Resolución de Problemas Mediante la Factorización

En esta sección, aprenderás a aplicar las técnicas de factorización para resolver problemas cotidianos que involucren el uso de ecuaciones polinomiales.

Digamos que tienes un triángulo en el que uno de sus lados es una unidad más corta que el otro y la hipotenusa fuera de 5 unidades. ¿Cómo encontrarías la longitud de los dos extremos? Después de terminar esta sección, serás capaz de aplicar tus conocimientos a problemas cotidianos como éste que involucren la factorización de ecuaciones polinomiales.

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CK-12 Foundation: 0914S Solving Real-World Problems By Factoring

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Orientación

Ahora que conoces la mayoría de las estrategias de factorización de los polinomios cuadráticos, puedes usar estos métodos para resolver problemas cotidianos.

Ejemplo A

Un lado de un triángulo rectángulo es 3 pies más largo que el otro lado. La hipotenusa es de 15 pies. Encuentra las dimensiones del triángulo.

Solución

Considera $x =$ como el largo del lado corto del triángulo; el otro lado medirá $x + 3$ .

Usa el teorema de Pitágoras: $a^2+b^2=c^2$ , donde $a$ y $b$ son las longitudes de los catetos del triángulo y $c$ es el largo de la hipotenusa. Cuando sustituimos con los valores del diagrama tenemos $x^2+(x+3)^2=15^2$ .

Para resolver esta ecuación, necesitamos escribir el polinomio en forma estándar. Debemos primero distribuir, agrupar los términos semejantes y reescribir en la forma “polinomio = 0.”

$x^2+x^2+6x+9& =225\\\2x^2+6x+9& =225\\\2x^2+6x-216 & =0$

Factoriza el monomio común : $2(x^2+3x-108)=0$

Para factorizar el trinomio dentro del paréntesis, necesitamos dos números que multiplicados den -108 y sumados den 3. Tomaría mucho tiempo revisar todas las opciones, así que comenzaremos probando los factores más grandes:

$-108 &= -12 \cdot 9 && \text{and} && -12 + 9 = -3\\\-108 &= 12 \cdot (-9) && \text{and} && 12 + (-9) = 3 \qquad (Correct \ choice)$

Factorizamos la expresión como $2(x-9)(x+12)=0$ .

Igualamos cada término a cero y resolvemos:

$& x-9=0 &&&& x+12=0\\\& && \text{or}\\\& \underline{\underline{x=9}} &&&& \underline{\underline{x=-12}}$

No tiene sentido obtener un negativo como respuesta al largo de un cateto del triángulo, por lo que la respuesta debe ser $x = 9$ . Esto significa que el cateto corto es de 9 pies y el cateto largo de 12 pies.

Revisa: $9^2+12^2=81+144=225=15^2$ , por lo que la respuesta es correcta.

Ejemplo B

El producto de dos números positivos es 60. Encuentra los dos números, siendo uno de ellos mayor por 4.

Solución

Considera $x =$ uno de los números; entonces $x + 4$ es el otro número.

El producto de estos dos números es 60, por lo que podemos escribir la ecuación $x(x+4)=60$ .

Para resolver la ecuación debemos escribir el polinomio en su forma estándar. Distribuye, agrupa los términos semejantes y reescribe:

$x^2+4x &= 60\\\x^2+4x-60 &= 0$

Factoriza encontrando dos números que multiplicados den -60 y que sumados den 4. Lista algunos números que multiplicados den -60:

$-60 &= -4 \cdot 15 && \text{and} && -4 + 15 = 11\\\-60 &= 4 \cdot (-15) && \text{and} && 4 + (-15) = -11\\\-60 &= -5 \cdot 12 && \text{and} && -5 + 12 = 7\\\-60 &= 5 \cdot (-12) && \text{and} && 5 + (-12) = -7\\\-60 &= -6 \cdot 10 && \text{and} && -6 + 10 = 4 \qquad (Correct \ choice)\\\-60 & = 6 \cdot (-10) && \text{and} && 6 + (-10) = -4$

La expresión se factoriza como $(x+10)(x-6)=0$ .

Iguala cada término a cero y resuelve and solve:

$& x+10=0 &&&& x-6=0\\\& && \text{or}\\\& \underline{\underline{x=-10}} &&&& \underline{\underline{x=6}}$

Ya que estamos buscando números positivos, la respuesta debe ser $x = 6$ . Uno de los números es 6 y el otro es 10.

Revisa: $6 \cdot 10 = 60$ , la respuesta es correcta.

Ejemplo C

Un rectángulo tiene lados de una longitud de $x + 5$ y $x - 3$ . ¿Qué número es $x$ si el área del rectángulo es 48?

Solución

Realiza un bosquejo del problema:

Utilizando la fórmula área = longitud $\times$ ancho, tenemos $(x+5)(x-3)=48$ .

Para poder resolver la ecuación, debemos escribir el polinomio en forma estándar. Distribuye, agrupa los términos semejantes y reescribe:

$x^2+2x-15& =48\\\x^2+2x-63& =0$

Factoriza encontrando dos números que multiplicados den -63 y que sumados den 2. Considera algunos números que multiplicados den -63:

$-63 &= -7 \cdot 9 && \text{and} && -7 + 9 = 2 \qquad (Correct \ choice)\\\-63 &= 7 \cdot (-9) && \text{and} && 7 + (-9) = -2$

La expresión se factoriza como $(x+9)(x-7)=0$ .

Iguala cada término a cero y resuelve:

$& x+9=0 &&&& x-7=0\\\& && \text{or}\\\& \underline{\underline{x=-9}} &&&& \underline{\underline{x=7}}$

Ya que estamos buscando números positivos, la respuesta es $x = 7$ . Por lo tanto el ancho es $x - 3 = 4$ y el largo $x + 5 = 12$ .

Revisa: $4 \cdot 12 = 48$ , la respuesta es correcta.

Mira esto si necesitas ayuda con los ejemplos anteriores.

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Vocabulario

Los polinomios pueden ser escritos en forma expandida o en forma factorizada . Escribir un polinomio en forma expandida significa que tienes las sumas y las diferencias de los diferentes términos:

Escribir un polinomio en su forma factorizada significa escribirlo como producto de sus factores.

Propiedad de producto cero: La única forma de que el producto sea cero es que uno o más términos sean iguales a cero: $a\cdot b=0 \Rightarrow a=0 \text{ or } b=0.$

Se dice que un polinomio ha sido factorizado completamente cuando factorizamos todo lo posible y ya no podemos seguir factorizando.

Práctica guiada

Considera el rectángulo en el Ejemplo C, con lados de una longitud de $x + 5$ y $x - 3$ . ¿Qué número sería $x$ si el área del rectángulo es ahora 20?

Solución

Realiza un bosquejo del problema:

Utilizando la fórmula área = longitud $\times$ ancho, tenemos $(x+5)(x-3)=20$ .

Para poder resolver la ecuación debemos escribir el polinomio en forma estándar. Distribuye, agrupa los términos semejantes y reescribe:

$x^2+2x-15& =20\\\x^2+2x-35& =0$

Factoriza encontrando dos números que multiplicados den -35 y que sumados den 2. Reúne algunos números que multiplicados den -35:

$-35 &= -7 \cdot 5 && \text{and} && -7 + 5 = -2 \\\-35 &= 7 \cdot (-5) && \text{and} && 7 + (-5) = 2$

La expresión se factoriza como $(x+7)(x-5)=0$ .

Iguala cada término a cero y resuelve y resuelve:

$& x+7=0 &&&& x-5=0\\\& && \text{or}\\\& \underline{\underline{x=-7}} &&&& \underline{\underline{x=5}}$

Ya que estamos buscando números positivos, la respuesta es $x = 5$ . Por lo tanto el ancho es $x - 3 = 2$ y el largo $x + 5 = 10$ .

Revisa: $2 \cdot 10 = 20$ , la respuesta es correcta.

Práctica

Resuelve los siguientes problemas de aplicación:

Un cateto de un triángulo rectángulo es 1 pie más largo que el otro cateto. La hipotenusa es 5. Encuentra las dimensiones del triángulo rectángulo.
Un cateto de un triángulo rectángulo es 7 pies más largo que el otro cateto. La hipotenusa es 13. Encuentra las dimensiones del triángulo rectángulo.
Un rectángulo tiene lados de $x + 2$ y $x - 1$ . ¿Qué valor de $x$ da un área de 108?
Un rectángulo tiene lados de $x - 1$ y $x + 1$ . ¿Qué valor de $x$ nos da un área de 120?
El producto de dos números positivos es 120. Encuentra los dos números, considerando que uno es mayor por.
Un rectángulo tiene una diagonal de 50 pies. ¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo si es 34 pies más largo que ancho?
Dos números positivos suman 8, y su producto es igual al número mayor más 10. ¿Cuáles son los números?
Dos números positivos suman 8, y su producto es igual al número menor más 10. ¿Cuáles son los números?
La empresa Framing Warehouse ofrece un servicio de enmarcado. El costo de enmarcado se basa en dos factores: el vidrio cuesta $1 por pie cuadrado y el marco cuesta $2 por pie. Si el marco tiene que ser cuadrado, ¿cuál es el tamaño de la foto que puedes enmarcar por $20?

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