Aplicación de las Raíces Cuadradas

En esta parte del capítulo, aprenderás cómo aproximarte a la solución de una ecuación cuadrática que involucra raíces cuadradas. También aprenderás a resolver problemas cotidianos utilizando las funciones cuadráticas y las raíces cuadradas.

Digamos que lanzan un centavo desde la cima del Monumento a Washington a una altura de 555 pies. ¿Cuánto demoraría el centavo en alcanzar el suelo? Al finalizar esta sección, serás capaz de utilizar funciones cuadráticas y raíces cuadradas para resolver aplicaciones cotidianas como la anterior.

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CK-12 Foundation: 1005S Applications Using Square Roots

*Este video solo está disponible en inglés.

Orientación

Podemos utilizar los métodos que hemos aprendido hasta ahora en esta sección para encontrar la solución aproximada de las ecuaciones cuadráticas, incluso cuyo la raíz cuadrada no nos da una respuesta exacta.

Ejemplo A

Resuelve las siguientes ecuaciones cuadráticas.

a) $x^2 - 3 = 0$

b) $2x^2 - 9 = 0$

Solución

a) $\text{Isolate the} \ x^2: \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad x^2 = 3\!\\\\text{Take the square root of both sides}: \qquad x = \sqrt{3} \ \text{y} \ x = -\sqrt{3}$

respuesta: $x \approx 1.73$ y $x \approx - 1.73$

b) $\text{Isolate the} \ x^2: \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad 2x^2 = 9 \ \text{so} \ x^2 = \frac{9} {2}\!\\\\text{Take the square root of both sides}: \qquad x = \sqrt{\frac{9} {2}} \ \text{y} \ x = -\sqrt{\frac{9} {2}}$

Respuesta: $x \approx 2.12$ y $x \approx - 2.12$

Ejemplo B

Resuelve las siguientes ecuaciones cuadráticas.

a) $(2x + 5)^2 = 10$

b) $x^2 - 2x + 1 = 5$

Solución

a) $\text{Take the square root of both sides}: & & 2x + 5 & = \sqrt{10} \ \text{y} \ 2x + 5 = -\sqrt{10}\\\\text{Solve both equations}: & & x & = \frac{-5 + \sqrt{10}} {2} \ \text{y} \ x = \frac{-5 -\sqrt{10}} {2}$

Respuesta: $x \approx -0.92$ y $x \approx -4.08$

b) $\text{Factor the right-hy-side}: & & (x - 1)^2 & = 5\\\\text{Take the square root of both sides}: & & x - 1 & = \sqrt{5} \ \text{y} \ x - 1 = -\sqrt{5}\\\\text{Solve each equation}: & & x & = 1 + \sqrt{5} \ \text{y} \ x = 1 - \sqrt{5}$

Respuesta: $x \approx 3.24$ y $x \approx -1.24$

Resolución de aplicaciones utilizando las funciones cuadráticas y las raíces cuadradas.

Las ecuaciones cuadráticas son necesarias para resolver muchos problemas cotidianos. En esta sección, examinaremos problemas sobre objetos que caen por la influencia de la gravedad. Cuyo los objetos desde desde una altura, no tienen velocidad inicial; la fuerza que los hace moverse hacia el suelo se debe a la gravedad. La aceleración de la gravedad en la Tierra se da por la ecuación:

$g = -9.8 \ m/s^2 \quad \text{or} \quad g = -32 \ ft/s^2$

El signo negativo indica dirección descendente. Podemos asumir que la gravedad es constante para los problemas que examinaremos porque estaremos cerca de la superficie de la Tierra. La aceleración de la gravedad disminuye cuyo un objeto se mueve muy lejos de la Tierra. También es diferente es otros cuerpos celestes como la Luna.

La ecuación que muestra la altura de un objeto en caída libre es:

$y = \frac{1}{2}gt^2 + y_0$

El término $y_0$ representa la altura inicial de un objeto, $t$ es el tiempo y $g$ es la constante que representa la fuerza de gravedad. Luego, ingresas uno de los dos valores que tiene $g$ arriba, dependiendo de si quieres responder en pies o en metros. Por consiguiente, la ecuación funciona de esta forma para $y = -4.9t^2 + y_0$ si quisieras la altura en metros, y así $y = -16t^2 + y_0$ si quisieras la altura en pies.

Ejemplo C

¿Cuánto tiempo demora una pelota en caer desde el techo al suelo a una distancia de 25 pies?

Solución

$\text{Since we are given the height in feet, use equation}: & & y & = -16t^2 + y_0\\\\text{The initial height is} \ y_0 = 25 \ feet, \ \text{so}: & & y & = -16t^2 + 25\\\\text{The height when the ball hits the ground is} \ y = 0, \ \text{so}: & & 0 & = - 16t^2 + 25\\\\text{Solve for} \ t: & & 16t^2 & = 25\\\& & t^2 & = \frac{25} {16}\\\& & t & = \frac{5} {4} \ \text{or} \ t = - \frac{5} {4}$

Ya que el tiempo solo tiene sentido con números positivos, la pelota demora 1,25 segundos en caer al suelo.

Ejemplo D

Una roca cae desde la cima de un acantilado y golpea el suelo 7,2 segundos después. ¿Cuán alto es el acantilado en metros?

Solución

$\text{Since we want the height in meters, use equation}: & & y & = -4.9t^2 + y_0\\\\text{The time of flight is} \ t = 7.2 \ seconds: & & y & = -4.9(7.2)^2 + y_0\\\\text{The height when the ball hits the ground is} \ y = 0, \ \text{so}: & & 0 & = -4.9 (7.2)^2 + y_0\\\\text{Simplify}: & & 0 & = -254 + y_0 \ \text{so} \ y_0 = 254$

El acantilado mide 254 metros de alto.

Mira este video si necesitas ayuda con los ejemplos anteriores.

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Vocabulario

Las soluciones de una ecuación cuadráticas soluciones de una ecuación cuadráticas raíces or ceros.

Práctica Guiada

Víctor lanza una manzana por una ventana del $10^{th}$ piso, que se encuentra a 120 pies sobre el suelo. Un segundo después, Juan lanza una naranja por la ventana del $6^{th}$ piso, que se encuentra a 72 pies sobre el suelo. ¿Qué fruta alcanza primero el suelo y que tan rápido llega ahí?

Solución

Encontremos el tiempo de vuelo para cada fruta.

Manzana:

$&\text{Since we have the height in feet, use this equation}: && y = -16t^2 + y_0\\\&\text{The initial height is} \ y_0 = 120 \ feet: && y = -16t^2 + 120\\\&\text{The height when the ball hits the ground is} \ y = 0, \ \text{so}: && 0 = -16t^2 + 120\\\&\text{Solve for} \ t: && 16t^2 = 120\\\&&& t^2 = \frac{120} {16} = 7.5\\\&&& \underline{t = 2.74} \ \text{or} \ t = -2.74 \ seconds$

Naranja:

$&\text{The initial height is} \ y_0 = 72 \ feet: & & 0 = -16t^2 + 72\\\&\text{Solve for} \ t: & & 16t^2 = 72\\\&& & t^2 = \frac{72} {16} = 4.5\\\&& & \underline{t = 2.12} \ \text{or} \ t = -2.12 \ seconds$

La naranja fue lanzada un segundo después, entonces suma 1 segundo al tiempo de la naranja: $t = 3.12 \ seconds$

La manzana toca el suelo primero. Llega ahí 0,38 segundos más rápido que la naranja.

Práctica

Resuelve las siguientes ecuaciones cuadráticas:

$x^2 = 11$
$5x^2 = 0.01$
$x^2 - 6 = 0$
$x^2 - 20 = 0$
$3x^2 + 14 = 0$
$(x - 6)^2 = 5$
$(x + 10)^2 = 2$
Susan tira su cámara al río desde un puente que mide 400 pies de altura. ¿Cuánto tiempo pasa antes de que ella escuche el salpicón de agua?
A una roca le toma 5,3 segundos salpicar en el agua cuyo la lanzan desde la cima de un acantilado. ¿Qué tan alto es el acantilado en metros?
Nisha deja caer una piedra desde el techo de un edificio que mide 50 pies de alto. Ashaan deja caer una moneda de 25 centavos desde la cima de la planta alta, a 40 pies de alto, la cual cae exactamente medio segundo después de que Nisha tira la roca. ¿Cuál alcanza primero el suelo?

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