Factorización Mediante Diferencia de Cuadrados

En esta sección aprenderás cómo factorizar polinomios que son la diferencia de un cuadrado.

Digamos que tienes una expresión cuadrática como $9x^2 - 4y^2$ en la que un término cuadrado se resta de otro. ¿Cómo factorizarías esa expresión? Luego de completar esta sección, serás capaz de factorizar la diferencia de dos cuadrados como este.

Mira este video

Haz clic en la imagen de arriba para ver más contenido. (requiere conexión a internet)

CK-12 Foundation: 0910S Factoring the Difference of Squares

*Este video solo está disponible en inglés.

Orientación

Cuando aprendiste a multiplicar binomios, mencionamos dos productos notables.

$\text{The sum and difference formula:} \quad (a + b)(a - b) & = a^2 - b^2\\\\text{The square of a binomial formulas:} \qquad \quad \ \ (a + b)^2 & = a^2 + 2ab + b^2\\\ (a - b)^2 & = a^2 - 2ab + b^2$

En esta sección aprenderás a reconocer y factorizar estos productos notables.

Factorización de la diferencia de dos cuadrados

Usamos la fórmula de la suma y la diferencia para factorizar dos cuadrados. La diferencia entre dos cuadrados es cualquier polinomio cuadrático en la forma $a^2 - b^2$ , en donde $a$ y $b$ pueden ser variables, constantes o cualquier otra cosa. Los factores de $a^2 - b^2$ siempre son $(a + b)(a - b)$ ; la clave está en descubrir cuáles son los términos $a$ y $b$ .

Ejemplo A

Factoriza la diferencia de los cuadrados:

a) $x^2 - 9$

b) $x^2 - 100$

c) $x^2 - 1$

Solución

a) Reescribe $x^2 - 9$ como $x^2 - 3^2$ . Ahora la diferencia de cuadrados es obvia.

La fórmula de la diferencia de cuadrados es:

$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$

Veámos cómo queda el problema con esta fórmula:

$x^2 - 3^2 = (x + 3)(x - 3)$

La respuesta es:

$x^2 - 9 = (x + 3)(x - 3)$

Podemos corroborar la respuesta multiplicando $(x + 3)(x - 3)$ :

$& \quad \quad \ \ x + 3\\\& \underline{\;\;\;\;\;\;\;\;\;x - 3}\\\& \quad -3x - 9\\\& \underline{x^2 + 3x\;\;\;\;\;\;}\\\& x^2 + 0x - 9$

La respuesta es correcta.

Nota: Podríamos factorizar este polinomio sin reconocer la diferencia de cuadrados. Con los métodos que aprendimos en la última sección sabemos que los factores de un polinomio cuadrático se factorizan como el producto de dos binomios:

$(x\;\;\;\;)(x\;\;\;\;)$

Necesitamos encontrar dos números que se multipliquen a -9 y que sumados den 0 (ya que no hay término $x-$ es lo mismo que si el término $x-$ tuviera coeficiente 0). Podemos escribir -9 como los siguientes productos:

$& -9 = -1 \cdot 9 && \text{and} && -1 + 9 = 8\\\& -9 = 1 \cdot (-9) && \text{and} && 1 + (-9) = -8\\\& -9 = 3 \cdot (-3) && \text{and} && 3 + (-3) = 0 \qquad These \ are \ the \ correct \ numbers.$

Podemos factorizar $x^2 - 9$ como $(x + 3)(x - 3)$ , que es la misma respuesta de antes. Siempre puedes factorizar usando los métodos que aprendiste en las secciones anteriores, pero reconocer los productos notables te ayuda a hacerlo más rápido.

b) Reescribe $x^2 - 100$ como $x^2 - 10^2$ . Se factoriza como $(x + 10)(x - 10)$ .

c) Reescribe $x^2 - 1$ como $x^2 - 1^2$ . Se factoriza como $(x + 1)(x - 1)$ .

Ejemplo B

Factoriza la diferencia de cuadrados:

a) $16x^2 - 25$

b) $4x^2 - 81$

c) $49x^2 - 64$

Solución

a) Reescribe $16x^2 - 25$ como $(4x)^2 - 5^2$ . Se factoriza como $(4x + 5)(4x - 5)$ .

b) Reescribe $4x^2 - 81$ como $(2x)^2 - 9^2$ . Se factoriza como $(2x + 9)(2x - 9)$ .

c) Reescribe $49x^2 - 64$ como $(7x)^2 - 8^2$ . Se factoriza como $(7x + 8)(7x - 8)$ .

Ejemplo C

Factoriza la diferencia de cuadrados:

a) $x^2 - y^2$

b) $9x^2 - 4y^2$

c) $x^2 y^2 - 1$

Solución

a) $x^2 - y^2$ se factoriza como $(x + y)(x - y)$ .

b) Reescribe $9x^2 - 4y^2$ como $(3x)^2 - (2y)^2$ . se factoriza como $(3x + 2y)(3x - 2y)$ .

c) Reescribe $x^2 y^2 - 1$ como $(xy)^2 - 1^2$ . se factoriza como $(xy + 1)(xy - 1)$ .

Mira este video si necesitas ayuda con los ejemplos anteriores.

Haz clic en la imagen de arriba para ver más contenido (requiere conexión a internet)

CK-12 Foundation: Factoring the Difference of Squares

*Este video solo está disponible en inglés

Vocabulario

La diferencia de dos cuadrados tiene la forma.

$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$ .

Práctica Guiada

Factoriza la diferencia de cuadrados:

a) $x^4 - 25$

b) $16x^4 - y^2$

c) $x^2 y^8 - 64z^2$

Solución

a) Reescribe $x^4 - 25$ como $(x^2)^2 - 5^2$ . Se factoriza como $(x^2 + 5)(x^2 - 5)$ .

b) Reescribe $16x^4 - y^2$ como $(4x^2)^2 - y^2$ . Se factoriza como $(4x^2 + y)(4x^2 - y)$ .

c) Reescribe $x^2 y^4 - 64z^2$ como $(xy^2)^2 - (8z)^2$ . Se factoriza como $(xy^2 + 8z)(xy^2 - 8z)$ .

Práctica

Factoriza las siguientes diferencias de cuadrados.

$x^2 - 4$
$x^2 - 36$
$-x^2 + 100$
$x^2 -400$
$9x^2 - 4$
$25x^2 - 49$
$9a^2 - 25b^2$
$-36x^2 + 25$
$4x^2 - y^2$
$16x^2 - 81y^2$

Prev Next

Factorización Mediante Diferencia de Cuadrados

Mira este video

Orientación

Ejemplo A

Ejemplo B

Ejemplo C

Vocabulario

Práctica Guiada

Práctica

Licencia