Factorización de Trinomios Cuadrados Perfectos

En esta sección, aprenderás a factorizar trinomios cuadrados perfectos. También aprenderás a resolver ecuaciones polinomiales cuadráticas usando la factorización.

Digamos que tienes una expresión como $x^2 + 10x + 25$ en que el primer y el tercer término son cuadrados perfectos y el segundo término son dos veces el producto de la raíz cuadrada del primer y tercer término. ¿Cómo factorizarías esa expresión? Luego de completar esta sección serás capaz de factorizar trinomios cuadrados perfectos como este.

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CK-12 Foundation: 0911S Factoring Perfect Square Trinomials

*Este video solo está disponible en inglés.

Para más ejemplos de factorización de trinomios cuadrados perfectos, ve los videos respectivos en http://www.onlinemathlearning.com/perfect-square-trinomial.html .

*Este video solo está disponible en inglés.

Orientación

Utilizamos la fórmula del cuadrado del binomio para factorizar trinomios cuadrados perfectos. Un trinomio cuadrado perfecto tiene la forma $a^2 + 2ab + b^2$ or $a^2 - 2ab + b^2$ .

En el caso de estos trinomios especiales, el primer y el tercer término son cuadrados perfectos y el término del centro es dos veces el producto de la raíz cuadrada del primer y tercer término. En un caso como este, los polinomios se factorizan en cuadrados perfectos:

$a^2 + 2ab + b^2 & = (a + b)^2\\\a^2 - 2ab + b^2 & = (a - b)^2$

Una vez más, la clave es saber qué representan los términos $a$ y $b$ .

Ejemplo A

Factoriza los siguientes trinomios cuadrados perfectos:

a) $x^2 + 8x +16$

b) $x^2 - 4x + 4$

c) $x^2 + 14x +49$

Solución

a) El primer paso es verificar que la expresión es un trinomio cuadrado.

Primero, podemos ver que el primer y el último término son cuadrados perfectos. Podemos reescribir $x^2 + 8x + 16$ as $x^2 + 8x + 4^2$ .

Luego corroboramos que el término del centro es dos veces el producto de la raíz cuadrada del primer y el último término. También es correcto ya que podemos reescribir $x^2 + 8x + 16$ como $x^2 + 2 \cdot 4 \cdot x + 4^2$ .

Esto significa que podemos factorizar $x^2 + 8x + 16$ como $(x + 4)^2$ . Podemos corroborarlo al multiplicar $(x + 4)^2 = (x + 4)(x + 4)$ :

$& \quad \quad \quad x + 4\\\& \underline{\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x + 4}\\\& \quad \quad \ 4x + 16\\\& \underline{x^2 + 4x\;\;\;\;\;\;\;\;}\\\& x^2 + 8x + 16$

La respuesta es correcta.

Nota: Podríamos factorizar este trinomio sin reconocer su calidad de cuadrado perfecto. Sabemos que un trinomio se factoriza como el producto de dos binomios:

$(x\;\;\;\;)(x\;\;\;\;)$

Debemos encontrar dos números que multiplicados den 16 y que sumados den 8. Podemos escribir 16 como los siguientes productos:

$& 16 = 1 \cdot 16 && \text{and} && 1 + 16 = 17\\\& 16 = 2 \cdot 8 && \text{and} && 2 + 8 = 10\\\& 16 = 4 \cdot 4 && \text{and} && 4 + 4 = 8 \qquad These \ are \ the \ correct \ numbers$

Podemos factorizar $x^2 + 8x + 16$ como $(x + 4)(x + 4)$ , que es lo mismo que $(x + 4)^2$ .

Nuevamente podrías factorizar los trinomios cuadrados perfectos de la forma normal, pero tratarlos como cuadrados perfectos te permitirá agilizar la operación.

b) Reescribe $x^2 + 4x + 4$ como $x^2 + 2 \cdot (-2) \cdot x + (-2)^2$ .

Se trata de un trinomio cuadrad perfecto, así que lo factorizamos como $(x - 2)^2$ .

c) Reescribe $x^2 + 14x + 49$ como $x^2 + 2 \cdot 7 \cdot x + 7^2$ .

Se trata de un trinomio cuadrado perfecto, así que lo factorizamos como $(x + 7)^2$ .

Ejemplo B

Factoriza los siguientes trinomios cuadrados perfectos:

a) $4x^2 + 20x + 25$

b) $9x^2 - 24x + 16$

c) $x^2 + 2xy + y^2$

Solución

a) Reescribe $4x^2 + 20x + 25$ como $(2x)^2 + 2 \cdot 5 \cdot (2x) + 5^2$ .

Se trata de un trinomio cuadrado perfecto y podemos factorizarlo como $(2x + 5)^2$ .

b) Reescribe $9x^2 - 24x + 16$ como $(3x)^2 + 2 \cdot (-4) \cdot (3x) + (-4)^2$ .

Se trata de un trinomio cuadrado perfecto y podemos factorizarlo como $(3x - 4)^2$ .

Podemos corroborar si es correcto multiplicando $(3x - 4)^2 = (3x - 4)(3x - 4)$ :

$& \quad \quad \quad 3x - 4\\\& \underline{\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;3x - 4\;\;}\\\& \quad \ -12x + 16\\\& \underline{9x^2 - 12x\;\;\;\;\;\;\;\;}\\\& 9x^2 - 24x + 16$

La respuesta es correcta.

c) $x^2 + 2xy + y^2$

Se trata de un trinomio cuadrado perfecto y podemos factorizarlo como $(x + y)^2$ .

Resolución de ecuaciones polinomiales cuadráticas mediante la factorización

Con los métodos aprendidos en las últimas dos secciones podemos factorizar varios tipos de polinomios cuadráticos. Esto ayuda bastante si deseamos resolver dichas expresiones. Recuerda el proceso que aprendimos anteriormente:

Reescribe, si es necesario, la ecuación en forma estándar para que el lado derecho sea igual a cero.
Factoriza el polinomio completamente.
Usa la regla del producto cero para igualar cada factor a ceroo.
Resuelve cada ecuación a partir del paso 3.
Corrobora tus respuestas sustituyendo con tus resultados las partes de la ecuación original

Podemos utilizar este proceso para resolver polinomios cuadráticos utilizando los métodos de factorización que recién aprendimos.

Ejemplo C

Resuelve las siguientes ecuaciones polinomiales.

a) $x^2 + 12x + 36 = 0$

b) $x^2 - 24x = -144$

Solución

a) Reescribe:

La ecuación ya tiene la forma correcta.

Factoriza:

Reescribe $x^2 + 12x + 36 = 0$ como $x^2 + 2(6x) + 6^2 = 0$ . Se trata de un trinomio cuadrado perfecto, por lo que lo factorizamos $(x + 6)^2$ .

Iguala el factor a cero:

$x + 6 = 0$

Resuelve:

$\underline{\underline{x = -6}}$

Revisa: Sustituye con tus respuestas las partes de la ecuación original.

$& (-6)^2 + 12(-6) + 36 = && \text{Substitute in -6.}\\\& 36 + -72 + 36 = && \text{Simplify.}\\\& 72 + -72 = 0&& \text{Checks out.}$

b) Reescribe: $x^2 - 24x = -144$ se escribe como $x^2 - 24x + 144 = 0$

Factoriza:

$x^2 - 24x + 144 =x^2+2(-12)x+(-12)^2=(x-12)^2$

Iguala el factor a cero:

$x - 12 = 0$

Resuelve:

$\underline{\underline{x = 12}}$

Revisa: Sustituye con tus respuestas las partes de la ecuación original.

$& (12)^2 - 24(12) + 144 = && \text{Substitute in 12.}\\\& 144 - 288+144 = && \text{Simplify.}\\\& 288- 288 = 0 && \text{Checks out.}\\\$

Mira esto si necesitas ayuda con los ejemplos anteriores.

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Vocabulario

Un cuadrado perfecto trinomio tiene la forma

$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2 \qquad \text{or} \qquad a^2-2ab+b^2=(a-b)^2.$

Práctica guiada

Resuelve las siguientes ecuaciones polinomiales:

a) $x^2 + x + 0.25 = 0$

b) $x^2 - 81 = 0$

Solución

a) $x^2 + x + 0.25 = 0$

Reescribe: La ecuación ya tiene la forma correcta.

Factoriza: Reescribe $x^2 + x + 0.25 =0$ como $x^2 + 2 \cdot (0.5)x + ( 0.5)^2$ .

Identificamos el cuadrado perfecto. Se factoriza como $(x +0.5)^2 = 0$ o $(x +0.5)(x +0.5) = 0$

Iguala el factor a cero:

$x +0.25 = 0$

Resuelve:

$\underline{\underline{x = -0.5}}$

Revisa: Sustituye con tus respuestas las partes de la ecuación original.

$(-0.5)^2 + -0.5 + 0.25&= \quad \quad \text{Substitute in -0.5}\\\0.25+ -0.5 + 0.25&= \quad \quad \text{Simplify.}\\\0.5-0.5&=0 \quad \quad \text{Checks out.}$

b) $x^2 - 81 = 0$

Reescribe: No es necesario ya que la ecuación ya tiene la forma correcta

Factoriza: Reescribe $x^2 - 81$ como $x^2 - 9^2$ .

Identificamos la diferencia de cuadrados. Se factoriza como $(x - 9)(x + 9) = 0$ .

Iguala cada factor a cero:

$x - 9 = 0 && \text{or} && x + 9 = 0$

Resuelve:

$\underline{\underline{x = 9}} && \text{or} && \underline{\underline{x = - 9}}$

Revisa: Sustituye con tus respuestas las partes de la ecuación original.

$& x = 9 && 9^2 - 81 = 81-81 = 0 && \text{checks out}\\\& x = -9 && (-9)^2 - 81 = 81 - 81 = 0 && \text{checks out}$

c) $x^2 + 20x + 100 =0$

Reescribe: No es necesario ya que la ecuación ya tiene la forma correcta

Factoriza: Reescribe $x^2 + 20x + 100$ como $x^2 + 2 \cdot 10 \cdot x + 10^2$ .

Identificamos la diferencia de cuadrados. Se factoriza como $(x + 10)^2 =0$ o $(x + 10)(x + 10)=0$

Iguala cada factor a cero:

$x + 10 =0 && \text{or} && x + 10 = 0$

Resuelve:

$\underline{\underline{x = -10}} && \text{or} && \underline{\underline{x = -10}} \quad \quad \text{This is a double root.}$

Revisa: Sustituye con tus respuestas las partes de la ecuación original.

$x = 10 && (-10)^2 + 20(-10) + 100 = 100 -200 + 100 =0 && \text{checks out}$

Práctica

Factoriza los siguientes trinomios cuadrados perfectos.

$x^2 + 8x + 16$
$x^2 - 18x + 81$
$-x^2 + 24x -144$
$x^2 + 14x + 49$
$4x^2 - 4x + 1$
$25x^2 + 60x + 36$
$4x^2 - 12xy + 9y^2$
$x^4 + 22x^2 + 121$

Resuelve las siguientes ecuaciones cuadráticas utilizando la factorización.

$x^2 - 11x + 30 =0$
$x^2 + 4x =21$
$x^2 + 49 =14x$
$x^2 - 64 = 0$
$x^2 - 24x + 144 = 0$
$4x^2 - 25 = 0$
$x^2 + 26x = -169$
$-x^2 - 16x - 60 = 0$

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