24) && \text{and} && 1 + (-24) = -23\\\& -24 = -2 \cdot 12 && \text{and} && -2 + 12 = 10\\\& -24 = 2 \cdot (-12) && \text{and} && 2 + (-12) = -10 \qquad (Correct \ choice)\\\& -24 = -3 \cdot 8 && \text{and} && -3 + 8 = 5\\\& -24 = 3 \cdot (-8) && \text{and} && 3 + (-8) = -5\\\& -24 = -4 \cdot 6 && \text{and} && -4 + 6 = 2\\\& -24 = 4 \cdot (-6) && \text{and} && 4 + (-6) = -2$

La respuesta es $(x - 12) (x + 2)$ .

Factorización cuando a=-1

Cuando $a = -1$ , la mejor estrategia es factorizar el factor común de -1 para todos los términos de una expresión polinomial cuadrática y luego aplicar los métodos que has aprendido en esta sección.

Ejemplo E

Factoriza $-x^2 + x + 6$ .

Solución

Primero factoriza el factor común -1 de cada término del trinomio. Factorizar -1 solo cambia los signos de la expresión:

$-x^2 + x + 6 = -(x^2 - x - 6)$

Buscamos el producto de dos binomios en paréntesis: $-(x\;\;\;\;)(x\;\;\;\;)$

Ahora tenemos que factorizar $x^2 - x - 6$ .

El número -6 puede ser escrito como el producto de los siguientes números:

$& -6 = -1 \cdot 6 && \text{and} && -1 + 6 = 5\\\& -6 = 1 \cdot (-6) && \text{and} && 1 + (-6) = -5\\\& -6 = -2 \cdot 3 && \text{and} && -2 + 3 = 1\\\& -6 = 2 \cdot (-3) && \text{and} && 2 + (-3) = -1 \qquad (Correct \ choice)$

La respuesta es $-(x - 3)(x + 2)$ .

Mira este video si necesitas ayuda con los ejemplos anteriores.

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CK-12 Foundation: Factoring Quadratic Expressions with Negative Coefficients

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Vocabulario

La forma cuadrática de $x^2 + bx + c$ se factoriza como producto de dos binomios en paréntesis: $(x + m)(x + n)$

Si $b$ y $c$ son positivos, entonces tanto $m$ como $n$ son positivos.

Si $b$ es negativo y $c$ es positivo, entonces tanto $m$ como $n$ son negativos.

Si $c$ es negativo entonces $m$ es positvo y $n$ negativo, o vice versa.

Si hay un signo negativo en frente $x^2$ , factoriza -1 de cada término del trinomio y después factoriza normalmente. La respuesta tendrá la forma: $-(x + m)(x + n)$

Práctica Guiada

Factoriza $x^2 + 34x - 35$ .

Solución

Buscamos una respuesta que es el producto de los dos binomios en paréntesis: $(x\;\;\;\;)(x\;\;\;\;)$

El número -35 puede escribirse como el producto de los siguientes números:

$& -35 = -1 \cdot 35 && \text{and} && -1 + 35 = 34 \qquad (Correct \ choice)\\\& -35 = 1 \cdot (-35) && \text{and} && 1 + (-35) = -34\\\& -35 = -5 \cdot 7 && \text{and} && -5 + 7 = 2\\\& -35 = 5 \cdot (-7) && \text{and} && 5 + (-7) = -2$

La respuesta es $(x - 1)(x + 35)$ .

Práctica

Factoriza los siguientes polinomios cuadráticos.

$x^2 - 11x + 24$
$x^2 - 13x + 42$
$x^2 - 14x + 33$
$x^2 - 9x + 20$
$x^2 + 5x - 14$
$x^2 + 6x - 27$
$x^2 + 7x - 78$
$x^2 + 4x - 32$
$x^2 - 12x - 45$
$x^2 - 5x - 50$
$x^2 - 3x - 40$
$x^2 - x - 56$
$-x^2 - 2x - 1$
$-x^2 - 5x + 24$
$-x^2 + 18x - 72$
$-x^2 + 25x - 150$
$x^2 + 21x + 108$
$-x^2 + 11x - 30$
$x^2 + 12x - 64$
$x^2 - 17x - 60$
$x^2 + 5x - 36$

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