Factorización Completa

En esta sección, aprenderás a factorizar polinomios completamente, es decir, hasta que ya no puedan ser factorizados.

Digamos que tienes un polinomio de varios factores como $3x^2 - 27$ ¿Cómo lo factorizarías completamente? Luego de completar esta sección serás capaz de factorizar los factores comunes monomios y binomios de los polinomios como este.

Mira esto

Haz clic en la imagen de arriba para ver más contenido (requiere conexión a internet)

CK-12 Foundation: 0912S Factoring Polynomials Completely

El grupo WTAMU Virtual Math Lab tiene una página muy detallada sobre la factorización de polinomios: http://www.wtamu.edu/academic/anns/mps/math/mathlab/col_algebra/col_alg_tut7_factor.htm . Esta página contiene muchos videos de problemas y su resolución.

*Sólo disponible en inglés

Orientación

Decimos que un polinomio está: completamente factorizado si ya no podemos factorizarlo más. A continuación verás algunos consejos que puedes seguir para asegurarte de lograr una factorización completa:

Factoriza todos los monomios comunes primero.
Identifica los productos notables como la diferencia de cuadrados o el cuadrado de un binomio. Factoriza según la formula correspondiente.
Si no hay productos notables, factoriza utilizando los métodos que aprendimos anteriormente.
Revisa cada factor para saber si se puede factorizar más.

Ejemplo A

Factoriza los siguientes polinomios completamente.

a) $6x^2-30x+36$

b) $2x^2-8$

c) $x^3+6x^2+9x$

Solución

a) Factoriza el monomio común. En este caso, 6 puede dividirse de cada término:

$6(x^2-5x+6)$

No hay productos notables. Factorizamos $x^2-5x+6$ como el producto de dos binomios: $(x \ )(x \ )$

Los dos números que multiplicados dan 6 y sumados dan -5 son -2 y -3, por lo que:

$6(x^2-5x+6)=6(x-2)(x-3)$

Si vemos los factores, podemos notar que ya no podemos factorizar más.

La respuesta es $6(x-2)(x-3)$ .

b) Factoriza los monomios comunes: $2x^2-8=2(x^2-4)$

Reconocemos que $x^2-4$ es una diferencia de cuadrados. Lo factorizamos como $(x+2)(x-2)$ .

Si vemos los factores, podemos notar que ya no podemos factorizar más.

La respuesta es $2(x+2)(x-2)$ .

c) Factoriza los monomios comunes: $x^3+6x^2+9x=x(x^2+6x+9)$

Reconocemos que $x^2+6x+9$ es una diferencia de cuadrados y lo factorizamos como $(x+3)^2$ .

Si vemos los factores, podemos notar que ya no podemos factorizar más.

La respuesta es $x(x+3)^2$ .

Ejemplo B

Factoriza los siguientes polinomios completamente:

a) $-2x^4+162$

b) $x^5-8x^3+16x$

Solución

a) Factoriza el monomio común. En este caso, factoriza -2 en vez de 2. (Siempre es más fácil factorizar el número negativo para que el término con mayor grado sea positivo.)

$-2x^4+162=-2(x^4-81)$

Reconocemos que la expresión del centro es una diferencia de cuadrados. Factorizamos y obtenemos:

$-2(x^2-9)(x^2+9)$

Si observamos cada factor, veremos que el primer paréntesis es una diferencia de cuadrados. Factorizamos y obtenemos:

$-2(x+3)(x-3)(x^2+9)$

Si vemos los factores, podemos notar que ya no podemos factorizar más.

La respuesta es $-2(x+3)(x-3)(x^2+9)$ .

b) Factoriza el monomio común: $x^5-8x^3+14x=x(x^4-8x^2+16)$

Reconocemos $x^4-8x^2+16$ como cuadrado perfecto y lo factorizamos como $x(x^2-4)^2$ .

Vemos cada término y reconocemos que el término en paréntesis es una diferencia de cuadrados.

Factorizamos y obtenemos $((x+2)(x-2))^2$ , que puede ser reescrito como $(x+2)^2(x-2)^2$ .

Si vemos los factores, podemos notar que ya no podemos factorizar más.

La respuesta final es $x(x+2)^2(x-2)^2$ .

Factorizar un binomio común

El primer paso en el proceso de factorización es factorizar los monomios comunes del polinomio; sin embargo, los polinomios a veces tienen términos comunes que son binomios. Por ejemplo, considera la siguiente expresión:

$x(3x+2)-5(3x+2)$

Dado que el término $(3x+2)$ aparece en ambos términos del polinomio, podemos factorizarlo. Escribimos el término frente a un grupo de paréntesis que contiene los términos restantes:

$(3x+2)(x-5)$

La expresión está totalmente factorizada.

Veamos más ejemplos.

Ejemplo C

Factoriza los binomios comunes.

a) $3x(x-1)+4(x-1)$

b) $x(4x+5)+(4x+5)$

Solución

a) $3x(x-1)+4(x-1)$ tiene el binomio común $(x-1)$ .

Cuando factorizamos el binomio común, obtenemos $(x-1)(3x+4)$ .

b) $x(4x+5)+(4x+5)$ tiene el binomio común $(4x+5)$ .

Cuando factorizamos el binomio común, obtenemos $(4x+5)(x+1)$ .

Mira esto si necesitas ayuda con los ejemplos anteriores.

Haz clic en la imagen de arriba para ver más contenido (requiere conexión a internet)

CK-12 Foundation: Factoring Polynomials Completely

*Este video solo está disponible en inglés

Vocabulario

Decimos que un polinomio está factorizado completamente cuando factorizamos todo lo posible y ya no podemos continuar haciéndolo.

Práctica guiada

Factoriza completamente: $24x^3-28x^2+8x$ .

Solución:

En primer lugar, nota que cada término tiene $4x$ como factor. Comienza factorizando $4x$ :

$24x^3-28x^2+8x=4x(6x^2-7x+2)$

A continuación, factoriza el trinomio en paréntesis. Ya que $a\neq 1$ encuentra $a\cdot c$ : $6\cdot 2=12$ . Encuentra los factores de 12 que sumados dan -7. Ya que 12 es positivo y -7 es negativo, los dos factores deben ser negativos::

$12&=-1\cdot -12 && and && -1+-12=-13\\\12&=-2\cdot -6 && and && -2+-6=-8\\\12&=-3\cdot -4 && and && -3+-4=-7$

Reescribe el trinomio como $-7x=-3x-4x$ , y factoriza por agrupación:

$6x^2-7x+2 &= 6x^2-3x-4x+2\\\ &=3x(2x-1)-2(2x-1)\\\ &=(3x-2)(2x-1)$

La respuesta factorizada final es:

$4x(3x-2)(2x-1)$

Práctica

Factoriza completamente.

$2x^2+16x+30$
$5x^2-70x+245$
$-x^3+17x^2-70x$
$2x^4-512$
$25x^4-20x^3+4x^2$
$12x^3+12x^2+3x$
$12c^2-75$
$6x^2-600$
$-5t^2-20t-20$
$6x^2+18x-24$
$-n^2+10n-21$
$2a^2-14a-16$

Prev Next

Factorización Completa

Mira esto

Orientación

Ejemplo A

Ejemplo B

Ejemplo C

Vocabulario

Práctica guiada

Práctica

Licencia