Gráficos de Funciones de Raíz Cuadrada

Aquí, aprenderás a graficar y comparar funciones que incluyen raíces cuadradas.

Digamos que tienes una función de raíz cuadrada como $y = \sqrt{2x} + 3$ . ¿Cómo graficarías tal función? Tras completar esta sección, podrás graficar funciones de raíces cuadradas como esta y compararlas con otras funciones de raíces cuadradas.

Mira esto

Haz clic en la imagen de arriba para ver más contenido (requiere conexión a internet)

CK-12 Foundation: Graphs of Square Root Functions

*Este video solo está disponible en inglés

Orientación

En este capítulo, aprenderás un tipo diferente de función llamada función de raíz cuadrada. Ya has visto que sacar la raíz cuadrada es muy útil a la hora de resolver ecuaciones cuadráticas. Por ejemplo, para resolver la ecuación $x^2 = 25$ sacamos la raíz cuadrada de ambos lados: $\sqrt{x^2} = \pm \sqrt{25}$ , por lo que $x = \pm 5$ .

Una función de raíz cuadrada es cualquier función con la forma : $y = a \sqrt{f(x)} + c$ —en otras palabras, cualquier función en la que una expresión en términos de $x$ se encuentra dentro de un signo de raíz cuadrada (también llamado un signo “radical”), aunque también pueden estar incluidos otros términos.

Graficar y Comparar Funciones de Raíz Cuadrada

Al trabajar con funciones de raíces cuadradas, debes considerar el dominio de la función antes de graficar. El dominio es muy importante, puesto que la función es indefinida cuando la expresión dentro del signo de raíz cuadrada es negativa y, como resultado, no habrá grafico en ninguna región de los valores de $x-$ que logré concordar con el resultado.

Para descubrir cómo se comportan los gráficos de las funciones de raíz cuadrada, hagamos una tabla de valores y grafiquemos los puntos.

Ejemplo A

Grafica la función $y = \sqrt{x}$ .

Solución

Antes de hacer una tabla de valores, debemos encontrar el dominio de esta función de raíz cuadrada. Puedes hallar el dominio al observar que la función solo es definida cuando la expresión dentro de la raíz cuadrada es mayor o igual que cero. Ya que la expresión dentro de la raíz cuadrada solo es $x$ , significa que el dominio son todos los valores de $x$ ales que $x \ge 0.$

Esto significa que, cuando hacemos nuestra tabla de valores, debemos escoger valores de $x$ que sean mayores o igual que cero. Es muy útil incluir al mismo cero como el primer valor de la tabla y, además, incluir muchos valores mayores que cero. Esto nos ayudará a determinar cuál será la forma de la curva.

$x$	$y=\sqrt{x}$
0	$y=\sqrt{0} = 0$
1	$y=\sqrt{1} = 1$
2	$y=\sqrt{2} = 1.4$
3	$y=\sqrt{3} = 1.7$
4	$y=\sqrt{4} = 2$
5	$y=\sqrt{5} = 2.2$
6	$y=\sqrt{6} = 2.4$
7	$y=\sqrt{7} = 2.6$
8	$y=\sqrt{8} = 2.8$
9	$y=\sqrt{9} = 3$

Así se vería la gráfica de esta tabla:

Los gráficos de funciones de raíz cuadrada siempre son curvos. La curva anterior parece la mitad de una parábola acostada de lado y, de hecho, eso es lo que es. Es la mitad de la parábola que obtendrías si graficaras la expresión $y^2 = x$ . Además, el grafico de $y = - \sqrt{x}$ es la otra mitad de esa parábola:

Nótese que, si graficamos las dos funciones por separado en los mismos ejes de coordenadas, el gráfico combinado es una parábola de costado.

Ahora comparemos funciones de raíz cuadrada que son múltiplos entre ellas.

Ejemplo B

Grafica las funciones $y = \sqrt{x}, y=2\sqrt{x}, y=3\sqrt{x},$ e $y = 4\sqrt{x}$ en el mismo gráfico.

Solución

Este es el gráfico sin la tabla de valores:

Si multiplicamos la función por una constante mayor que uno, la función se incrementa más rápido, a medida que la constante crece.

Ejemplo C

Grafica las funciones $y=\sqrt{x}, y= \sqrt{2x}, y=\sqrt{3x},$ e $y=\sqrt{4x}$ en el mismo gráfico.

Solución

Nótese que multiplicar la expresión dentro de la raíz cuadrada por una constante tiene el mismo efecto que multiplicarla por una constante fuera de la raíz cuadrada; la función solo se incrementa a una tasa menor porque la función completa efectivamente se multiplica por la raíz cuadrada de la constante.

Además, nótese que el gráfico de $\sqrt{4x}$ es el mismo gráfico de $2\sqrt{x}$ . Esto tiene sentido algebraicamente hablando, ya que $\sqrt{4} = 2$ .

Ejemplo D

Grafica las funciones $y=\sqrt{x}, y = \frac{1}{2} \sqrt{x}, y = \frac{1}{3} \sqrt{x},$ e $y = \frac{1}{4} \sqrt{x}$ en el mismo gráfico.

Solución

Si multiplicamos la función por una constante entre 0 y 1, la función se incrementa más lentamente a medida que la constante es más pequeña.

Mira este video si necesitas ayuda con los ejemplos anteriores.

Haz clic en la imagen de arriba para ver más contenido (requiere conexión a internet)

CK-12 Foundation: Graphs of Square Root Functions

*Este video solo está disponible en inglés

Vocabulario

Una función de raíz cuadrada es cualquier función con la forma: $y = a \sqrt{f(x)} + c$ —en otras palabras, cualquier función en la que una expresión en términos de $x$ se encuentra dentro de un signo de raíz cuadrada (también llamado un signo “radical”).

Práctica Guiada

Grafica las funciones

a) $y=2 \sqrt{x}$ e $y=-2 \sqrt{x}$ en la misma gráfica.

b) $y=\sqrt{x}$ e $y = \sqrt{-x}$ en la misma gráfica.

Soluciones:

a) Si multiplicamos toda la función por -1, el gráfico se refleja a través del eje $x-$ .

Por otro lado, cuando sólo la $x$ se multiplica por -1, el gráfico se refleja a través del eje $y-$ Nótese que la función $y=\sqrt{-x}$ solo tiene valores $x-$ negativos en su dominio, ya que, cuando $x$ es negativo, la expresión bajo el signo radical es positiva.

Práctica

Grafica las siguientes funciones.

$y = 3\sqrt{x}$
$y = -\frac{1}{2}\sqrt{x}$
$y = \sqrt{4x}$
$y = \sqrt{x}+7$
$y = 2\sqrt{x}-5$
$y = -\sqrt{3x+1}-2$

Grafica las siguientes funciones en los mismos ejes de coordenadas.

$y = \sqrt{x}, y = 2.5\sqrt{x}$ y $y= -2.5\sqrt{x}$
$y = \sqrt{x}, y = 0.3 \sqrt{x}$ y $y= 0.6\sqrt{x}$
$y = \sqrt{x}, y = \sqrt{x - 5}$ y $y= \sqrt{x + 5}$
$y = \sqrt{x}, y = \sqrt{x} + 8$ y $y= \sqrt{x} - 8$

Gráficos de Funciones de Raíz Cuadrada

Mira esto

Orientación

Ejemplo A

Ejemplo B

Ejemplo C

Ejemplo D

Vocabulario

Práctica Guiada

Práctica

Licencia