Gráfica de Funciones Cuadráticas en Forma Intercepto

Gráfica de Funciones Cuadráticas en Forma Intercepto $x$ -y los vértices de las funciones cuadráticas.

Digamos que tienes una función cuadrática como $y = x^2 + 3x + 2$ ¿Cómo podrías encontrar sus interceptos en x -y su vértice para ayudarte con el gráfico? Al finalizar esta sección, serás capaz de utilizar la forma intercepto de las funciones cuadráticas para resolver problemas como el anterior.

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CK-12 Foundation: 1002S Graph Quadratic Functions in Intercept Form

*Este video solo está disponible en inglés.

Orientación

Ahora aprenderemos cómo graficar una parábola sin tener que utilizar una tabla con gryes números de puntos.

Miremos el gráfico de $y=x^2 - 6x + 8$ .

Hay muchas cosas que podemos notar:

La parábola cruza el eje $x-$ en dos puntos: $x = 2$ y $x = 4$ . A estos puntos se les llama interceptos en $x -$ de la parábola.
El punto más bajo de la parábola ocurre en (3, -1).
- A este punto se le llama el vértice de la parábola.
- El vértice es el punto más bajo en cualquier parábola que va hacia arriba, o el punto más alto de cualquier parábola que apunta hacia abajo.
- El vértice es exactamente el medio entre dos interceptos en $x-$ . Este siempre será el caso y puedes encontrar el vértice utilizando esta propiedad.
La parábola es simétrica. Si dibujas una línea vertical a través del vértice, verás que las dos mitades de la parábola son un reflejo la una a la otra. A esta línea vertical se le conoce como línea de simetría.

Decimos que la forma general de una función cuadrática es $y = ax^2 + bx + c$ . Cuyo podemos factorizar una expresión cuadrática, podemos reescribir esta función en su forma intercepto:

$y = a(x - m)(x - n)$

Esta forma es muy útil porque nos facilita encontrar los interceptos en $x -$ y los vértices de la parábola. Los interceptos en $x-$ son los valores de $x$ cuyo el gráfico cruza el eje $x-$ en otras palabras, son los valores de $x$ cuándo $y = 0$ . Para encontrar los interceptos en $x-$ de las funciones cuadráticas, establecemos $y = 0$ y resolvemos:

$0 = a(x - m)(x - n)$

Como la ecuación ya está factorizada, utilizamos la propiedad del producto cero para establecer cada factor igual a cero y resolver la ecuación lineal individual.

$x - m = 0 & & & & x - n & = 0\\\& & \text{or} \\\x = m & & & & x & = n$

Entonces el intercepto en $x-$ está en los puntos $(m, 0)$ y $(n, 0)$ .

Una vez que encontramos el intercepto en $x-$ es simple encontrar el vértice. El valor $x-$ del vértice está en el medio de dos interceptos en $x-$ por lo que podemos encontrarla al tomar el promedio de los dos valores: $\frac{m + n}{2}$ . Luego, podemos encontrar el valor $y-$ al ingresar el valor de $x$ en la ecuación de la función.

Ejemplo A

Encuentra el intercepto en $x-$ y el vértice de las siguientes funciones cuadráticas:

a) $y = x^2 - 8x + 15$

b) $y = 3x^2 + 6x - 24$

Solución

a) $y = x^2 - 8x + 15$

Escribe una función cuadrática en forma intercepto al factorizar el lado derecho de la ecuación. Recuerda que, para factorizar, necesitamos dos números cuyo producto sea 15 y cuya suma sea -8. Estos números son -5 y -3.

La función en forma intercepto es $y = (x - 5)(x - 3)$

Encontramos el intercepto en $x-$ al establecer $y = 0$ .

Tenemos:

$&0 = (x - 5)(x - 3) \\\& x - 5 = 0 & & && x - 3 = 0\\\&&& \text{or}\\\& x = 5 & & && x = 3$

Entonces los interceptos en $x-$ son (5, 0) y (3, 0).

El vértice está en el medio de dos interceptos en $x-$ Encontramos el valor de $x-$ al tomar el promedio de los dos interceptos en $x-$ $x = \frac{5 + 3}{2} = 4$

Encontramos el valor de $y-$ al ingresarlos con el valor $x-$ que acabamos de encontrar en la ecuación original.

$y = x^2 - 8x + 15 \Rightarrow y = 4^2 - 8(4) + 15 = 16 - 32 + 15 = -1$

Entonces el vértice es (4, -1).

b) $y = 3x^2 + 6x - 24$

Reescribe la función en forma intercepto.

Primero, factoriza el término común de 3: $y = 3(x^2 + 2x - 8)$

Luego, factoriza todo: $y = 3(x + 4)(x - 2)$

Define $y = 0$ y resuelve:

$& && x + 4 = 0 && x - 2 = 0 \\\& 0 = 3( x + 4)(x - 2) \Rightarrow && \qquad \qquad \qquad \quad \text{or} \\\& && x = -4 && x = 2$

Los interceptos en $x-$ son (-4, 0) y (2, 0).

Para el vértice,

$x = \frac{-4 + 2}{2} = -1$ Y $y = 3(-1)^2 + 6( -1) - 24 = 3 - 6 -24 = -27$

El vértice es: (-1, -27)

Conocer el vértice y los interceptos en $x-$ es un primer paso bastante útil para poder graficar funciones cuadráticas de manera más fácil. Conocer el vértice nos dice donde se encuentra la mitad de la parábola. Cuyo hacemos una tabla de valores, podemos asegurarnos de escoger el vértice como un punto en la tabla. Luego, elegimos algunos valores de $x$ . más pequeños o más gryes. De esta forma, realizaremos un gráfico exacto de la función cuadrática sin tener tantos puntos en nuestra tabla.

Ejemplo B

Encuentra el intercepto en $x-$ y el vértice. Utiliza estos puntos para crear una tabla de valores y graficar cada función.

a) $y = x^2 - 4$

b) $y = -x^2 + 14x - 48$

Solución

a) $y = x^2 - 4$

Encontremos el intercepto en $x-$ y el vértice:

Factoriza el lado derecho de la función para poner la ecuación en forma intercepto:

$y = (x - 2)(x + 2)$

Define $y = 0$ y resuelve:

$&0 = (x - 2)(x + 2)\\\& x - 2 = 0 & & & & x + 2 = 0\\\&& & \text{or}\\\& x = 2 & & & & x = -2$

Los interceptos $x-$ son (2, 0) y (-2, 0).

Encuentra el vértice:

$x = \frac{2 -2}{2} = 0 \quad y = (0)^2 - 4 = -4$

El vértice es (0, -4).

Haz una tabla de valores utilizando el vértice como el punto medio. Elige algunos valores de $x$ menores o mayores que $x = 0$ . Incluye los interceptos en $x-$ en la tabla.

$x$	$y = x^2 - 4$
$-3$	$y = (-3)^2 - 4 = 5$
–2	$y = (-2)^2 - 4 = 0$	Intercepto en $x-$
–1	$y = (-1)^2 - 4 = -3$
0	$y = (0)^2 - 4 = -4$	vértice
1	$y = (1)^2 - 4 = -3$
2	$y = (2)^2 - 4 = 0$	Intercepto en $x-$
3	$y = (3)^2 - 4 = 5$

Luego traza el gráfico:

b) $y = -x^2 + 14x - 48$

Encontremos los interceptos en $x-$ y el vértice:

Factoriza el lado derecho de la función para poner la ecuación en forma intercepto.

$y = -(x^2 - 14x + 48) = -(x - 6)(x - 8)$

Define $y = 0$ y resuelve:

$&0 = -(x - 6)(x - 8)\\\& x - 6 = 0 & & & & x - 8 = 0\\\&& & \text{or} \\\& x = 6 & & & & x = 8$

Los interceptos en $x-$ son (6, 0) y (8, 0).

Encuentra el vértice

$x = \frac{6 + 8}{2} = 7 \quad y = -(7)^2 + 14(7) - 48 = 1$

El vértice es (7, 1).

Haz una tabla de valores utilizando el vértice como punto medio. Elige algunos valores de $x$ menores o mayores que $x = 7$ . Incluye los interceptos en $x-$ en la tabla.

$x$	$y = -x^2 + 14x - 48$
4	$y = -(4)^2 + 14(4) - 48 = -8$
5	$y = -(5)^2 + 14(5) - 48 = -3$
6	$y = -(6)^2 + 14(6) - 48 = 0$
7	$y = -(7)^2 + 14(7) - 48 = 1$
8	$y = -(8)^2 + 14(8) - 48 = 0$
9	$y = -(9)^2 + 14(9) - 48 = -3$
10	$y = -(10)^2 + 14(10) - 48 = -8$

Luego traza el gráfico:

Aplicación de Funciones Cuadráticas en Problemas Cotidianos

Como mencionamos en una sección anterior, las curvas parabólicas son comunes en usos cotidianos. Aquí veremos algunos gráficos que representan ejemplos de usos en la vida real de las funciones cuadráticas.

Ejemplo C

Andrew tiene 100 pies de reja para rodear un área rectangular de tomates. ¿Cuáles deberían ser las dimensiones del rectángulo para que tenga la mayor área posible?

Solución

Hacer un dibujo nos ayudará a encontrar la ecuación que describe esta situación:

Si la longitud del rectángulo es $x$ , entonces el ancho es $50 - x$ . (La longitud y el ancho suman 50, no 100, porque dos longitudes y dos anchos suman 100)

Si establecemos $y$ como el área del triángulo, entonces sabemos que el área es longitud $\times$ ancho, entonces $y = x (50 - x) = 50x - x^2$ .

Aquí está el gráfico de la función, por lo que podemos ver cómo el área del rectángulo depende de la longitud del rectángulo:

Podemos ver en el gráfico que el valor más alto del área aparece cuyo la longitud del rectángulo es 25. El área del rectángulo para este lado tiene una longitud igual a 625. (Fíjate que el ancho también es 25, lo que hace que la forma sea un cuadrado con una longitud de 25).

Este es un ejemplo de un problema de optimización. Estos problemas aparecen, por lo general, en la vida real, y si alguna vez estudias Cálculo, aprenderás cómo resolverlos sin utilizar gráficos.

Mira este video si necesitas ayuda con los ejemplos anteriores

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CK-12 Foundation: 1002 Graph Quadratic Functions in Intercept Form

*Este video solo está disponible en inglés.

Vocabulario

Una parábola puede estar dividida en medio por una línea vertical. Es por esto que las parábolas tienen simetría . La línea vertical que divide la parábola en dos partes iguales es llamada la línea de simetría.

A los puntos donde la parábola cruza el eje $x-$ se les llama los $x -$ interceptos en de la parábola.

Todas las parábolas tienen un vértice , el par ordenado que representa la parte más baja (o la parte más alta) de la curva. La línea de simetría siempre atraviesa el vértice.
- El vértice es el punto más bajo en cualquier parábola que va hacia arriba, o el punto más alto de cualquier parábola que apunta hacia abajo.
- El vértice es exactamente el medio entre dos interceptos en $x-$ . Este siempre será el caso y puedes encontrar el vértice utilizando esta propiedad.

Los interceptos en $x-$ están en puntos $(m, 0)$ y $(n, 0)$ . El valor $x-$ del vértice está en la mitad de los dos interceptos en $x-$ por lo que podemos encontrarlo al tomar el promedio de los dos valores: $\frac{m + n}{2}$ . Luego podemos encontrar el valor de $y-$ al ingresarlo con el valor de $x$ de la ecuación de la función.

Práctica Guiada

Anne está jugando golf. En el $4^{th}$ tee(área de salida) ella golpea lentamente un tiro bajo el nivel de la calle. La pelota sigue una ruta parabólica descrita por la ecuación $y = x - 0.04x^2$ , donde $y$ es la altura de la pelota en el aire y $x$ es la distancia horizontal en que la pelota viaja desde el tee. Las distancias se miden en pies. ¿Cuán lejos del tee llega al suelo la pelota? ¿A qué distancia del tee la pelota llega a su su altura máxima? ¿Cuál es la altura máxima?

Solución

Grafiquemos la ecuación de la ruta de la pelota:

$x(1 - 0.04x) = 0$ Tiene soluciones $x = 0$ y $x = 25$ .

Por el gráfico podemos ver que la pelota llega al suelo a 25 pies del tee (El otro intercepto en $x-$ $x = 0,$ nos dice que la pelota tocó el suelo cuyo estaba en el tee)

También podemos ver que la pelota alcanza su altura máxima de alrededor de 6.25 pies cuyo está a 12.5 pies del tee.

Práctica

Para los ejercicios 1-4, reescribe las siguientes funciones en forma intercepto. Encuentra el interceptos en $x-$ y el vértice.

$y =x^2 - 2x - 8$
$y = -x^2 + 10x - 21$
$y =2x^2 + 6x + 4$
$y =3(x+5)(x - 2)$

Para los ejercicios 5 - 8, ¿el vértice de qué parábola es más alto?

$y = x^2 + 4$ o $y = x^2 +1$
$y= -2x^2$ o $y = -2x^2 - 2$
$y = 3x^2 - 3$ o $y = 3x^2 - 6$
$y = 5 - 2x^2$ o $y = 8 - 2x^2$

Para los ejercicios 9-14, grafica las siguientes funciones con la realización de una tabla de valores. Utiliza el vértice y el intercepto en $x-$ para elegir los valores de la tabla.

$y = 4x^2 - 4$
$y = -x^2 + x + 12$
$y = 2x^2 + 10x + 8$
$y = \frac{1}{2} x^2 - 2x$
$y = x - 2x^2$
$y = 4x^2 -8x + 4$

Nadia le lanza una pelota a Peter. Peter no la alcanza y la pelota cae al suelo. El gráfico muestra la ruta de la pelota mientras vuela en el aire. La ecuación que describe la ruta de la pelota es . Aquí es la altura de la pelota y es la distancia horizontal desde la posición de Nadia. Ambas distancias se miden en pies.
1. ¿A qué distancia de Nadia cae al suelo la pelota?
2. ¿A qué distancia $x$ desde la posición de Nadia alcanza la pelota su altura máxima?
3. ¿Cuál es la altura máxima?
Jasreel quiere cerrar un área para plantar vegetales con 120 pies de vallas. Él quiere poner los vegetales contra una pared que ya existe, por lo que solo necesita valla para tres lados. La ecuación para el área está dada por $A = 120x - x^2$ . Utilizyo el gráfico, encuentra qué dimensiones del rectángulo le darían el área más grye.

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