Utilización de Raíces Cuadradas para Resolver Ecuaciones Cuadráticas

En esta parte del capítulo, aprenderás cómo resolver ecuaciones cuadráticas donde, para encontrar las soluciones, debes utilizar raíces cuadradas.

Digamos que tienes una ecuación cuadrática como esta $4x^2 - 9 = 0$ en que ambos términos son cuadrados perfectos. ¿Cómo podrías resolver esa ecuación? Al finalizar esta sección, serás capaz de resolver ecuaciones cuadráticas que involucran cuadrados perfectos como la anterior.

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CK-12 Foundation: 1004S Solving Quadratic Equations Using Square Roots

*Este video solo está disponible en inglés.

Orientación

Hasta ahora sabes cómo resolver ecuaciones cuadráticas con factorización. Sin embargo, este método funciona sólo si un polinomio cuadrático se puede factorizar. En el mundo real, la mayoría de los cuadráticos no se pueden factorizar, por lo que ahora aprenderemos otros métodos que podemos utilizar para resolverlos. En esta sección, examinaremos las ecuaciones en que podemos tomar la raíz cuadrada de ambos lados de la ecuación para obtener un resultado.

Resolución de Ecuaciones Cuadráticas que Involucran Cuadrados Perfectos

Primero examinemos las funciones cuadráticas de este tipo

$x^2 - c = 0$

Podemos resolver esta ecuación al aislar el término $x^2$ lo que nos resulta en : $x^2 = c$

Una vez que aislamos el término $x^2$ , podemos tomar la raíz cuadrada de ambos lados de la ecuación. Recuerda que cuyo tomamos una raíz cuadrada obtenemos dos respuestas: La raíz cuadrada positiva y la raíz cuadrada negativa:

$x = \sqrt{c} \qquad \text{y} \qquad x = -\sqrt{c}$

Por lo general, esto se escribe así $x = \pm \sqrt{c}$ .

Ejemplo A

Resuelve las siguientes ecuaciones cuadráticas:

a) $x^2 - 4 = 0$

b) $x^2 - 25 = 0$

Solución

a) $x^2 - 4 = 0$

Aísla $x^2$ : $x^2 = 4$

Saca la raíz cuadrada de ambos lados: $x = \sqrt{4}$ y $x = - \sqrt{4}$

Las soluciones son $x = 2$ y $x = -2$ .

b) $x^2 - 25 = 0$

Aísla $x^2$ : $x^2 = 25$

Toma las raíces cuadradas de ambos lados: $x = \sqrt{25}$ y $x = - \sqrt{25}$

Las soluciones son $x = 5$ y $x = -5$ .

También podemos encontrar la solución utilizando la raíz cuadrada cuyo el término $x^2$ se multiplica por una constante. En otras palabras, cuyo la ecuación toma su forma.

$ax^2 - c = 0$

Sólo tenemos que aislar $x^2$ :

$ax^2 & = b\\\x^2 & = \frac{b}{a}$

Luego, tomamos la raíz cuadrada de ambos lados de la ecuación:

$x = \sqrt{\frac{b}{a}} \qquad \text{y} \qquad x = - \sqrt{ \frac{b}{a}}$

Por lo general, esto se escribe así: $x = \pm \sqrt{\frac{b}{a}}$ .

Ejemplo B

Resuelve las siguientes ecuaciones cuadráticas:

a) $9x^2 - 16 = 0$

b) $81x^2 - 1 = 0$

Solución

a) $9x^2 - 16 = 0$

Aísla $x^2$ :

$9x^2 & = 16\\\x^2 & = \frac{16}{9}$

Saca la raíz cuadrada de ambos lados: $x = \sqrt{\frac{16}{9}}$ y $x = - \sqrt{ \frac{16}{9}}$

Respuesta: $x = \frac{4}{3}$ y $x = - \frac{4}{3}$

b) $81x^2 - 1 = 0$

Aísla $x^2$ :

$81x^2 & = 1\\\x^2 & = \frac{1}{81}$

Saca la raíz cuadrada de ambos lados: $x = \sqrt{\frac{1}{81}}$ y $x = - \sqrt{ \frac{1}{81}}$

Respuesta: $x = \frac{1}{9}$ y $x = - \frac{1}{9}$

Como viste anteriormente, algunas ecuaciones cuadráticas no tienen soluciones reales.

Ejemplo C

Resuelve las siguientes ecuaciones cuadráticas.

a) $x^2 + 1 = 0$

b) $4x^2 + 9 = 0$

Solución

a) $x^2 + 1 = 0$

Aísla $x^2$ : $x^2 = -1$

Saca la raíz cuadrada de ambos lados: $x = \sqrt{-1}$ y $x = - \sqrt{-1}$

Las raíces cuadradas de números negativos no dan como resultado números reales, por lo que no hay soluciones reales para esta ecuación.

b) $4x^2 + 9 = 0$

Aísla $x^2$ :

$4x^2 & = -9\\\x^2 & = - \frac{9}{4}$

Saca la raíz cuadrada de ambos lados: $x = \sqrt{ - \frac{9}{4}}$ y $x = - \sqrt{ - \frac{9}{4}}$

No hay soluciones reales.

También podemos utilizar la función de la raíz cuadrada en algunas ecuaciones cuadráticas cuyo ambos lados de la ecuación son cuadrados perfectos. Esto es verdadero si una ecuación tiene esta forma:

$(x - 2)^2 = 9$

Ambos lados de la ecuación son cuadrados perfectos. Tomamos la raíz cuadrada de ambos lados y obtenemos dos ecuaciones: $x - 2 = 3$ y $x - 2 = -3$ .

Al resolver las dos ecuaciones obtenemos $x = 5$ y $x = -1$ .

Ejemplo D

Resuelve las siguientes ecuaciones cuadráticas

a) $(x - 1)^2 = 4$

b) $(x + 3)^2 = 1$

Solución

a) $(x - 1)^2 = 4$

$\text{Take the square root of both sides}: & & x - 1 & = 2 \ \text{y} \ x - 1 = -2\\\\text{Solve each equation}: & & x & = 3 \ \text{y} \ x = -1$

Respuesta: $x =3$ y $x = -1$

b) $(x + 3)^2 = 1$

$\text{Take the square root of both sides}: & & x + 3 & = 1 \ \text{y} \ x + 3 = -1\\\\text{Solve each equation}: & & x & = -2 \ \text{y} \ x = -4$

Respuesta: $x = -2$ y $x = -4$

Podría ser necesario factorizar el lado derecho de la ecuación como un cuadrado perfecto antes de aplicar el método descrito arriba.

Mira este video si necesitas ayuda con los ejemplos anteriores.

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CK-12 Foundation: 1004 Solving Quadratic Equations Using Square Roots

*Este video solo está disponible en inglés.

Vocabulario

Las soluciones de una ecuación cuadrática también son conocida como también son conocida como también son conocida como también son conocida como raíces o ceros.

Práctica Guiada

Resuelve las siguientes ecuaciones cuadráticas.

a) $x^2 + 8x + 16 = 25$

b) $4x^2 - 40x + 25 = 9$

Solución

a) $x^2 + 8x + 16 = 25$

$& \text{Factor the right-hy-side}: & & x^2 + 8x + 16 = (x + 4)^2 \quad \text{so} \quad (x + 4)^2 = 25\\\& \text{Take the square root of both sides}: & & x + 4 = 5 \ \text{y} \ x + 4 = -5 \\\& \text{Solve each equation}: & & x = 1 \ \text{y} \ x = -9$

Respuesta: $x = 1$ y $x = -9$

b) $4x^2 - 20x + 25 = 9$

$& \text{Factor the right-hy-side}: & & 4x^2 - 20x + 25 = (2x - 5)^2 \quad \text{so} \quad (2x - 5)^2 = 9\\\& \text{Take the square root of both sides}: & & 2x - 5 = 3 \ \text{y} \ 2x - 5 = -3 \\\& \text{Solve each equation}: & & 2x = 8 \ \text{y} \ 2x = 2$

Respuesta: $x = 4$ y $x =1$

Práctica

Resuelve las siguientes ecuaciones cuadráticas.

$x^2 - 1 = 0$
$x^2 - 100 = 0$
$x^2 + 16 = 0$
$9x^2 - 1 = 0$
$4x^2 - 49 = 0$
$64x^2 - 9 = 0$
$x^2 - 81 = 0$
$25x^2 - 36 = 0$
$x^2 + 9 = 0$
$x^2 - 16 = 0$
$x^2 - 36 = 0$
$16x^2 - 49 = 0$
$(x - 2)^2 = 1$
$(x + 5)^2 = 16$
$(2x - 1)^2 - 4 = 0$
$(3x + 4)^2 = 9$
$(x - 3)^2 + 25 = 0$
$x^2 - 10x + 25 =9$
$x^2 + 18x + 81 = 1$
$4x^2 - 12x + 9 = 16$
$2(x + 3)^2 = 8$

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