Forma Vértice de una Ecuación Cuadrática

En esta parte del capítulo, aprenderás cómo encontrar los vértices, los interceptos en $x$ -los interceptos en $y$ -ide las parábolas que se escriben en la forma vértice. También aprenderás a graficar esas parábolas. Finalmente, reescribirás la función cuadrática en forma vértice.

Digamos que tienes una función cuadrática como $y - 2 = x^2 + 4x$ ¿Cómo podrías reescribirla en forma vértice para encontrar su vértice e intercepto? Al finalizar esta sección, serás capaz de reescribir y graficar ecuaciones cuadráticas como la anterior en forma vértice.

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CK-12 Foundation: 1007S Graph Quadratic Functions in Vertex Form

*Este video solo está disponible en inglés.

Orientación

Probablemente uno de los mejores usos de este método de completar el cuadrado es utilizándolo para reescribir la función cuadrática en forma vértice. La forma vértice de una función cuadrática es:

$y - k = a(x - h)^2$

Esta forma es bastante útil para graficar porque entrega el vértice de la parábola de manera explícita. El vértice se encuentra en el punto $(h, k)$ .

También es muy simple encontrar los interceptos en $x-$ desde la forma vértice: solo establece $y = 0$ y saca la raíz cuadrada de ambos lados de la ecuación resultante.

Para encontrar el intercepto en $y-$ define $x = 0$ y simplifica.

Ejemplo A

Encuentra el vértice, los interceptos en $x-$ y los interceptos en $y-$ de las siguientes parábolas:

a) $y - 2 = (x - 1)^2$

b) $y + 8 = 2(x - 3)^2$

Solución

a) $y - 2 = (x - 1)^2$

Vértice: (1, 2)

Para encontrar los interceptos en $x-$ ,

$\text{Set} \ y = 0: & & -2 & = (x - 1)^2 \\\\text{Take the square root of both sides}: & & \sqrt{-2} & = x - 1 && \text{y} && -\sqrt{-2} = x - 1$

Las soluciones no son reales por lo que no hay intercepto en $x-$ .

Para encontrar los interceptos en $y-$ ,

$\text{Set} \ x = 0: & & y - 2 & = (-1)^2\\\\text{Simplify}: & & y - 2 & = 1 \Rightarrow \underline{y = 3}$

b) $y + 8 = 2(x - 3)^2$

$& \text{Rewrite}: & & y - (-8) = 2(x - 3)^2\\\& \text{Vertex}: & & \underline{(3, -8)}$

Para encontrar los interceptos en $x-$ .

$\text{Set} \ y = 0: & & 8 & = 2 (x - 3)^2\\\\text{Divide both sides by} \ 2: & & 4 & = (x - 3)^2 \\\\text{Take the square root of both sides}: & & 4 & = x - 3 && \text{y} && -4 = x - 3\\\\text{Simplify}: & & & \underline{\underline{x = 7}} && \text{y} && \underline{\underline{x = -1}}$

Para encontrar los interceptos en $y-$ ,

$\text{Set} \ x = 0: & & y + 8 & = 2(-3)^2\\\\text{Simplify}: & & y + 8 & = 18 \Rightarrow \underline{\underline{y = 10}}$

Para graficar una parábola, solo necesitamos saber la siguiente información:

El vértice
Los interceptos en $x-$
Los interceptos en $y-$
Si la parábola va hacia arriba o hacia abajo (recuerda que va hacia arriba si $a > 0$ y hacia abajo si $a < 0$ )

Ejemplo B

Grafica la parábola que da la función $y + 1 = (x +3)^2$ .

Solución

$& \text{Rewrite}: & & y - (-1) = (x - (-3))^2\\\& \text{Vertex}: & & \underline{(-3, -1)} && \text{vertex}:(-3, -1)$

Para encontrar los interceptos en $x-$ ,

$&\text{Set} \ y = 0: & & 1 = ( x + 3)^2\\\&\text{Take the square root of both sides}: & & 1 = x + 3 \qquad \text{y} \qquad -1 = x + 3\\\&\text{Simplify}: && \underline{\underline{x = -2}} \qquad \quad \text{y} \qquad \quad \ \underline{\underline{x = -4}}\\\&&& x-\text{intercepts}: \ (-2, 0) \ \text{y} \ (-4, 0)$

Para encontrar los interceptos en $y-$ ,

$& \text{Set} \ x = 0: & & y + 1 = (3)^2\\\& \text{Simplify:} & & \underline{\underline{y = 8}} && y-\text{intercept}: (0, 8)$

Y ya que $a > 0$ , la parábola va hacia arriba.

Grafica todos los puntos y conéctalos con una curva suave:

Ejemplo C

Grafica la parábola que da la función $y = - \frac{1}{2} (x - 2)^2$ .

Solución:

$& \text{Rewrite} & & y - (0) = - \frac{1} {2} (x - 2)^2\\\& \text{Vertex:} & & \underline{(2, 0)} && \text{vertex:} (2, 0)$

Para encontrar los interceptos en $x-$ ,

$\text{Set} \ y = 0: & & 0 & = - \frac{1} {2} (x - 2)^2 \\\\text{Multiply both sides by} \ -2: & & 0 & = (x - 2)^2 \\\\text{Take the square root of both sides}: & & 0 & = x - 2\\\\text{Simplify}: & & & \underline{\underline{x = 2}} && x-\text{intercept:} (2, 0)$

Nota: Hay sólo un intercepto en $x-$ que indica que el vértice se ubica en este punto, (2, 0).

Para encontrar el intercepto en $y-$ ,

$\text{Set} \ x = 0: & & y & = -\frac{1} {2}(-2)^2 \\\\text{Simplify:} & & y & = - \frac{1} {2} (4) \Rightarrow \underline{\underline{y = -2}} && y- \text{intercept:}(0, -2)$

Ya que $a < 0$ , la parábola va hacia abajo.

Grafica todos los puntos y conéctalos con una curva suave:

Mira este video si necesitas ayuda con los ejemplos anteriores.

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CK-12 Foundation: 1007 Graph Quadratic Functions in Vertex Form

*Este video solo está disponible en inglés.

Vocabulario

La forma vértice de una función cuadrática es

$y - k = a(x - h)^2$

Esta forma es muy útil para graficar porque entrega el vértice de la parábola de manera explícita. El vértice está en el punto $(h, k)$ .

Para encontrar los interceptos en $x-$ de la forma vértice solo establece $y = 0$ y saca la raíz cuadrada de ambos lados de la ecuación resultante.

Para encontrar los interceptos en $y-$ establece $x = 0$ y simplifica.

Práctica Guiada

Grafica la parábola que da la función $y = 4(x +2)^2-1$ .

Solución:

$& \text{Rewrite} & & y - (-1) = 4(x +2)^2\\\& \text{Simplify} & & y +1 = 4(x +2)^2\\\& \text{Vertex:} & & \underline{(-2, -1)} && \text{vertex:} (-2, -1)$

Para encontrar los interceptos en $x-$

$\text{Set.} \ y = 0: & & 0 & = 4(x +2)^2-1 \\\\text{Subtract 1 from each side}: & & 1 & = 4(x +2)^2 \\\\text{Divide both sides by 4}: & & \frac{1}{4} & = (x +2)^2 \\\\text{Take the square root of both sides}: & & \frac{1}{2} & = \pm (x + 2)\\\\text{Separate}: & & & \frac{1}{2}=-(x+2) && \frac{1}{2}=x+2)\\\\text{Simplify}: & & & \underline{\underline{x = -2.5}} && \underline{\underline{x = -1.5}}$

Los interceptos $x-$ son $(-2.5, 0)$ y $(-1.5, 0)$ .

Para encontrar los interceptos $y-$

$\text{Set} \ x = 0: & & y & = 4(0 +2)^2-1 \\\\text{Simplify:} & & y & = 15 \Rightarrow \underline{\underline{y = 15}} && y- \text{intercept:}(0, 15)$

Ya que $a < 0$ , la parábola va hacia arriba.

Grafica todos los puntos y conéctalos con una curva suave:

Práctica

Reescribe cada función cuadrática en la forma vértice.

$y= x^2 - 6x$
$y + 1 = -2x^2 -x$
$y = 9x^2 + 3x - 10$
$y = -32x^2 + 60x + 10$

Para cada parábola, encuentra el vértice, los interceptos en $x-$ e $y-$ y determina si va hacia arriba o hacia abajo. Luego grafica la parábola.

$y - 4 = x^2 + 8x$
$y = -4x^2 + 20x - 24$
$y = 3x^2 + 15x$
$y + 6 = -x^2 + x$
$x^2-10x+25=9$
$x^2+18x+81=1$
$4x^2-12x+9=16$
$x^2+14x+49=3$
$4x^2-20x+25=9$
$x^2+8x+16=25$

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