Uso de Gráficos para Resolver Ecuaciones Cuadráticas

Digamos que tienes una función como esta ¿Cómo la graficarías para encontrar sus raíces? Al finalizar esta sección, serás capaz de determinar el número de soluciones de una ecuación cuadrática como la anterior. La solución la encontrarás al graficar.

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Ahora que has aprendido cómo resolver ecuaciones cuadráticas realizyo sus gráficos, puedes refinar tus habilidades mucho más y así aprender cómo encontrar una ecuación sólo por su gráfico. Entra a la página que mencionamos en la sección anterior , http://www.analyzemath.com/quadraticg/quadraticg.htm , y desplázate hasta la sección E. Lee los ejemplos que allí aparecen para aprender a encontrar la ecuación de una función cuadrática leyendo algunas claves valiosas del gráfico: luego haz clic en el botón "click here to start" para intentar realizar un problema por ti mismo. El botón "New graph" te dará nuevos problemas una vez que finalices el primero.

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CK-12 Foundation: 1002S Lesson Solving Quadratic Equations by Graphing

Orientación

Resolver una ecuación cuadrática significa encontrar los valores que harán que la función cuadrática sea igual a cero. En otras palabras, significa encontrar los puntos donde el gráfico de la función cruza el eje Las soluciones de una ecuación cuadrática también se conocen como raíces o ceros de la función y en esta sección aprenderemos cómo encontrarlas graficyo la función.

Identifica el número de soluciones de una ecuación cuadrática

Pueden suceder tres situaciones diferentes cuyo graficas una función cuadrática:

Caso 1: La parábola cruza el eje en dos puntos. Un ejemplo de esto es :

Si miramos el gráfico, nos damos cuenta que la parábola cruza el eje en y .

También podemos encontrar soluciones para la ecuación si establecemos . Resolveremos esta ecuación factorizándola:

, por lo tanto o .

Cuyo el gráfico de una función cuadrática cruza el eje en dos puntos, obtenemos dos soluciones distintas para la ecuación cuadrática.

Caso 2: La parábola toca el eje en un punto. Un ejemplo de esto es :

Podemos ver que el gráfico toca el eje en .

También podemos resolver esta ecuación utilizando la factorización. Si establecemos y factorizamos, entonces obtenemos , por lo tanto . Ya que la función cuadrática es un cuadrado perfecto, solo obtenemos una solución para la ecuación; es decir, es la misma solución pero repetida dos veces.

Cuyo el gráfico de una función cuadrática toca el eje en un punto, la ecuación cuadrática tiene una solución a la que se le llama raíz doble.

Caso 3: La parábola no cruza ni toca el eje Un ejemplo de esto es :

Si establecemos obtenemos . Este polinomio cuadrático no se factoriza.

Cuyo el gráfico de la función cuadrática no cruza ni toca el eje la ecuación cuadrática no tiene soluciones reales.

Resolver Ecuaciones Cuadráticas al hacer su Gráfico.

Hasta el momento hemos encontrado las soluciones de las ecuaciones cuadráticas utilizando la factorización. Sin embargo, en la vida real muy pocas funciones se factorizan fácilmente. Como viste anteriormente, graficar una función nos entrega mucha información sobre las soluciones. Podemos encontrar soluciones exactas o aproximadas de una ecuación cuadrática graficyo la función asociada con ésta

Ejemplo A

Encuentra las soluciones para las siguientes ecuaciones cuadráticas graficándolas

a)

b)

c)

Solución

Ya que no podemos factorizar ninguna de estas ecuaciones, no podremos graficarlas utilizando su forma intercepto (si pudiéramos, no necesitaríamos utilizar los gráficos para encontrar los interceptos). Sólo tendremos que hacer una tabla de valores arbitrarios para graficar cada uno.

a)

–2
–1
0
1
2
3

Trazamos los puntos y obtenemos el siguiente gráfico:

Desde el gráfico podemos ver que los interceptos en son aproximadamente y . Éstas son las soluciones para la ecuación.

b)

–2
–1
0
1
2
3

Trazamos los puntos y obtenemos el siguiente gráfico:

El gráfico se curva hacia arriba en el eje y luego hacia abajo sin ni siquiera alcanzarlo. Esto significa que el gráfico nunca intercepta el eje por lo que la ecuación correspondiente no tiene soluciones reales.

c)

–2
–1
0
1
2
3
4
5

Este es el gráfico de esta función:

El gráfico toca el eje en , por lo que la función tiene una raíz doble . es la única solución de la ecuación.

Analizar Funciones Cuadráticas Utilizyo de Calculadores Gráficas

Una calculadora gráfica es muy útil para graficar funciones cuadráticas. Una vez que la función es graficada, podemos utilizar la calculadora para encontrar información importante como las raíces o el vértice de la función.

Ejemplo B

Utiliza una calculadora gráfica para analizar el gráfico de .

Solución

1. Grafica la función

Presiona la tecla [Y=] y escribe “ ” al lado de . Presiona la tecla [GRAPH] Este es el trazado que deberías ver:

Si eso no es lo que ves, presiona la tecla [WINDOW] para cambiar el tamaño de la ventana. En el gráfico que vemos aquí, los valores deberían oscilar entre -10 to 30 y los valores entre -80 to 50.

2. Encuentra las raíces.

Tienes al menos tres formas de encontrar las raíces:

Utiliza [TRACE] para deslizarte sobre los interceptos en El valor aproximado de las raíces se mostrará en la pantalla. Puedes mejorar tu estimación acercándolas.

O

Utiliza [TABLE] para deslizarte a través de los valores hasta que encuentres los valores de igual a cero. Puedes cambiar la exactitud de la solución al establecer el valor de incremento con la función [TBLSET] .

O

Utiliza [2nd] [TRACE] (es decir, la tecla 'calc') y utiliza la opción "cero"

Mueve el cursor a la izquierda de una de las raíces y presiona [ENTER] .

Mueve el cursor a la derecha de la misma raíz y presiona [ENTER] .

Mueve el cursor cerca de la raíz y presiona [ENTER] .

La pantalla mostrará el valor de la raíz. Repite el procedimiento para la otra raíz.

Con cualquier técnica que utilices, deberías obtener un resultado cercano a y para las dos raíces.

3. Encuentra el vértice.

Hay tres maneras de encontrar el vértice:

Utiliza [TRACE] para deslizarte a través de los puntos más altos y más bajos del gráfico. El valor aproximado de las raíces se mostrará en la pantalla.

O

Utiliza [TABLE] para deslizarte a través de los valores hasta que encuentres los valores más bajos y más altos de . Puedes cambiar la exactitud de la solución al establecer el valor de incremento con la función [TBLSET]

O

Utiliza [2nd] [TRACE] y la opción "máximum" si el vértice es un máximo o "mínimum" si es vértice es un mínimo.

Mueve el cursor a la izquierda del vértice y presiona [ENTER] .

Mueve el cursor a la derecha del vértice y presiona [ENTER] .

Mueve el cursor cerca del vértice y presiona [ENTER]. [ENTER] .

La pantalla mostrará los valores y del vértice.

Sin importar que método utilices, deberías encontrar el vértice en (10, -65) .

Resolver Problemas Cotidianos Graficyo las Funciones Cuadráticas.

Este es un problema real que podemos resolver con la utilización de los métodos gráficos que aprendimos.

Ejemplo C

Andrew es un arquero ávido. Dispara una flecha que realiza una ruta parabólica. La ecuación de la altura de la flecha con respecto al tiempo es , donde es la altura de la flecha en metros y es el tiempo en segundos desde que Andrew disparó la flecha. Encuentra cuánto el tiempo que se demora la flecha en llegar al suelo.

Solución

Grafiquemos la ecuación realizyo una tabla de valores.

0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

Este el gráfico de la función:

Las raíces de la función son aproximadamente segundos y segundos. La primera raíz nos dice que la altura de la flecha estaba en 0 metros cuyo Andrew la disparó. La segunda raíz muestra que la flecha tomó aproximadamente 9,8 segundos en volver a la tierra.

Mira este video si necesitas ayuda con los ejemplos anteriores.

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CK-12 Foundation: 1003 Solving Quadratic Equations by Graphing

Vocabulario

• Las soluciones de una ecuación cuadrática también se conocen como raíces o ceros.

Práctica Guiada

Encuentra la solución para graficándola.

Solución

Ya que no podemos factorizar esta ecuación, no podremos graficarla utilizando la forma intercepto (si pudiéramos, no necesitaríamos utilizar los gráficos para encontrar los interceptos). Tendremos que realizar una tabla de valores arbitrarios para graficar la ecuación.

–4
–3
–2
–1
0
1
2
3

Trazamos los puntos y obtenemos el siguiente gráfico:

Desde el gráfico, podemos observar que los interceptos en son y . Estas son las soluciones para la ecuación.

Práctica

Para los ejercicios 1 - 6, encuentra las soluciones de las siguientes ecuaciones graficándolas.

Para los ejercicios 7 - 12, encuentra las raíces de las siguientes funciones cuadráticas graficándolas.

Para los ejercicios 13 -18, utiliza tu calculadora gráfica para encontrar las raíces y el vértice de cada polinomio.

13. 
14. 
15. 
16. 
17. 
18. 
19. Grafica las ecuaciones y en la misma pantalla. Encuentras sus raíces y vértices.
    1. ¿Qué se repite en los gráficos? ¿Qué es diferente?
    2. ¿Cómo se relacionan recíprocamente las dos ecuaciones? (Pista: Factorízalas)
    3. ¿Qué otra ecuación podría tener las mismas raíces? Grafica y observa.
20. Grafica las ecuaciones y o en la misma pantalla. Encuentra sus raíces y vértices.
    1. ¿Qué se repite en los gráficos? ¿Qué es diferente?
    2. ¿Cómo se relacionan recíprocamente las dos ecuaciones?
21. Phillip lanza una pelota que hace una ruta parabólica. La ecuación de la altura de la pelota con respecto al tiempo es , donde es la altura en pies y es el tiempo en segundos. Encuentra cuánto tiempo demoró la pelota en volver a la tierra.
22. Utiliza tu calculadora gráfica para resolver el Ejemplo C. Deberías obtener las mismas respuestas que obtuvimos con el gráfico manuscrito, pero ¿mucho más rápido!