Soluciones con el Uso del Discriminante

En esta parte del capítulo, aprenderás cómo encontrar el discriminante de una ecuación cuadrática. Lo usarás para diferenciar la naturaleza de las soluciones de la ecuación. Luego, resolverás aplicaciones cotidianas con la utilización de funciones cuadráticas y la interpretación de su discriminante.

Digamos que tienes una ecuación cuadrática como $x^2 - 3x + 1 = 0$ ¿Cómo podrías determinar cuántas soluciones reales tiene sin resolverla realmente? Al finalizar esta sección, podrás encontrar e interpretar el discriminante de una ecuación cuadrática como la anterior.

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CK-12 Foundation: 1010S The Discriminant

*Este video solo está disponible en inglés.

Orientación

En la fórmula cuadrática , $x=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ , la expresión dentro de la raíz cuadrada es conocida como el discriminante. El discriminante se puede utilizar para analizar los tipos de soluciones de una ecuación cuadrática sin resolverla realmente. Aquí te mostramos cómo:

Si $b^2-4ac>0$ , la ecuación tiene dos soluciones reales separadas.
Si $b^2-4ac<0$ , la ecuación sólo tiene soluciones no reales.
Si $b^2-4ac=0$ , la ecuación tiene una solución real, una raíz doble.

Encontrar el discriminante de una ecuación cuadrática.

Para encontrar el discriminante de una ecuación cuadrática, calculamos $D=b^2-4ac$ .

Ejemplo A

Encuentra el discriminante de cada ecuación cuadrática. Luego, diferencia el número de soluciones reales que habrá sin resolver la ecuación cuadrática.

a) $x^2-5x+3=0$

b) $4x^2-4x+1=0$

c) $-2x^2+x=4$

Solución

a) Ingresa $a = 1, \ b = -5$ y $c = 3$ en la fórmula del discriminante: $D=(-5)^2-4(1)(3)=13$ $D > 0$ , por lo que hay dos soluciones reales.

b) Ingresa $a = 4, \ b = -4$ y $c = 1$ en la fórmula del discriminante: $D=(-4)^2-4(4)(1)=0$ $D = 0$ , por lo que hay una solución real.

c) Reescribe la ecuación en su forma estándar: $-2x^2+x-4=0$

Ingresa $a = -2, \ b = 1$ y $c = -4$ en la fórmula del discriminante: $D=(1)^2-4(-2)(-4)=-31$ $D < 0$ , por lo que no hay soluciones reales.

Interpretar el discriminante de una ecuación cuadrática

El signo del discriminante nos dice la naturaleza de las soluciones (o raíces) de una ecuación cuadrática. Podemos obtener dos soluciones reales distintas si $D > 0$ , dos soluciones no reales si $D < 0$ o una solución (llamada raíz doble) si $D = 0$ . Recuerda que el número de soluciones de una ecuación cuadrática nos dice cuántas veces su gráfico cruza el eje $x-$ .Si $D > 0$ , el gráfico cruza el eje $x-$ en dos lugares; si $D = 0$ lo cruza en un lugar; si $D < 0$ nunca lo cruza:

Ejemplo B

Determina la naturaleza de las soluciones de cada ecuación cuadrática.

a) $4x^2-1=0$

b) $10x^2-3x=-4$

c) $x^2-10x+25=0$

Solución

Utiliza el valor del discriminante para determinar la naturaleza de las soluciones de la ecuación cuadrática.

a) Ingresa $a = 4, \ b = 0$ y $c = -1$ en la fórmula del discriminante: $D=(0)^2-4(4)(-1)=16$

El discriminante es positivo, por lo que la ecuación tiene dos soluciones reales distintas.

Las soluciones de la ecuación son: $\frac{0 \pm \sqrt{16}}{8}=\pm \frac{4}{8}=\pm \frac{1}{2}$

b) Reescribe la ecuación en su forma estándar: $10x^2-3x+4=0$

Ingresa $a = 10, \ b = -3$ y $c = 4$ en la fórmula del discriminante: $D=(-3)^2-4(10)(4)=-151$

El discriminante es negativo, por lo que la ecuación tiene dos soluciones no reales.

c) Ingresa $a = 1, \ b = -10$ y $c = 25$ en la fórmula del discriminante: $D=(-10)^2-4(1)(25)=0$

El discriminante es 0, por lo que la ecuación tiene una raíz doble.

La solución de la ecuación es: $\frac{10 \pm \sqrt{0}}{2}=\frac{10}{2}=5$

Si el discriminante es un cuadrado perfecto, entonces las soluciones de la ecuación no solo son reales, sino que también son racionales. Si el discriminante es positivo pero no es un cuadrado perfecto, entonces las soluciones de la ecuación son reales pero irracionales.

Ejemplo C

Determina la naturaleza de las soluciones de cada ecuación cuadrática.

a) $2x^2+x-3=0$

b) $5x^2-x-1=0$

Solución

Utiliza el discriminante para determinar la naturaleza de las soluciones.

a) Ingresa $a = 2, \ b = 1$ y $c = -3$ en la fórmula del discriminante: $D=(1)^2-4(2)(-3)=25$

El discriminante es un cuadrado perfecto positivo, por lo que las soluciones son dos números racionales reales.

Las soluciones de la ecuación son: $\frac{-1 \pm \sqrt{25}}{4}=\frac{-1 \pm 5}{4}$ , por lo que $x = 1$ y $x=-\frac{3}{2}$ .

b) Ingresa $a = 5, \ b = -1$ y $c = -1$ en la fórmula del discriminante: $D=(-1)^2-4(5)(-1)=21$

El discriminante es positivo pero no es un cuadrado perfecto, por lo que las soluciones son dos números irracionales reales..

Las soluciones de la ecuación son: $\frac{1 \pm \sqrt{21}}{10}$ , por lo que $x \approx 0.56$ y $x \approx -0.36$ .

Resolución de Problemas Cotidiano utilizando funciones cuadráticas e interpretando el discriminante

Has visto que si calculas el discriminante encontrarás qué tipos de soluciones tiene una ecuación cuadrática. Conocer los tipos de soluciones es muy útil en los problemas de aplicación. Considera la siguiente situación.

Ejemplo D

Marcus patea una pelota de fútbol para marcar un gol de campo. La altura de la pelota se da por la ecuación $y=-\frac{32}{6400}x^2+x$ . Si el poste del arco es de 10 pies de altura, ¿podrá patear la pelota lo suficientemente alto para que pase por encima del poste? ¿Cuál es la distancia más lejana desde donde Marcus puede patear la pelota y aun así hacerla pasar por encima del poste?

Solución

Define: Dejemos $y =$ la altura de la pelota en pies.

Dejemos $x =$ distancia desde la pelota hasta el poste del arco.

Traduce: queremos saber si es posible que la altura de la pelota sea igual a 10 pies en una distancia real desde el poste del arco.

Resuelve:

$&\text{Write the equation in styard form:} && -\frac{32}{6400}x^2+x-10= 0\\\&\text{Simplify:} && -0.005x^2+x-10 = 0\\\&\text{Find the discriminant:} && D =(1)^2-4(-0.005)(-10)=0.8$

Ya que el discriminante es positivo, sabemos que es posible que la pelota pase por encima del poste si Marcus la patea desde una distancia $x$ aceptable desde el poste del arco.

Para encontrar el valor de $x$ que servirá, necesitamos utilizar la fórmula cuadrática:

$x=\frac{-1 \pm \sqrt{0.8}}{-0.01}=189.4 \ feet \ \text{or} \ 10.56 \ feet$

¿Qué significa esa respuesta? Significa que si Marcus está exactamente a 189,4 pies o exactamente a 10,56 pies de los postes del arco, la pelota apenas pasará por encima de ellos. ¿Estas son solo distancias que funcionarán? No, esas son solo las distancias en que la pelota estará exactamente a 10 pies de altura, pero entre esas dos distancias, la pelota estará incluso mucho más arriba que eso. (Viaja en una parábola abierta hacia abajo desde el lugar en que la patean hasta el punto dónde toca el suelo) Esto significa que Marcus hará el gol si él se ubica en cualquier parte entre 10,56 y 189,4 pies desde los postes del arco.

Mira este video si necesitas ayuda con los ejemplos anteriores

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CK-12 Foundation: 1010 The Discriminant

*Este video solo está disponible en inglés.

Vocabulario

En la fórmula cuadrática , $x=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ , a la expresión dentro de la raíz cuadrada se le llama discriminante. El discriminante se puede utilizar para analizar los tipos de soluciones de una ecuación cuadrática sin tener que resolverla realmente. Aquí te mostramos cómo:

Si $b^2-4ac>0$ , la ecuación tiene dos soluciones reales separadas.
Si $b^2-4ac<0$ , la ecuación solo tiene soluciones no reales.
Si $b^2-4ac=0$ , la ecuación tiene una solución real, una raíz doble.

Práctica Guiada

Emma y Brandon tienen una fábrica que produce cascos de bicicleta. Su contador les dice que su ganancia por año se da por la función $P=-0.003x^2+12x+27760$ , donde $x$ es el número de cascos producidos. Su meta es hacer una ganancia de $40.000 este año. ¿Es posible?

Solución

Queremos saber si es posible que la ganancia iguale a $40,000.

$40000=-0.003x^2+12x+27760$

Escribe la ecuación en su forma estándar: $-0.003x^2+12x-12240=0$

Encuentra el discriminante: $D=(12)^2-4(-0.003)(-12240)=-2.88$

Ya que el discriminante es negativo, sabemos que no es posible que Emma y Brandon ganen $40.000 este año, no importa cuántos cascos fabriquen.

Practice

Encuentra el discriminante de cada ecuación cuadrática.

$2x^2-4x+5=0$
$x^2-5x=8$
$4x^2-12x+9=0$
$x^2+3x+2=0$
$x^2-16x=32$
$-5x^2+5x-6=0$
$x^2+4x=2$
$-3x^2+2x+5=0$

Determina la naturaleza de las soluciones de cada ecuación cuadrática.

$-x^2+3x-6=0$
$5x^2=6x$
$41x^2-31x-52=0$
$x^2-8x+16=0$
$-x^2+3x-10=0$
$x^2-64=0$
$3x^2=7$
$x^2+30+225=0$

Sin resolver la ecuación, determina si la solución será racional o irracional.

$x^2=-4x+20$
$x^2+2x-3=0$
$3x^2-11x=10$
$\frac{1}{2}x^2+2x+\frac{2}{3}=0$
$x^2-10x+25=0$
$x^2=5x$
$2x^2-5x=12$
Marty está fuera del edificio de su departamento. Necesita darle a su compañera de habitación, Yolanda, su celular, pero él no tiene tiempo para subir corriendo las escaleras hasta el tercer piso y poder dárselo. Él lo lanza directamente hacia arriba con una velocidad vertical de 55 pies/segundo. ¿El teléfono alcanzará a llegar a ella si Yolanda está 36 pies más arriba? (Pista: La ecuación para la altura es: $y = -32t^2 + 55t + 4$ .)
25. Bryson tiene un negocio que fabrica y vende neumáticos. El ingreso bruto de la venta de neumáticos en el mes de julio se da por la función $R=x(200-0.4x)$ donde $x$ es el número de neumáticos vendidos. ¿Podrá el negocio de Bryndon generar un ingreso de $20.000 en el mes de julio?

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