Completar el Cuadrado

En esta parte del capítulo, aprenderás a completar el cuadrado para ayudarte a resolver las ecuaciones cuadráticas. También resolverás ecuaciones cuadráticas en forma estándar.

Digamos que tienes una ecuación cuadrática como esta $x^2 + 12x = 13$ ¿Cómo podrías resolverla tomyo las raíces cuadradas de ambos lados? Al finalizar esta sección, serás capaz de completar el cuadrado para resolver ecuaciones cuadráticas como la anterior.

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CK-12 Foundation: 1006S Solving Quadratic Equations by Completing the Square

*Este video solo está disponible en inglés.

Orientación

Ya has visto en la sección anterior que si tienes una ecuación cuadrática con forma $(x - 2)^2 = 5$ , puedes resolverla fácilmente tomyo la raíz cuadrada de ambos lados:

$x - 2 = \sqrt{5} \ \qquad \text{y} \qquad \ x - 2 = - \sqrt{5}$

puedes resolverla fácilmente tomyo la raíz cuadrada de ambos lados:

$x = 2 + \sqrt{5} \approx 4.24 \ \qquad \text{y} \qquad \ x = 2 - \sqrt{5} \approx - 0.24$

Entonces, ¿Qué harías con una ecuación que no está escrita de esta forma? En esta sección, aprenderás a reescribir cualquier ecuación cuadrática en esta forma al completar el cuadrado.

Completar el Cuadrado de una Expresión Cuadrática

Completar el cuadrado te permite reescribir una expresión cuadrática para que contenga un trinomio cuadrado perfecto que puedes factorizar como el cuadrado de un binomio.

Recuerda que el cuadrado de un binomio tiene una de las siguientes formas:

$(x + a)^2 & = x^2 + 2ax + a^2\\\(x - a)^2 & = x^2 - 2ax + a^2$

Entonces, para tener un trinomio cuadrado perfecto, necesitamos dos términos que sean cuadrados perfectos y un término que sea dos veces el producto de una raíz cuadrada del otro término.

Ejemplo A

Completa el cuadrado para la expresión cuadrática $x^2 + 4x$ .

Solución

Para completar el cuadrado necesitamos un término constante que convierta la expresión en un trinomio cuadrado perfecto. Ya que el término medio en un trinomio cuadrado perfecto siempre es 2 veces el producto de las raíces cuadradas de los otros dos términos, reescribiremos nuestra expresión como:

$x^2 + 2(2)(x)$

Vemos que la constante que buscamos debe ser $2^2:$

$x^2 + 2(2)(x) + 2^2$

Respuesta: Al sumar 4 a ambos lados, esto puede ser factorizado como: $(x + 2)^2$

Sin embargo, fíjate que cambiamos el valor de la expresión completa al sumarle 4. Si hubiese sido una ecuación, tendríamos que haber sumado 4 al otro lado también para compensar.

Además, este ejemplo era relativamente fácil porque $a$ , el coeficiente del término $x^2$ era igual a 1. Cuyo el coeficiente no es igual a 1, tenemos que excluirlo de toda la expresión antes de completar el cuadrado.

Ejemplo B

Completa el cuadrado de la expresión cuadrática $4x^2 + 32x$ .

Solución

Factoriza el coeficiente del término $x^2$ :

$4(x^2 + 8x)$

Reescribe la expresión:

$4 (x^2 + 2(4) (x))$

Completamos el cuadrado al sumar la constante $4^2$ :

$4(x^2 + 2(4)(x) + 4^2)$

Factoriza el trinomio cuadrado perfecto dentro del paréntesis:

$4(x + 4)^2$

La expresión “completar el cuadrado” proviene de la interpretación geométrica de esta situación. Revisemos otra vez la expresión cuadrática del ejemplo 1: $x^2 + 4x$ .

Podemos pensar en esta expresión como la suma de tres áreas. El primer término representa el área del cuadrado del lado $x$ . La segunda expresión representa las áreas de dos rectángulos que tienen una longitud de 2 y un ancho $x$ :

Podemos combinar estas formas de la siguiente manera:

Obtenemos un cuadrado que no está completo. Para completar el cuadrado, necesitamos agregar un cuadrado más pequeño de longitud de lado 2.

Obtenemos un cuadrado que no está completo. Para completar el cuadrado, necesitamos agregar un cuadrado más pequeño de longitud de lado 2. $(x + 2)$ ; su área es, por lo tanto $(x + 2)^2$ . Demostremos el método de completar el cuadrado con un ejemplo.

Ejemplo C

Resuelve la siguiente ecuación cuadrática: $3x^2 - 10x = -1$

Solución

Divide todos los términos por el coeficiente del término $x^2$ :

$x^2 - \frac{10}{3} x = - \frac{1}{3}$

Reescribe: $x^2 - 2 \left ( \frac{5}{3} \right ) (x) = - \frac{1}{3}$

Para tener un trinomio cuadrado perfecto en el lado derecho, necesitamos sumar la constante $\left ( \frac{5}{3} \right )^2$ . Suma esta constante en ambos lados de la ecuación:

$x^2 - 2 \left ( \frac{5}{3} \right ) (x) + \left ( \frac{5}{3} \right )^2 = - \frac{1}{3} + \left ( \frac{5}{3} \right )^2$

Factoriza el trinomio cuadrado perfecto y simplifica:

$\left ( x - \frac{5}{3} \right )^2 & = - \frac{1}{3} + \frac{25}{9}\\\\left (x - \frac{5}{3} \right )^2 & = \frac{22}{9}$

Saca la raíz cuadrada de ambos lados:

$x - \frac{5}{3} &= \sqrt{\frac{22}{9}} && \text{y} && x - \frac{5}{3} = - \sqrt{ \frac{22}{9}}\\\x &= \frac{5}{3} + \sqrt{\frac{22}{9}} \approx 3.23 && \text{y} && x = \frac{5}{3} - \sqrt{\frac{22}{9}} \approx 0.1$

Respuesta: $x = 3.23$ y $x = 0.1$

Resolución de Ecuaciones Cuadráticas en Forma Estándar

Si una ecuación está en su forma estándar $(ax^2 + bx + c = 0)$ , aún podemos resolverla con el método de completar el cuadrado. Todo lo que tenemos que hacer es mover el término constante al lado derecho de la ecuación.

Ejemplo D

Resuelve la siguiente ecuación cuadrática: $x^2 + 15x + 12 = 0$

Solución

Mueve la constante al otro lado de la ecuación:

$x^2 + 15x = -12$

Reescribe: $x^2 + 2 \left ( \frac{15}{2} \right )(x) = -12$

Suma la constante $\left ( \frac{15}{2} \right )^2$ en ambos lados de la ecuación:

$x^2 + 2\left ( \frac{15}{2} \right )(x) + \left ( \frac{15}{2} \right )^2 = -12 + \left ( \frac{15}{2} \right )^2$

Factoriza el trinomio cuadrado perfecto y simplifica:

$\left (x + \frac{15}{2} \right )^2 & = -12 + \frac{225}{4}\\\\left (x + \frac{15}{2} \right )^2 & = \frac{177}{4}$

Saca la raíz cuadrada de ambos lados:

$x + \frac{15}{2} &= \sqrt{\frac{177}{4}} && \text{y} && x + \frac{15}{2} = - \sqrt{\frac{177}{4}}\\\x &= - \frac{15}{2} + \sqrt{\frac{177}{4}} \approx - 0.85 && \text{y} && x = - \frac{15}{2} - \sqrt{\frac{177}{4}} \approx -14.15$

Respuesta: $x = -0.85$ y $x = -14.15$

Mira este video si necesitas ayuda con los ejemplos anteriores.

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Vocabulario

Un trinomio cuadrado perfecto tiene la forma $a^2+2(ab)+b^2$ , que se factoriza en $(a+b)^2$ .

Práctica Guiada

Resuelve la siguiente ecuación cuadrática: $-x^2 +22x = 5$

Solución

Divide todos los términos por el coeficiente del término $x^2$ :

$x^2 -22x = -6$

Reescribe: $x^2 - 2(11) (x) = - 6.$

Para lograr un trinomio cuadrado perfecto en el lado derecho, necesitamos sumar la constante $\left (11 \right )^2$ . Suma esta constante en ambos lados de la ecuación:

$x^2 - 2 ( 11 ) (x) + ( 11)^2 = - 6 + (11)^2$

Factoriza el trinomio cuadrado perfecto y simplifica:

$\left ( x - 11 \right )^2 & =- 6 + (11)^2 \\\\left (x - \frac{5}{3} \right )^2 & = 16$

Saca la raíz cuadrada de ambos lados:

$x - 11 &= \sqrt{16} && \text{y} && x - 11 = - \sqrt{ 16}\\\x &= 11 + \sqrt{16} =15 && \text{y} && x =11 - \sqrt{4}= 7$

Respuesta: $x = 15$ y $x =7$

Práctica

Completa el cuadrado para cada expresión.

$x^2 + 5x$
$x^2 - 2x$
$x^2 + 3x$
$x^2 - 4x$
$3x^2 + 18x$
$2x^2 - 22x$
$8x^2 - 10x$
$5x^2 + 12x$

Resuelve cada ecuación cuadrática completando el cuadrado.

$x^2 - 4x = 5$
$x^2 - 5x = 10$
$x^2 + 10x + 15 = 0$
$x^2 + 15x + 20 = 0$
$2x^2 - 18x = 3$
$4x^2 + 5x = -1$
$10x^2 - 30x - 8 = 0$
$5x^2 + 15x - 40 = 0$

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