Comparación de Métodos para Resolver Ecuaciones Cuadráticas

En esta parte del capítulo, aprenderás a elegir el mejor método (factorizar, sacar la raíz cuadrada, utilizar la fórmula cuadrática o completar el cuadrado) para resolver usos cotidianos que involucran ecuaciones cuadráticas.

Digamos que tú y un amigo comienzan a correr desde el mismo punto. Tú corres hacia el oeste y tu amigo hacia el sur. Después de dos horas, tú has corrido 10 millas. La distancia en ese punto entre tú y tu amigo era tres veces la distancia que corrió tu amigo más 2 millas. ¿Cómo podrías determinar las millas que corrió tu amigo? Al finalizar esta sección, podrás resolver problemas cotidianos de ecuaciones cuadráticas como el anterior.

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CK-12 Foundation: 1009S Solving Real-World Problems Using Quadratic Equations

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Orientación

En matemáticas, necesitarás resolver ecuaciones cuadráticas que describen problemas de aplicación o que son parte de problemas más complicados. Has aprendido cuatro formas de resolver ecuaciones cuadráticas:

Factorizar
Sacar la raíz cuadrada
Fórmula Cuadrática
Completar el cuadrado

Por lo general, tienes que decidir por ti mismo qué método utilizar. Sin embargo, aquí te mostramos algunas pautas respecto de qué métodos son mejores en diferentes situaciones.

La Factorización siempre es mejor si la expresión cuadrática es fácil de factorizar. Siempre vale la pena revisar si puedes factorizar porque es el método más rápido. Muchas expresiones no se pueden factorizar por lo que este método no se utiliza mucho en la práctica.

Sacar la raíz cuadrada se utiliza mejor cuando no hay un término $x-$ en la ecuación.

La Fórmula Cuadrática es el método que más se utiliza para resolver ecuaciones cuadráticas. Cuando no funciona resolver directamente sacando la raíz cuadrada o la factorización, éste es el método que mucha gente prefiere utilizar.

Completar el cuadrado se puede utilizar para resolver cualquier ecuación cuadrática. Este método, generalmente, no es tan bueno como utilizar la fórmula cuadrática (en temas de dificultad computacional), pero es muy útil si necesitas reescribir la función cuadrática de círculos, elipses e hipérbolas en su forma estándar (algo que harás en Algebra II, trigonometría, física, cálculo y mucho más).

Si utilizas la factorización o la fórmula cuadrática, asegúrate que la ecuación esté en su forma estándar.

Ejemplo A

Resuelve cada ecuación cuadrática.

a) $x^2 - 4x - 5 = 0$

b) $x^2 = 8$

c) $-4x^2 + x = 2$

d) $25x^2 - 9 = 0$

e) $3x^2 = 8x$

Solución

a) Esta expresión es fácil de factorizar, por lo que podemos realizar este método y aplicar la propiedad del producto cero:

$& \text{Factor:} && (x - 5)(x + 1) = 0\\\& \text{Apply zero-product property:} && x - 5 = 0 \quad \text{y} \quad x + 1 = 0\\\& \text{Solve:} && x = 5 \qquad \ \ \text{y} \quad x = -1$

Respuesta: $x = 5$ y $x = -1$

b) Ya que la expresión necesita el término $x$ sacaremos la raíz cuadrada:

Saca la raíz cuadrada de ambos lados: $x = \sqrt{8}$ y $x = - \sqrt{8}$

Respuesta: $x = 2.83$ y $x = -2.83$

c) Reescribe la ecuación en su forma estándar: $-4x^2 + x - 2 = 0$

No es tan aparente saber si la expresión se puede factorizar, por lo que utilizaremos la fórmula cuadrática:

$\text{Quadratic formula:} && x &= \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\\\\text{Plug in the values} \ a = -4, \ b = 1, \ c = -2: && x &= \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(-4)(-2)}}{2(-4)}\\\\text{Simplify:} && x &= \frac{-1 \pm \sqrt{1 - 32}}{-8} = \frac{-1 \pm \sqrt{-31}}{-8}$

Respuesta: No hay solución real.

d) Este problema se puede resolver fácilmente ya sea con la factorización o con la obtención de la raíz cuadrada. En este caso, sacaremos la raíz cuadrada:

$\text{Add} \ 9 \ \text{to both sides of the equation:} && 25x^2 &= 9\\\\text{Divide both sides by} \ 25: && x^2 &= \frac{9}{25}\\\\text{Take the square root of both sides:} && x &= \sqrt{\frac{9}{25}} \ \text{y} \ x=-\sqrt{\frac{9}{25}}\\\\text{Simplify:} && x &= \frac{3}{5} \ \text{y} \ x=-\frac{3}{5}$

Respuesta: $x = \frac{3}{5}$ y $x = -\frac{3}{5}$

e) $\text{Re-write the equation in styard form:} && 3x^2 - 8x &= 0\\\\text{Factor out common} \ x \ \text{term:} && x(3x-8) &= 0\\\\text{Set both terms to zero:} && x &= 0 \ \text{y} \ 3x = 8\\\\text{Solve:} && x &= 0 \ \text{y} \ x = \frac{8}{3} = 2.67$

Respuesta: $x = 0$ y $x = 2.67$

Resolución de problemas cotidianos completando el cuadrado

En la sección anterior, aprendiste que un objeto que se deja caer se ve afectado por la gravedad. La ecuación para su altura con respecto al tiempo se define por $y = \frac{1}{2}gt^2 + y_0$ , donde $y_0$ representa la altura inicial del objeto y $g$ es el coeficiente de gravedad en la tierra, que es igual a $-9.8 \ m/s^2$ o $-32 \ ft/s^2$ .

Por otro lado, si un objeto se lanza directamente hacia arriba o directamente hacia abajo en el aire, tiene una velocidad vertical inicial. Este término se representa, generalmente, por la notación $v_{0y}$ . Su valor es positivo si el objeto se lanza directamente hacia arriba en el aire y es negativo si el objeto se lanza directamente hacia abajo. La ecuación para la altura del objeto en este caso es

$y = \frac{1}{2}gt^2 + v_{0y}t + y_0$

Ingresa el valor apropiado de $g$ y convierte esta ecuación en

$y = -4.9t^2 + v_{0y}t + y_0$ si deseas la altura en metros.

$y = -16t^2 + v_{0y}t + y_0$ if si deseas la altura en pies.

Ejemplo B

Disparan una flecha hacia arriba desde una altura de 2 metros con una velocidad de 50 m/s.

a) ¿Cuan alto estará la flecha 4 segundos después de ser disparada? ¿Después de 8 segundos?

b) ¿Cuándo la flecha tocará el suelo otra vez?

c) ¿Cuál es la altura máxima que alcanzará la flecha y en qué momento ocurrirá?

Solución

Ya que nos dieron la velocidad en m/s, utiliza: $y = -4.9t^2 + v_{0y}t + y_0$

Sabemos que $v_{0y} = 50 \ m/s$ y que $y_0 = 2$ metros, por lo que: $y = -4.9t^2 + 50t + 2$

a) Para encontrar la altura de la flecha 4 segundos después de ser disparada, ingresamos $t = 4$ :

$y & = -4.9(4)^2 + 50(4) + 2\\\& = -4.9(16) + 200 + 2 = \underline{\underline{123.6 \ meters}}$

Ingresamos $t = 8$ :

$y & = -4.9(8)^2 + 50(8) + 2\\\& = -4.9(64) + 400 + 2 = \underline{\underline{88.4 \ meters}}$

b) La altura de la flecha en el suelo es $y = 0$ , por lo que : $0 = -4.9t^2 + 50t + 2$

Resuelve la $t$ completando el cuadrado:

$-4.9t^2 + 50t & = -2\\\ -4.9(t^2 - 10.2t) & = -2\\\ t^2 - 10.2t & = 0.41\\\t^2 - 2(5.1)t + (5.1)^2 & = 0.41 + (5.1)^2\\\(t - 5.1)^2 & = 26.43\\\t - 5.1 & = 5.14 \ \text{y} \ t - 5.1 = -5.14\\\t & = \underline{\underline{10.2}} \ sec \ \text{y} \ t = -0.04 \ sec$

La flecha tocará el suelo alrededor de 10,2 segundos después de ser disparada.

c) Si graficamos la altura de la flecha con respecto al tiempo, obtendríamos un parábola invertida $(a < 0)$ . La altura máxima y el tiempo en que sucede es, en realidad, el vértice de la parábola: $(t, h).$

$& \text{We re-write the equation in vertex form:} && y = -4.9t^2 + 50t + 2\\\& && y - 2 = -4.9t^2 + 50t\\\& && y - 2 = -4.9(t^2 - 10.2t)\\\& \text{Complete the square:} && y - 2 - 4.9(5.1)^2 = -4.9 \left( t^2 - 10.2t + (5.1)^2 \right)\\\& && y - 129.45 = -4.9(t - 5.1)^2$

El vértice está en (5,1, 129,45). En otras palabras, cuando $t = 5.1 \ seconds$ , la altura es $y = 129 \ meters$ .

Otro tipo de problema de aplicación que se puede resolver utilizando ecuaciones cuadráticas es uno donde dos objetos se alejan uno del otro en direcciones perpendiculares. Aquí hay un ejemplo de este tipo de problema.

Ejemplo C

Dos autos dejan una intersección. Un auto viaja hacia el norte y el otro hacia el este. Cuando el auto que viaja hacia el norte ha recorrido 30 millas, la distancia entre los autos era de 10 millas más dos veces la distancia viajada por el auto que se dirige al este. Encuentra la distancia entre los autos en ese momento.

Solución

Definamos $x =$ la distancia viajada por el auto que va hacia el este.

Luego $2x + 10 =$ la distancia entre ambos autos.

Hagamos un dibujo:

Podemos utilizar el Teorema de Pitágoras para encontrar la $x$ en la ecuación:

$x^2 + 30^2 = (2x + 10)^2$

Expande el paréntesis y simplifica:

$x^2 + 900 & = 4x^2 + 40x + 100\\\800 & = 3x^2 + 40x$

Resuelve completando el cuadrado:

$\frac{800}{3} &= x^2 + \frac{40}{3}x\\\\frac{800}{3} + \left ( \frac{20}{3} \right )^2 &= x^2 + 2\left ( \frac{20}{3} \right )x + \left ( \frac{20}{3} \right )^2\\\\frac{2800}{9} &= \left ( x + \frac{20}{3} \right )^2\\\ x + \frac{20}{3} &= 17.6 \ \text{y} \ x + \frac{20}{3} =-17.6\\\x &= 11 \ \text{y} \ x = -24.3$

Ya que solo las distancias positivas tienen sentido, la distancia entre los dos autos es: $2(11) + 10 = 32 \ miles$

Resolución de Aplicaciones utilizando Funciones Cuadráticas con cualquier método

Aquí hay un problema de aplicación que surge de la relación de números y de aplicaciones geométricas.

Ejemplo D

El producto de dos enteros consecutivos positivos es 156. Encuentra los enteros.

Solución

Define: Definamos $x =$ el entero menor

Luego $x + 1 =$ el siguiente entero

Traduce: El producto de los dos números es 156. Podemos escribir la ecuación:

$x(x + 1) = 156$

Resuelve:

$x^2 + x & = 156\\\x^2 + x - 156 & = 0$

Aplica la fórmula cuadrática con: $a = 1, \ b = 1, \ c = -156$

$x & = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(1)(-156)}}{2(1)}\\\x & = \frac{-1 \pm \sqrt{625}}{2} = \frac{-1 \pm 25}{2} \\\x & = \frac{-1 + 25}{2} \quad \text{y} \quad x = \frac{-1 - 25}{2}\\\x & = \frac{24}{2} = 12 \quad \text{y} \quad x = \frac{-26}{2} = -13$

Ya que estamos buscando enteros positivos, queremos que $x = 12$ . Por lo que los números son 12 y 13.

Revisa: $12 \times 13 = 156$ . La respuesta es correcta.

Ejemplo E

Suzie quiere construir un jardín que tenga tres secciones rectangulares separadas. Quiere cerrar con vallas alrededor de todo el jardín y entre cada sección como se muestra. El terreno es dos veces tan largo como lo es ancho y el área total es $200 ft^2$ . ¿Cuántas vallas necesita Suzie para cerrar?

Solución

Define: Dejemos $x =$ el ancho del terreno.

Luego $2x =$ la longitud del terreno

Traduce: El área del rectángulo es $A = \text{length} \times \text{width}$ , por lo que

$x(2x) = 200$

Resuelve: $2x^2 = 200$

Resuelve sacando la raíz cuadrada:

$x^2 & = 100\\\x & = \sqrt{100} \ \text{y} \ x = - \sqrt{100}\\\x & = 10 \ \text{y} \ x = - 10$

Tomamos $x = 10$ ya que solo las dimensiones positivas tienen sentido.

El terreno del lugar es $10 \ feet \times 20 \ feet$ .

Para cerrar el jardín con vallas de la forma que Suzie quiere, necesitamos 2 longitudes y 4 anchos $= 2(20) + 4(10) = 80$ pies de vallas.

Revisa: $10 \times 20 = 200 \ ft^2$ y $2(20) + 4(10) = 80 \ feet$ . La respuesta es correcta.

Mira este video si necesitas ayuda con los ejemplos anteriores.

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Vocabulario

Para una ecuación cuadrática en su forma estándar , $ax^2 + bx + c = 0$ , la fórmula cuadrática luce de esta manera:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

Un trinomio cuadrado perfecto tiene la forma $a^2+2(ab)+b^2$ , que se factoriza en $(a+b)^2$ .

Práctica Guiada

1. Se encierra un triángulo isósceles en un cuadrado para que su base coincida con uno de los lados del cuadrado y la punta del triángulo toque el lado opuesto del cuadrado. Si el área del triángulo es $20 \ in^2$ ¿cuál es la longitud de un lado del cuadrado?

2. La longitud de una piscina rectangular es 10 metros más que su ancho. El área de la piscina es 875 metros cuadrados. Encuentra las dimensiones de la piscina.

Soluciónes:

1. Haz un dibujo:

Define: dejemos $x =$ base a la base del triángulo

Luego $x =$ altura del triángulo

Traduce: El área del triángulo es $\frac{1}{2} \times base \times height$ , por lo que $\frac{1}{2} \cdot x \cdot x = 20$

Resuelve: $\frac{1}{2}x^2 = 20$

Resuelve sacando la raíz cuadrada:

$x^2 & = 40\\\x & = \sqrt{40} \ \text{y} \ x = - \sqrt{40}\\\x & = 6.32 \ \text{y} \ x = -6.32$

El lado del cuadrado es 6,32 pulgadas. Eso significa que el área del cuadrado es $(6.32)^2 = 40 \ in^2$ , dos veces tan grande como el área del triángulo.

Revisa: Tiene sentido que el área del cuadrado sea dos veces que la del triángulo. Si miras la figura, te darás cuenta que pueden caber dos triángulos dentro del cuadrado.

2. Haz un dibujo:

Define: Dejemos $x =$ el ancho de la piscina

Luego $x + 10 =$ la longitud de la piscina

Traduce: El área del rectángulo es $A = \text{length} \times \text{width}$ , por lo que tenemos $x(x +10) = 875$ .

Resuelve:

$x^2 + 10x &= 875\\\ x^2 + 10x - 875 &= 0$

Aplica la fórmula cuadrática con $a = 1, \ b = 10$ y $c = -875$

$x & = \frac{-10 \pm \sqrt{(10)^2 - 4(1)(-875)}}{2(1)}\\\x & = \frac{-10 \pm \sqrt{100 + 3500}}{2}\\\x & = \frac{-10 \pm \sqrt{3600}}{2} = \frac{-10 \pm 60}{2}\\\x & = \frac{-10 + 60}{2} \ \text{y} \ x = \frac{-10 - 60}{2}\\\x & = \frac{50}{2} = 25 \ \text{y} \ x = \frac{-70}{2} = -35$

Ya que la dimensiones de la piscina deben ser positivas, queremos $x = 25 \ meters$ . Por lo tanto, la piscina es de $25 \ meters \times 35 \ meters$ .

Revisa: $25 \times 35 = 875 \ m^2$ . La respuesta es correcta.

Práctica

Resuelve las siguientes ecuaciones cuadráticas utilizando el método que quieras.

$x^2 - x = 6$
$x^2 - 12 = 0$
$-2x^2 + 5x - 3 = 0$
$x^2 + 7x - 18 = 0$
$3x^2 + 6x = - 10$
$-4x^2 + 4000x = 0$
$-3x^2 + 12x + 1 = 0$
$x^2 + 6x + 9 = 0$
$81x^2 + 1 = 0$
$-4x^2 + 4x = 9$
$36x^2 - 21 = 0$
$x^2 - 2x - 3 = 0$
El producto de dos enteros consecutivos es 72. Encuentra los dos números.
El producto de dos enteros impares consecutivos es 1 menos que 3 veces su suma. Encuentra los enteros.
La longitud de un rectángulo excede su ancho por 3 pulgadas. El área del rectángulo es 70 pulgadas cuadradas. Encuentra sus dimensiones.
Angel quiere cortar una pieza cuadrada de la esquina de una pieza rectangular de madera contrachapada. La pieza más grande de madera es de $4 \ feet \times 8 \ feet$ y la parte cortada es $\frac{1}{3}$ del área total de la hoja de madera contrachapada. ¿Cuál es la longitud del lado del cuadrado?
Mike quiere cerrar con vallas tres lados de un patio rectangular que es adyacente a la parte de atrás de su casa. El área del patio es de $192 \ ft^2$ y la longitud es 4 pies más largo que el ancho. Encuentra cuántas vallas necesitará Mike.
Sam lanza un huevo directamente hacia abajo desde una altura de 25 pies. La velocidad inicial del huevo es de 16 pies/seg. ¿Cuánto demora el huevo en llegar al suelo?
Amanda y Dolvin dejan su casa al mismo tiempo. Amanda camina hacia el sur y Dolvin va en bicicleta hacia el este. Media hora después, ambos están 5,5 millas separados el uno del otro y Dolvin ha recorrido tres millas más que la distancia que recorrió Amanda. ¿Qué tan lejos caminó Amanda y qué tanto lo hizo Dolvin en bicicleta?

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