Aplicación de los Modelos de Función

En esta parte del capítulo, aprenderás cómo realizar la regresión exponencial y cuadrática para encontrar las curvas de las ecuaciones que son apropiadas para los conjuntos de puntos no lineales. También resolverás problemas cotidianos con la comparación de modelos de función.

Digamos que tienes una tabla de valores que muestra el déficit de EE. UU para cada año desde el año 2000 al 2010. ¿Cómo podrías utilizar la información en la tabla para estimar el déficit del año 2015? Al finalizar esta sección, podrás realizar regresiones para ejemplificar situaciones cotidianas como la anterior.

Intenta esto

Si no tienes una calculadora gráfica, existen recursos disponibles en Internet para encontrar líneas y curvas de ajuste. Por ejemplo, la applet en http://science.kennesaw.edu/~plaval/applets/LRegression.html realiza regresión lineal sobre un conjunto de puntos de datos; el que está en http://science.kennesaw.edu/~plaval/applets/QRegression.html realiza regresión cuadrática; y el que está en http://science.kennesaw.edu/~plaval/applets/ERegression.html realiza regresión exponencial. Además, programas como Microsoft Office u Open Office tienen la habilidad de crear gráficos y trazados que incluyen líneas y curvas de ajuste.

*Programas sólo disponibles en inglés

Mira esto

Haz clic en la imagen de arriba para ver más contenido (requiere conexión a internet)

CK-12 Foundation: 1012S Comparing Function Models Using Regression

*Este video solo está disponible en inglés.

Orientación

Anteriormente aprendiste cómo representar regresiones lineales con una calculadora gráfica para encontrar la ecuación de una línea recta de ajuste para un conjunto de puntos lineales. En esta sección, aprenderás cómo representar regresiones exponenciales y cuadráticas para encontrar ecuaciones para curvas que se ajusten a conjuntos de puntos no lineales.

Ejemplo A

La siguiente tabla muestra cuántas millas por galón logra un auto en diferentes velocidades.

Velocidad (mph)	Millas por galón
30	18
35	20
40	23
45	25
50	28
55	30
60	29
65	25
70	25

Usando una calculadora gráfica:

a) Dibuja el diagrama de dispersión de los puntos.

b) Encuentra la función cuadrática de ajuste.

c) Dibuja la función cuadrática de ajuste en el diagrama de dispersión.

d) Encuentra la velocidad que maximiza las millas por galón.

e) Pronostica las millas por galón del auto si manejas a una velocidad de 48 mph.

Solución

Paso 1: Introduce la información.

Introduce la información. [STAT] y elige la opción [EDIT] .

Introduce los valores de $x$ en la primera columna $(L_1)$ y los valores de $y$ en la segunda columna $(L_2)$ . ( Nota: Para despejar una lista, mueve el cursor hacia arriba para que $L_1$ o $L_2$ se destaquen. Luego presiona [CLEAR] y finalmente [ENTER] .)

Paso 2: Dibuja el diagrama de dispersión.

Primero presiona [Y=] y despeja cualquier función en la pantalla presionando [CLEAR] cuando la función anterior se destaque.

Presiona [STATPLOT] [STAT] y [Y=] y elige la opción 1.

Escoge la opción ON; luego elige TYPE. Elige el primer tipo de gráfico (diagrama de dispersión) y asegúrate que los nombres de la lista de X y de la lista de Y coincidan con los nombres ubicado arriba de las columnas en la tabla de registro.

Presiona [GRAPH] ] y asegúrate que se ajuste la ventana para que puedas ver todos los puntos en el diagrama de dispersión. En este caso, los ajustes deberían ser $30 \le x \le 80$ y $0 \le y \le 40$ . Puedes ajustar el tamaño de la ventana presionando la tecla [WINDOW] ubicada arriba.

Paso 3: Realiza la regresión cuadrática.

Presiona [STAT] y utiliza la flecha derecha para elegir [CALC] .

Elige la Opción 5 (QuadReg) y presiona [ENTER] . "QuadReg" aparecerá en la pantalla.

Escribe $L_1, L_2$ después de 'QuadReg' y presiona [ENTER] . La calculadora muestra la función cuadrática: $y=-0.017x^2+1.9x-25$

Step 4: Grafica la función.

Presiona [Y=] e ingresa la función que acabas de encontrar.

Presiona [GRAPH] y verás la curva de ajuste dibujada sobre los puntos de datos.

Para encontrar la velocidad que maximiza las millas por galón, utiliza [TRACE] y mueve el cursor hacia arriba de la parábola. Puedes utilizar [CALC] [2nd] [TRACE] y la opción 4:Maximum, para una respuesta más exacta. La velocidad que maximiza las millas por galón es 56 mph.

Finalmente, ingresa $x = 48$ en la ecuación que encontraste: $y=-0.017(48)^2+1.9(48)-25=27.032 \ miles \ per \ gallon.$

Note: La imagen de arriba muestra nuestra función trazada en el mismo gráfico junto con los puntos de datos de la tabla. Una cosa que queda clara con este gráfico es que los pronósticos que se hacen con esta función no tienen sentido para todos los valores de $x$ Por ejemplo, si $x < 15$ , este gráfico pronostica que obtendremos millas negativas, lo que es imposible. Una parte de la técnica de utilizar la regresión en tu calculadora es ser cuidadoso con las fortalezas y limitaciones de este método de adecuar las funciones a los puntos.

Ejemplo B

La siguiente tabla muestra el monto de dinero que ha tenido un inversionista en una cuenta cada año por 10 años.

Año	Valor de la cuenta
1996	$5000
1997	$5400
1998	$5800
1999	$6300
2000	$6800
2001	$7300
2002	$7900
2003	$8600
2004	$9300
2005	$10000
2006	$11000

Con la utilización de una calculadora gráfica:

a) Dibuja un diagrama de dispersión del valor de la cuenta como la variable dependiente, y el número de años desde 1996 como la variable independiente.

b) Encuentra la función exponencial que se ajuste a los datos

c) Dibuja la función exponencial en el diagrama de dispersión.

d) ¿Cuál será el valor de la cuenta para el año 2020?

Solución

Paso 1: Ingresa la información.

Press [STAT] y elige la opción [EDIT] .

Ingresa los valores de $x$ en la primera columna $(L_1)$ y los valores de $y$ en la segunda columna $(L_2)$ .

Paso 2: Dibuja el diagrama de dispersión.

Primero presiona [Y=] y despeja cualquier función presente en la pantalla.

Presiona [GRAPH] y elige la opción 1.

Elige la opción ON y asegúrate que los nombres de la lista X y de la lista Y coincidan con los nombres ubicados arriba de las columnas en la tabla de registro.

Presiona [GRAPH] y asegúrate que la ventana se establezca para que puedas ver todos los puntos en el diagrama de dispersión. En este caso, los ajustes deberían ser $0 \le x \le 10$ y $0 \le y \le 11000$ .

Paso 3: Realiza la regresión exponencial.

Presiona [STAT] y utiliza la flecha derecha para elegir [CALC] .

Elige la Opción 0 y presiona [ENTER] . "ExpReg" aparecerá en la pantalla.

Presiona [ENTER] . La calculadora muestra la función exponencial: $y=4975.7(1.08)^x$

Paso 4: Grafica la función.

Presiona [Y=] e ingresa la función que acabas de encontrar. Presiona [GRAPH].

Finalmente, ingresa $x = 2020 - 1996 = 24$ en la función: $y=4975.7(1.08)^{24}=\underline{\$31551.81}$

En el año 2020, la cuenta tendrá un valor de $31.551,81.

Note: La función de arriba es la curva que más se acerca a todos los puntos de la información. No entregará los valores de $y-$ que son exactamente iguales a la información de la tabla, pero estarán bastante cerca. De hecho, es más exacto utilizar los valores de la curva de ajuste que usar los puntos de datos.

Resuelve Aplicaciones con la Comparación de Modelos de Función

Ejemplo C

La siguiente tabla muestra el número de estudiantes que se matriculan en una escuela primaria pública en los Estados Unidos (fuente: US Census Bureau). Realiza un diagrama de dispersión con el número de estudiantes como la variable dependiente, y el número de años desde 1990 como la variable independiente. Encuentra la curva de ajuste para esta información y pronostica las matrículas de la escuela para el año 2007.

Año	Número de estudiantes (millones)
1990	26.6
1991	26.6
1992	27.1
1993	27.7
1994	28.1
1995	28.4
1996	28.1
1997	29.1
1998	29.3
2003	32.5

Solución

Necesitamos realizar regresiones lineales, cuadráticas y exponenciales en este conjunto de datos para ver qué función representa, de mejor manera, los valores de la tabla.

Paso 1: Ingresa la información.

Ingresa los valores de $x$ en la primera columna $(L_1)$ y los valores de $y$ en la segunda columna $(L_2)$ .

Paso 2: Dibuja el diagrama de dispersión.

Ajusta el tamaño de la pantalla: $0 \le x \le 10$ y $20 \le y \le 40.$

Este es el diagrama de dispersión:

Paso 3: Realiza la regresión.

Regresión lineal

La función de la línea de ajuste es $y=0.51x+26.1$ . Este es el gráfico de la función en el diagrama de dispersión:

Regresión exponencial

La función exponencial de ajuste es $y=0.064x^2-.067x+26.84$ . Este es el gráfico de la función en el diagrama de dispersión:

Regresión exponencial

La función exponencial de ajuste es $y=26.2(1.018)^x$ . Este es el gráfico de la función en el diagrama de dispersión:

A partir de los gráficos, podemos ver que la función cuadrática es la más apropiada para este conjunto de información. Utilizaremos esta función para pronosticar las matrículas de la escuela para el año 2007.

$x = 2007 - 1990 = 17$ por lo que $y=0.064(17)^2-.067(17)+26.84$ resulta en 44,2 millones de estudiantes.

Mira este video si necesitas ayuda con los ejemplos anteriores.

Haz clic en la imagen de arriba para ver más contenido (requiere conexión a internet)

CK-12 Foundation: 1012 Comparing Function Models Using Regression

*Este video solo está disponible en inglés.

Vocabulario

La representación matemática es un proceso mediante el cual comenzamos con situaciones matemáticas y terminamos con soluciones cuantitativas.

" Si la diferencia de los valores $y-$ es siempre la misma, la función es lineal.

" Si la diferencia de las diferencias de los valores $y-$ es siempre la misma, la función es cuadrática.

" Si la razón de los valores $y-$ es siempre la misma, la función es exponencial.

Práctica Guiada

En la siguiente tabla se entregan las ganancias en dólares de una compañía. Encuentra la representación que describe la relación con la ganancia como una función de tiempo en años:

$& \text{Time in Years} && 0 && 1 && 2 && 3 && 4 \\\&\text{Profit in Dollars} && 0 && 5000 && 20000 && 45000 && 80000$

Solución:

Comienza graficando los puntos para detectar la forma.

Esta curva parece cuadrática o exponencial. Si revisas las razones, verás que no son las mismas. Revisa las diferencias de diferentes intereses:

$& \text{Time in Years} && 0 && 1 && 2 && 3 && 4 \\\&\text{Profit in Dollars} && 0 && 5000 && 20000 && 45000 && 80000\\&\text{Differences} && && 5000-0=5000 && 20000-5000=15000 && 45000-20000=25000 && 80000-45000=35000\\&\text{Differences of Differences} && && 15000-5000=10000 && 25000-15000=10000 && 35000-25000=10000$

Ya que las diferencias de diferencias son las mismas, esta es una representación cuadrática.

Practice

Para los ejercicios 1 -5, imagina que una pelota rebota hacia arriba y hacia abajo. La altura máxima que alcanza la pelota disminuye continuamente entre un rebote y otro. Por cada rebote, esta tabla muestra la altura de la pelota con respecto al tiempo:

Tiempo (segundos)	Altura (pulgadas)
2	2
2.2	16
2.4	24
2.6	33
2.8	38
3.0	42
3.2	36
3.4	30
3.6	28
3.8	14
4.0	6

Con la utilización de una calculadora gráfica, responde las siguientes preguntas:

Dibuja el diagrama de dispersión de la información.
Encuentra la función cuadrática de ajuste.
Dibuja la función cuadrática de ajuste en el diagrama de dispersión.
Encuentra la altura máxima que alcanza la pelota con el rebote.
Pronostica cuán alto llega la pelota en este tiempo $t = 2.5 \ seconds$

Para los ejercicios 6 - 9, una científica química tiene una muestra de 250 gramos de material radioactivo. Ella registra la cantidad de material radioactivo restante en la muestra cada día por una semana y obtiene la información de la siguiente tabla:

Día	Peso (gramos)
0	250
1	208
2	158
3	130
4	102
5	80
6	65
7	50

Usa una calculadora gráfica para responder las siguientes preguntas:

Dibuja un diagrama de dispersión de la información.
Encuentra la función exponencial de ajuste.
Dibuja la función exponencial de ajuste en el diagrama de dispersión.
Pronostica la cantidad de material después de 10 días.

Para los ejercicios 10 - 12, utiliza la siguiente tabla que muestra los índices de embarazos (cada 1000) en mujeres de EE. UU de edad entre 15 y 19 años. (Fuente: US Census Bureau)

Realiza un diagrama de dispersión con los índices de embarazos como la variable dependiente y el número de años desde 1990 como la variable independiente.
Encuentra qué tipo de curva es apropiada para esta información.
Pronostica los índices de embarazos juveniles para el año 2010.

Año	Índice de Embarazos (cada 1000)
1990	116.9
1991	115.3
1992	111.0
1993	108.0
1994	104.6
1995	99.6
1996	95.6
1997	91.4
1998	88.7
1999	85.7
2000	83.6
2001	79.5
2002	75.4

Aplicación de los Modelos de Función

Intenta esto

Mira esto

Orientación

Ejemplo A

Ejemplo B

Ejemplo C

Vocabulario

Práctica Guiada

Practice

Licencia