Modelos Lineales, Exponenciales y Cuadráticos

En esta parte del capítulo, aprenderás a identificar un tipo de función al examinar la diferencia o la razón de diferentes valores de la variable dependiente.

Digamos que tienes una tabla de valores x y y ¿Cómo podrías determinar si esos valores representan una función lineal, una función exponencial o una función cuadrática? Al finalizar esta sección, podrás identificar funciones utilizando diferencias y razones entre sus valores.

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CK-12 Foundation: 1011S Linear, Exponential y Quadratic Models

*Este video solo está disponible en inglés.

Orientación

En este curso hemos aprendido tres tipos de funciones: lineal, cuadrática y exponencial.

Las funciones lineales tienen la forma $y=mx+b$ .
Las funciones cuadráticas tienen la forma $y=ax^2+bx+c$ .
Las funciones exponenciales tienen la forma $y=a \cdot b^x$ .

En la vida real, la función que describe algunas situaciones físicas no se da de antemano; se debe encontrar antes de que el problema sea resuelto. Por ejemplo, la información científica como las observaciones de movimientos planetarios son, por lo general, recopiladas como un conjunto de medidas establecidas en una tabla. Parte del trabajo de los científicos es resolver qué función es más apropiada para analizar la información. En esta sección, aprenderás algunos métodos que se utilizan para identificar qué función describe la relación entre las variables de un problema.

Identificación de Funciones Utilizando Diferencias o Razones

Un método para identificar funciones es conocer la diferencia o la razón de diferentes valores de la variable dependiente. Por ejemplo, si la diferencia entre los valores de la variable dependiente es la misma cada vez que cambiamos la variable independiente por la misma cantidad, la función es lineal .

Ejemplo A

Determina si la función representada por la siguiente tabla de valores es lineal.

$x$	$y$
$-2$	–4
–1	–1
0	2
1	5
2	8

Si tomamos la diferencia entre los valores $y-$ consecutivos, nos damos cuenta que cada vez que los valores $x-$ aumentan en uno, los valores $y-$ siempre aumentan en 3.

Ya que la diferencia es siempre la misma, la función es lineal.

Cuando miramos la diferencia de los valores $y-$ tenemos que asegurarnos que examinamos las entradas en las que los valores $x-$ aumentan por la misma cantidad.

Por ejemplo, examina los valores en esta tabla:

$x$	$y$
0	5
1	10
3	20
4	25
6	35

A primera vista, esta función puede no parecer lineal porque la diferencia en los valores $y-$ no es siempre la misma. Pero si miramos más de cerca, podemos ver que cuando el valor $y-$ aumenta en 10 en vez de 5 es porque el valor $x-$ aumenta en 2 en vez de 1. Cuando sea que el valor $x-$ aumenta en la misma cantidad, el valor $y-$ también lo hace, por lo que la función es lineal.

Otra forma de ver esto está en la notación matemática. Podemos decir que una función es lineal si $\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$ es siempre igual para cualquiera de los dos pares de valores $x-$ y $y-$ Fíjate que la expresión que utilizamos aquí es simplemente la definición de la pendiente de una recta.

Las diferencias también se utilizan para identificar funciones cuadráticas. En una función cuadrática, cuando aumenta el valor $x-$ por la misma cantidad, la diferencia entre los valores $y-$ no será la misma. Sin embargo, la diferencia de las diferencias de los valores $y-$ será la misma.

Aquí hay algunos ejemplos de relaciones cuadráticas representadas por tablas de valores:

En esta función cuadrática , $y=x^2$ , cuando aumentamos el valor $x-$ en uno, el valor de $y$ aumenta en diferentes valores. Sin embargo, aumenta en una razón constante, por lo que la diferencia de diferencias es siempre 2.

En esta función cuadrática , $y=2x^2-3x+1$ ,cuando aumentamos el valor de $x-$ en uno, el valor de $y$ en uno, el valor de $y$ aumenta en diferentes valores. Sin embargo, el aumento es constante: la diferencia de la diferencia es siempre 4.

Para identificar la función exponencial, utilizamos las razones en vez de las diferencias. Si la razón entre los valores de la variable dependiente es la misma cada vez que cambiamos la variable independiente por la misma cantidad, la función es exponencial.

Ejemplo B

Determine si la función representada en cada tabla de valores es exponencial.

a) Si tomamos la razón de los valores $y-$ consecutivos, podemos ver que cada vez que el valor $x-$ aumenta en uno, el valor $y-$ se multiplica por 3. Ya que la razón es siempre la misma, la función es exponencial.

b) Si tomamos la razón de los valores $y-$ consecutivos, podemos ver que cada vez que el valor $x-$ aumenta en uno, el valor $y-$ se multiplica por $\frac{1}{2}$ . Ya que la razón es siempre la misma, la función es exponencial.

Escribir Ecuaciones para las Funciones

Una vez que identificamos qué tipo de función es apropiada para los valores dados, podemos escribir una ecuación para la función comenzando con la forma general de ese tipo de función.

Ejemplo C

Determina qué tipo de función representan los valores de la siguiente tabla.

$x$	$y$
0	5
1	1
2	-3
3	-7
4	-11

Solución

Primero revisemos la diferencia de los valores $y$ consecutivos..

Si tomamos la diferencia entre los valores $y-$ consecutivos, podemos ver que cada vez que los valores $x-$ aumentan en uno, el valor $y-$ siempre disminuye en 4. Ya que la diferencia es siempre la misma, la función es lineal.

Para encontrar la ecuación de la función, comenzamos con la forma general de la función lineal: $y=mx+b$ . Ya que $m$ es la pendiente de la línea, también es la cantidad por la que $y$ aumenta cada vez que el valor de $x$ aumenta en uno. La constante $b$ es el valor de la función cuando $x = 0$ . Por lo tanto, la función es $y=-4x+5$ .

Ejemplo D

Determina qué tipo de función representan los valores de la siguiente tabla.

$x$	$y$
0	0
1	5
2	20
3	45
4	80
5	125
6	180

Solución

Aquí, la diferencia entre los valores $y-$ consecutivos no es constante, por lo que la función no es lineal. Miremos más de cerca esas diferencias.

$x$	$y$
0	0
1	5	$5-0=5$
2	20	$20-5=15$
3	45	$45-20=25$
4	80	$80-45=35$
5	125	$125-80=45$
6	180	$180-125=55$

Cuando el valor de $x-$ aumenta en uno, la diferencia entre los valores $y-$ aumenta en 10 cada vez. Ya que la diferencia de las diferencias es constante, la función que describe este conjunto de valores es cuadrática.

Para encontrar la ecuación de la función que representan estos valores, comenzamos con la forma general de la función cuadrática: $y=ax^2+bx+c$ .

Necesitamos utilizar estos valores en la tabla para encontrar los valores de las constantes : $a, b$ y $c$ .

El valor de $c$ representa el valor de la función cuando $x = 0$ , por lo que $c = 0$ .

$\text{Plug in the point} \ (1, 5): && 5 &= a+b\\\\text{Plug in the point} \ (2, 20): && 20 &= 4a+2b \Rightarrow 10=2a+b\\\\text{To find} \ a \ \text{y} \ b, \text{we solve the system of equations:} && 5 &= a+b\\\&& 10 &= 2a+b\\\\text{Solve the first equation for} \ b: && 5 &= a+b \Rightarrow b=5-a\\\\text{Plug the first equation into the second:} && 10 &= 2a+5-a\\\\text{Solve for} \ a \ \text{y} \ b && a &= 5 \ \text{y} \ b=0$

Por lo tanto, la ecuación de la función cuadrática es $y=5x^2$ .

Mira este video si necesitas ayuda con los ejemplos anteriores

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Vocabulario

Si la diferencia de los valores $y-$ es siempre la misma, la función es lineal.

Si la diferencia de las diferencias de los valores $y-$ es la misma, la función es cuadrática.

Si la razón de los valores $y-$ es siempre la misma, la función es exponencial.

Práctica Guiada

Determina qué tipo de función representan los valores de la siguiente tabla.

$x$	$y$
0	400
1	500
2	25
3	6.25
4	1.5625

Solución

Las diferencias entre los valores $y-$ consecutivos no son las mismas, y las diferencias entre esas diferencias no son las mismas tampoco. Por tanto, es mejor revisar las razones.

Cada vez que el valor $x-$ aumenta en uno, el valor $y-$ se multiplica por $\frac{1}{4}$ . Ya que la razón es siempre la misma, la función es exponencial.

Para encontrar la ecuación de la función que representan estos valores, comenzamos con la forma general de la función exponencial $y=a \cdot b^x$ .

Aquí $b$ es la razón entre los valores de $y$ cada vez que $x$ aumenta en uno. La constante $a$ es el valor de la función cuando $x = 0$ . Por lo tanto, la función es $y=400 \left( \frac{1}{4} \right)^x$ .

Practice

Determina si la información de las siguientes tablas se puede representar en una función lineal.

$x$	$y$
$-4$	10
-3	7
-2	4
-1	1
0	-2
1	-5

$x$	$y$
$-2$	4
-1	3
0	2
1	3
2	6
3	11

$x$	$y$
0	50
1	75
2	100
3	125
4	150
5	175

Determina si la información de las siguientes tablas se puede representar con una función cuadrática.

$x$	$y$
$-10$	10
-5	2.5
0	0
5	2.5
10	10
15	22.5

$x$	$y$
1	4
2	6
3	6
4	4
5	0
6	-6

$x$	$y$
$-3$	-27
-2	-8
-1	-1
0	0
1	1
2	8
3	27

Determina si la información de las siguientes tablas se puede representar con una función exponencial.

$x$	$y$
0	200
1	300
2	1800
3	8300
4	25800
5	62700

$x$	$y$
0	120
1	180
2	270
3	405
4	607.5
5	911.25

$x$	$y$
0	4000
1	2400
2	1440
3	864
4	518.4
5	311.04

Determina qué tipo de función representa los valores de las siguientes tablas y encuentra una ecuación para cada función.

$x$	$y$
0	400
1	500
2	625
3	781.25
4	976.5625

$x$	$y$
$-9$	-3
-7	-2
-5	-1
-3	0
-1	1
1	2

$x$	$y$
$-3$	14
-2	4
-1	-2
0	-4
1	-2
2	4
3	14

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