Funciones Cuadráticas y sus gráficos

Digamos que tienes una función cuadrática como ¿Cómo luciría su gráfico? ¿El grafico de sería más ancho o más angosto que la ecuación? Al finalizar esta sección, serás capaz de graficar y comparar gráficos de las funciones cuadráticas como la anterior.

Mira esto

Haz clic en la imagen de arriba para ver más contenido (requiere conexión a internet)

CK-12 Foundation: 1001S Graphs of Quadratic Functions

Intenta esto

Mientras tanto, si quieres explorar mucho más lo que sucede cuyo cambias los coeficientes de una función cuadrática, la página http://www.analyzemath.com/quadraticg/quadraticg.htm tiene una aplicación que puedes utilizar. Haz clic en el botón "Click here to start" en la sección A, y luego utiliza el deslizador para cambiar los valores de y .

Orientación

Los gráficos de una función cuadrática son líneas curvas llamadas parábolas . No tienes que buscar mucho para encontrar formas parabólicas a tu alrededor. Aquí hay algunos ejemplos:

• La ruta que una pelota o un cohete hace a través del aire.
• El agua que fluye de una fuente de agua.
• La forma de una antena parabólica.
• La forma de los espejos en los focos delanteros y traseros de un auto.
• Los cables de un puente en suspensión.

Ejemplo A

Veamos cómo luce una parábola al graficar la función cuadrática más simple , .

Graficaremos esta función con la realización de una tabla de valores. Ya que el gráfico será curvo, necesitamos graficar un número imparcial de puntos para hacerlo exacto.

–2
–1
0
1
2
3

Aquí están los puntos dibujados en un gráfico coordinado:

Para dibujar la parábola, dibuja una curva suave a través de todos los puntos. (No conectes los puntos con líneas rectas)

Grafiquemos otros ejemplos.

Ejemplo B

Dibuja en un gráfico las siguientes parábolas

a)

b)

c)

Solución

a)

Haz una tabla de valores

–2
–1
0
1
2
3

Nótese que los últimos dos puntos tienen valores muy gryes. Ya que no queremos que nuestra escala sea muy grye, simplemente nos saltaremos la gráfica de esos dos puntos, pero trazaremos los puntos que quedan y los uniremos con una curva suave.

b)

Haz una tabla de valores

–2
–1
0
1
2
3

Traza los puntos y conéctalos con una suave curva.

Fíjate que esta vez tenemos una parábola "invertida". Eso es porque nuestra ecuación tiene un signo negativo antes del término El signo del coeficiente del término determina si la parábola va hacia arriba o hacia abajo: la parábola ira hacia arriba si es positiva y hacia abajo si es negativa

c)

Haz una tabla de valores:

–2
–1
0
1
2
3

No graficaremos los dos primeros puntos de la tabla ya que los valores son muy gryes. Traza los puntos restantes y conéctalos con una curva suave.

Espera, ¡esto no luce como una parábola! ¿Qué está sucediendo?

Quizás si graficamos más puntos la curva será más familiar. Para los valores negativos de pareciera que los valores de se hacen más y más gryes, así que escojamos más valores positivos de superiores a .

0
1
2
3
4
5
6
7
8

Traza los puntos otra vez y conéctalos con una curva suave.

Ahora si podemos ver una forma parabólica familiar. Y ahora podemos ver el inconveniente que provoca graficar funciones cuadráticas con la realización de una tabla de valores: si no elegimos el valor correcto, no podremos ver las partes importantes del gráfico.

En las siguientes lecciones, descubriremos cómo graficar ecuaciones cuadráticas de manera más eficiente, pero primero necesitamos aprender más sobre las propiedades de las parábolas.

Comparar gráficos de las Funciones Cuadráticas

La forma general (o forma estándar ) de una función cuadrática es

Aquí y son los coeficientes. Recuerda que un coeficiente sólo es un número (un término constante) que puede aparecer antes de la variable o solo.

A pesar de que los gráficos de las ecuaciones cuadráticas en su forma estándar siempre son una parábola, la forma de la parábola depende de los valores de los coeficientes y . Exploremos algunas formas en que los coeficientes pueden alterar a los gráficos.

Dilatación

Cambiar el valor de hace que los gráficos se "dilaten" o se "compriman". Veamos cómo se comparan los gráficos para distintos valores positivos de .

Ejemplo C

El trazado de la izquierda muestra el gráfico de y . El trazado de la derecha muestra el gráfico de y .

Fíjate que entre más grye sea el valor de más comprimida será la gráfica. Por ejemplo, en el primer trazado, el gráfico de está más comprimido que el gráfico de . Además, entre más pequeño es , más dilatado será el grafico. Por ejemplo, en el segundo trazado, el gráfico de está más dilatado que el gráfico de . Esto puede parecer contradictorio, pero si lo piensas, debería tener sentido. Miremos la tabla de valores de estos gráficos y veamos si podemos explicar por qué sucede esto.

–2
–1
0
1
2
3

En tabla podemos ver que los valores de son más gryes que los valores de . Esto es porque cada valor de se multiplica por 3. Como resultado, la parábola estará más comprimida porque crece tres veces más rápido que . Por otro lado, puedes ver que los valores de son más pequeños que los valores de , porque cada valor de se divide por 3. Como resultado, la parábola estará más dilatada porque crece a un tercio de la tasa de .

Orientation

Ya que los valores de son más y más pequeños, entonces, la parábola se hace más ancha y plana. ¿Qué pasa cuyo llega a cero? ¿Qué pasa cuyo es negativa?

Bueno, cuyo , el término deja la ecuación por completo, por lo que la ecuación se vuelve lineal y el gráfico solo será una línea recta. Por ejemplo, recién vimos que sucede a cuyo cambiamos el valor de ; si tratamos de graficar , solo estaríamos graficyo , lo que sería una línea horizontal.

Entonces, mientras se hace más y más pequeña, el gráfico de se aplana hasta llegar a una línea horizontal. Entonces, cuyo se vuelve negativa, el gráfico de comienza a curvarse otra vez y se curva hacia abajo y no hacia arriba. Esto calza con lo que ya has aprendido: el gráfico va hacia arriba si es positivo y va hacia abajo si es negativo.

Ejemplo D

¿Cómo lucen los gráficos de y de ?

Solución:

Puedes ver que la parábola tiene la misma forma en ambos gráficos, pero el gráfico está yendo hacia arriba y el gráfico de está al revés.

Desplazamiento Vertical

Para cambiar la constante ,solo desplaza la parábola hacia arriba o hacia abajo.

Ejemplo E

¿Cómo lucen los gráficos de y de ?

Solución:

Puedes ver que cuyo es positivo, el gráfico se desplaza hacia arriba, y cuyo es negativo el gráfico se desplaza hacia abajo; en cualquier caso, se desplaza por las unidades de En una de las últimas secciones, aprenderemos sobre el desplazamiento horizontal (eso significa mover de derecha a izquierda). Antes de poder hacerlo, necesitamos aprender como reescribir ecuaciones cuadráticas en diferentes formas, lo que será nuestro objetivo para la siguiente sección. .

Mira este video si necesitas ayuda con los ejemplos anteriores.

Haz clic en la imagen de arriba para ver más contenido. (requiere conexión a internet)

CK-12 Foundation: 1001 Graphs of Quadratic Functions

Vocabulario

• La forma general (o forma estándar ) de una función cuadrática es:

Aquí y son los coeficientes.

• Si cambiamos el valor de hace que el gráfico se "dilate" o se "comprima. A esto se llama dilatación.

• Al movimiento vertical de la línea de simetría de una parábola se le llama desplazamiento vertical.

Práctica Guiada

Grafica las funciones cuadráticas, .

Solución:

Graficaremos esta función con una tabla de valores. Ya que el gráfico será curvo, necesitamos trazar un número imparcial de puntos para hacerlo exacto.

–2
–1
0
1
2
3

Traza los puntos y conéctalos con una curva suave:

Práctica

Para los ejercicios 1 -5 ¿el gráfico de la parábola queda hacia arriba o hacia abajo?

Para los ejercicios 6- 10, ¿qué parábola es más ancha?

6. o
7. o
8. o
9. o
10. o