Fórmula Cuadrática

En esta parte del capítulo, aprenderás cómo utilizar la fórmula cuadrática para encontrar el vértice y la solución de las ecuaciones cuadráticas.

Digamos que tienes una ecuación cuadrática que no puedes factorizar de manera simple como $x^2 + 5x + 2$ ¿Cómo podrías utilizar sus valores coeficientes para resolverla? Al finalizar esta sección, serás capaz utilizar la fórmula cuadrática para resolver ecuaciones como la anterior.

Mira esto

*Este video solo está disponible en inglés. (requiere conexión a internet)

CK-12 Foundation: 1008S The Quadratic Formula

*Este video solo está disponible en inglés.

Para encontrar más ejemplos de resolución de ecuaciones cuadráticas que utilizan la fórmula cuadrática, mira el video de Khan Academy en:

Haz clic en la imagen de arriba para ver más contenido. (requiere conexión a internet)

Orientación

La Fórmula Cuadrática es, probablemente, el método más usado para resolver ecuaciones cuadráticas. Para una ecuación cuadrática en su forma estándar , $ax^2 + bx + c = 0$ , fórmula cuadrática es así:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

Esta fórmula se deriva mediante la resolución de una ecuación cuadrática general que utiliza el método de completar el cuadrado que aprendiste en las secciones anteriores.

Comenzamos con una ecuación cuadrática general: $ax^2 + bx + c = 0$

Resta el término constante de ambos lados: $ax^2 + bx = -c$

Divide por el coeficiente del término $x^2$ :

$x^2 + \frac{b}{a} x = - \frac{c}{a}$

Reescribe:

$x^2 + 2 \left (\frac{b}{2a} \right ) x = - \frac{c}{a}$

Suma la constante $\ \left (\frac{b}{2a} \right )^2$ en ambos lados:

$x^2 + 2 \left (\frac{b}{2a} \right )x + \left (\frac{b}{2a} \right )^2 = - \frac{c}{a} + \frac{b^2}{4a^2}$

Factoriza el trinomio cuadrado perfecto:

$\left (x + \frac{b}{2a} \right )^2 = - \frac{4ac}{4a^2} + \frac{b^2}{4a^2}$

Simplifica:

$\left (x + \frac{b}{2a} \right )^2 = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2}$

Saca la raíz cuadrada de ambos lados:

$x + \frac{b}{2a} = \sqrt{\frac{b^2 - 4ac}{4a^2}} \ \text{y} \ x + \frac{b}{2a} = - \sqrt{\frac{b^2 - 4ac}{4a^2}}$

Simplifica:

$x + \frac{b}{2a} = \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \ \text{y} \ x + \frac{b}{2a} = - \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

$x = - \frac{b}{2a} + \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \ \text{y} \ x = - \frac{b}{2a} - \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

$x = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \ \text{y} \ x = \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

Esto puede ser escrito de una manera más compacta de la siguiente forma: $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ .

Puedes ver que esta fórmula tan familiar proviene directamente desde la aplicación del método de completar el cuadrado. Sin embargo, "completar el cuadrado" para resolver ecuaciones cuadráticas puede ser un proceso tedioso, por lo que la fórmula cuadrática es una forma mucho más directa para encontrar la solución.

Resolución de Ecuaciones Cuadráticas Usando la Fórmula Cuadrática

Para utilizar la fórmula cuadrática, sólo ingresa los valores $a, b,$ y $c$ .

Ejemplo A

Resuelve las siguientes ecuaciones cuadráticas utilizando la fórmula cuadrática.

a) $2x^2 + 3x + 1 = 0$

b) $x^2 - 6x + 5 = 0$

c) $-4x^2 + x + 1 = 0$

Solución

Comienza utilizando la fórmula cuadrática e ingresando los valores de $a, b$ y $c$ .

a) $\text{Quadratic formula:} && x &= \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\\\\text{Plug in the values} \ a = 2, \ b = 3, \ c = 1 && x &= \frac{-3 \pm \sqrt{(3)^2 - 4(2)(1)}}{2(2)}\\\\text{Simplify:} && x &= \frac{-3 \pm \sqrt{9-8}}{4} = \frac{-3 \pm \sqrt{1}}{4}\\\\text{Separate the two options:} && x &= \frac{-3 + 1}{4} \ \ \text{y} \ \ x = \frac{-3 - 1}{4}\\\\text{Solve:} && x &= \frac{-2}{4} = - \frac{1}{2} \ \text{y} \ x = \frac{-4}{4} = -1$

Respuesta: $x = - \frac{1}{2}$ y $x = -1$

b) $\text{Quadratic formula:} && x &= \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\\\\text{Plug in the values} \ a = 1, \ b = -6, \ c = 5 && x &= \frac{-(-6) \pm \sqrt{(-6)^2 - 4(1)(5)}}{2(1)}\\\ \text{Simplify:} && x &=\frac{6 \pm \sqrt{36 - 20}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{16}}{2}\\\\text{Separate the two options:} && x &= \frac{6 + 4}{2} \ \text{y} \ x = \frac{6 -4}{2}\\\\text{Solve:} && x &= \frac{10}{2} = 5 \ \text{y} \ x = \frac{2}{2} = 1$

Respuesta: $x = 5$ y $x = 1$

c) $\text{Quadratic formula:} && x &= \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\\\\text{Plug in the values} \ a = -4, \ b = 1, \ c = 1 && x &= \frac{-1 \pm \sqrt{(1)^2 - 4(-4)(1)}}{2(-4)}\\\\text{Simplify:} && x &= \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 16}}{-8} = \frac{-1 \pm \sqrt{17}}{-8}\\\\text{Separate the two options:} && x &= \frac{-1 + \sqrt{17}}{-8} \ \text{y} \ x = \frac{-1 - \sqrt{17}}{-8}\\\\text{Solve:} && x &= -.39 \ \text{y} \ x = .64$

Respuesta: $x = -.39$ y $x = .64$

A menudo, cuando ingresamos los valores de los coeficientes en una fórmula cuadrática, terminamos con un número negativo dentro de la raíz cuadrada. Ya que la raíz cuadrada de un número negativo no da respuestas reales, decimos que la ecuación no tiene soluciones reales. En clases más avanzadas de matemáticas, aprenderás cómo trabajar con soluciones "complejas" (o "imaginarias") de las ecuaciones cuadráticas.

Ejemplo B

Utiliza la fórmula cuadrática para resolver la ecuación $x^2 + 2x + 7 = 0$ .

Solución

$\text{Quadratic formula:} && x &= \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\\\\text{Plug in the values} \ a = 1, \ b = 2, \ c = 7 && x &= \frac{-2 \pm \sqrt{(2)^2 - 4(1)(7)}}{2(1)}\\\\text{Simplify:} && x &= \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 28}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{-24}}{2}$

Respuesta: No hay soluciones reales.

Para aplicar la fórmula cuadrática, debemos asegurarnos que la ecuación esté escrita en su forma estándar. Para algunos problemas, eso significa que tenemos que comenzar por reescribir la ecuación.

Encontrar el Vértice de la Parábola con la Fórmula Cuadrática

Algunas veces, una fórmula te entrega mucha más información de la que estabas buscando. Por ejemplo, la fórmula cuadrática te da, además, una manera fácil para ubicar el vértice de una parábola.

Recuerda que la fórmula cuadrática nos indica las raíces o soluciones de la ecuación $ax^2 + bx + c = 0$ . Esas raíces son $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a},$ , y podemos reescribirlas como $x = \frac{-b}{2a} \pm \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}} {2a}.$

También recuerda que las raíces son simétricas con respecto al vértice. En la forma anterior, pudimos ver que las raíces de una ecuación cuadrática son simétricas alrededor de la coordenada $x-$ $\frac{-b}{2a}$ , porque son unidades $\frac{\sqrt{b^2 - 4ac}} {2a}$ de izquierda a derecha (recuerda el signo $\pm$ ) de la línea vertical $x = \frac{-b}{2a}$ .

Ejemplo C

En la ecuación $x^2 - 2x - 3 = 0$ , las raíces -1 y 3 están a 2 unidades de distancia de la línea vertical $x = 1$ , como podrás ver en el siguiente gráfico:

Mira este video si necesitas ayuda con los ejemplos anteriores.

Haz clic en la imagen de arriba para ver más contenido (requiere conexión a internet)

CK-12 Foundation: 1008 The Quadratic Formula

*Este video solo está disponible en inglés.

Vocabulario

Para una ecuación cuadrática en su forma estándar , $ax^2 + bx + c = 0$ , la fórmula cuadrática es de esta manera:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

La fórmula cuadrática nos dice las raíces o soluciones de la ecuación $ax^2 + bx + c = 0$ . Esas raíces son $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ , y las podemos reescribir como $x = \frac{-b}{2a} \pm \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}} {2a}.$

Las raíces son simétricas con respecto al vértice . En la forma anterior, podemos ver que las raíces de una ecuación cuadrática son simétricas alrededor de la coordenada $x-$ $\frac{-b}{2a}$ , porque son unidades $\frac{\sqrt{b^2 - 4ac}} {2a}$ de izquierda a derecha (recuerda el signo $\pm$ ) de la línea vertical $x = \frac{-b}{2a}$ .

Práctica Guiada

Resuelve las siguientes ecuaciones utilizando la fórmula cuadrática.

a) $x^2 - 6x = 10$

b) $-8x^2 = 5x + 6$

Solución

a) $\text{Re-write the equation in styard form:} && x^2 - 6x - 10 &= 0\\\\text{Quadratic formula:} && x &= \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\\\\text{Plug in the values} \ a = 1, \ b = -6, \ c = -10 && x &= \frac{-(-6) \pm \sqrt{(-6)^2 - 4(1)(-10)}}{2(1)}\\\\text{Simplify:} && x &= \frac{6 \pm \sqrt{36 + 40}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{76}}{2}\\\\text{Separate the two options:} && x &= \frac{6 + \sqrt{76}}{2} \ \text{y} \ x = \frac{6 - \sqrt{76}}{2}\\\\text{Solve:} && x &= 7.36 \ \text{y} \ x = -1.36$

Respuesta: $x = 7.36$ y $x = -1.36$

b) $\text{Re-write the equation in styard form:} && 8x^2+5x+6 &= 0\\\\text{Quadratic formula:} && x &= \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\\\\text{Plug in the values} \ a = 8, \ b = 5, \ c = 6 && x &= \frac{-5 \pm \sqrt{(5)^2 - 4(8)(6)}}{2(8)}\\\\text{Simplify:} && x &= \frac{-5 \pm \sqrt{25 - 192}}{16} = \frac{-5 \pm \sqrt{-167}}{16}$

Respuesta: no hay soluciones reales.

Práctica

Resuelve las siguientes ecuaciones cuadráticas utilizando la fórmula cuadrática.

$x^2 + 4x - 21 = 0$
$x^2 - 6x = 12$
$3x^2 - \frac{1}{2}x = \frac{3}{8}$
$2x^2 + x - 3 = 0$
$-x^2 - 7x + 12 = 0$
$-3x^2 + 5x = 2$
$4x^2 = x$
$x^2 + 2x + 6 = 0$
$5x^2 -2x + 100 = 0$
$100x^2 +10x + 70 = 0$

Prev Next

Fórmula Cuadrática

Mira esto

Orientación

Ejemplo A

Ejemplo B

Ejemplo C

Vocabulario

Práctica Guiada

Práctica

Licencia