Factorización por Agrupación

En esta sección aprenderás a agrupar los términos de un polinomio para que la factorización sea más fácil.

Digamos que tienes una expresión polinomial como $3x^2 - 6x + 2x - 4$ en la que algunos términos, aunque no todos, comparten un factor común. ¿Cómo factorizarías esta expresión? Luego de completar esta sección, serás capaz de factorizar polinomios como este usando la agrupación.

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CK-12 Foundation: 0913S Factoring By Grouping

*Este video solo está disponible en inglés

Orientación

A veces, podemos factorizar un polinomio de cuatro o más términos factorizando los monomios comunes de los grupos de términos. Este método se denomina factorización por agrupación.

El siguiente ejemplo muestra cómo funciona dicho método.

Ejemplo A

Factoriza $2x+2y+ax+ay$ .

Solución

No hay factor común para todos los términos. Sin embargo, los primeros dos términos tienen el factor común 2 y los dos últimos términos el factor $a$ . Factoriza el 2 de los primeros dos términos y $a$ de los dos últimos términos:

$2x + 2y + ax + ay = 2(x + y) + a(x + y)$

Ahora vemos que el binomio $(x + y)$ es común en ambos términos. Factorizamos el binomio común y obtenemos:

$(x + y)(2 + a)$

Ejemplo B

Factoriza $3x^2+6x+4x+8$ .

Solución

Factorizamos 3x de los primeros dos términos y 4 de los últimos dos términos:

$3x(x+2)+4(x+2)$

Ahora factorizamos $(x+2)$ de ambos términos: $(x+2)(3x+4)$ .

El polinomio está factorizado completamente.

Factorización de binomios cuadráticos donde a ≠ 1

La factorización por agrupación es un método bastante útil para factorizar trinomios cuadráticos de la forma $ax^2+bx+c$ , donde $a \neq 1$ .

Una expresión cuadrática como ésta no se factoriza como $(x \pm m)(x \pm n)$ , por lo que no es tan simple como encontrar dos números que multiplicados den $c$ y que sumados den $b$ . En lugar de eso, también debemos tomar en cuenta el coeficiente del primer término.

Para factorizar un polinomio cuadrático en donde $a \neq 1$ , seguiremos los siguientes pasos:

Encontramos el producto de $ac$ .
Buscamos dos números que multiplicados den $ac$ y sumados nos den $b$ .
Reescribimos el término del medio usando los números que encontramos.
Factorizamos la expresión por agrupación.

Apliquemos este método a las siguientes expresiones.

Ejemplo C

Factoriza por agrupación los siguientes trinomios cuadráticos.

a) $3x^2+8x+4$

b) $6x^2-11x+4$

Solución:

Sigamos los pasos detallados anteriormente:

a) $3x^2+8x+4$

Paso 1: $ac = 3 \cdot 4 = 12$

Paso 2: El número 12 puede ser escrito como el producto de dos números en cualquiera de estas formas:

$12 &= 1 \cdot 12 && \text{and} && 1 + 12 = 13\\\12 &= 2 \cdot 6 && \text{and} && 2 + 6 = 8 \qquad This \ is \ the \ correct \ choice.\\\12 &= 3 \cdot 4 && \text{and} && 3 + 4 = 7$

Paso 3: Reescribe el término del centro: $8x = 2x + 6x$ , el problema queda como:

$3x^2+8x+4=3x^2+2x+6x+4$

Paso 4: Factoriza una $x$ de los primeros dos términos y un 2 de los últimos dos términos:

$x(3x+2)+2(3x+2)$

Ahora factoriza el binomio común $(3x + 2)$ :

$(3x+2)(x+2) \qquad This \ is \ the \ answer.$

Para corroborar si es correcta, multiplicamos $(3x+2)(x+2)$ :

$& \qquad \ \ 3x+2\\\& \underline{\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x+2\;}\\\& \quad \quad \ \ 6x+4\\\& \underline{3x^2+2x \;\;\;\;\;}\\\& 3x^2+8x+4$

La respuesta es correcta.

b) $6x^2-11x+4$

Paso 1: $ac = 6 \cdot 4 = 24$

Paso 2: El número 24 puede ser escrito como el producto de los siguientes números en cualquiera de estas formas:

$24 &= 1 \cdot 24 && \text{and} && 1 + 24 = 25\\\24 &= -1 \cdot (-24) && \text{and} && -1 + (-24) = -25\\\24 &= 2 \cdot 12 && \text{and} && 2 + 12 = 14\\\24 &= -2 \cdot (-12) && \text{and} && -2 + (-12) = -14\\\24 &= 3 \cdot 8 && \text{and} && 3 + 8 = 11\\\24 &= -3 \cdot (-8) && \text{and} && -3 + (-8) = -11 \qquad (Correct \ choice) \\\24 &= 4 \cdot 6 && \text{and} && 4 + 6 = 10\\\24 &= -4 \cdot (-6) && \text{and} && -4 + (-6) = -10$

Paso 3: Reescribe el término del centro: $-11x = -3x - 8x$ , el problema queda como:

$6x^2-11x+4=6x^2-3x-8x+4$

Paso 4: Factoriza por agrupación: factoriza un $3x$ de los primeros dos términos y un -4 de los últimos dos términos:

$3x(2x-1)-4(2x-1)$

Ahora factoriza el binomio común $(2x - 1)$ :

$(2x-1)(3x-4) \qquad This \ is \ the \ answer.$

Mira esto si necesitas ayuda con los ejemplos anteriores.

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CK-12 Foundation: Factoring By Grouping

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Vocabulario

Es posible factorizar un polinomio de cuatro o más términos factorizando los monomios comunes de los grupos de términos. Este método se denomina factorización por agrupación .

Práctica guiada

Factoriza $5x^2-6x+1$ por agrupación.

Solución:

Sigamos los pasos detallados anteriormente:

$5x^2-6x+1$

Paso 1: $ac = 5 \cdot 1 = 5$

Paso 2: El número 5 puede ser escrito como el producto de dos números en cualquiera de estas formas:

$5 &= 1 \cdot 5 && \text{and} && 1 + 5 = 6\\\5 &= -1 \cdot (-5) && \text{and} && -1 + (-5) = -6 \qquad (Correct \ choice)$

Paso 3: Reescribe el término del centro: $-6x = -x - 5x$ , el problema queda como:

$5x^2-6x+1=5x^2-x-5x+1$

Paso 4: Factoriza por agrupación: factoriza una $x$ de los primeros dos términos y una $a - 1$ de los últimos dos términos:

$x(5x-1)-1(5x-1)$

Ahora factoriza el binomio común $(5x - 1)$ :

$(5x-1)(x-1) \qquad This \ is \ the \ answer.$

Práctica

Factoriza por agrupación.

$6x^2-9x+10x-15$
$5x^2-35x+x-7$
$9x^2-9x-x+1$
$4x^2+32x-5x-40$
$2a^2-6ab+3ab-9b^2$
$5x^2+15x-2xy-6y$

Factoriza por agrupación los siguientes trinomios cuadráticos.

$4x^2+25x-21$
$6x^2+7x+1$
$4x^2+8x-5$
$3x^2+16x+21$
$6x^2-2x-4$
$8x^2-14x-15$

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