Elevar un Producto o Cociente a una Potencia

Aquí aprenderás cómo usar las propiedades de producto y cociente para desarrollar expresiones radicales. También usaras tales propiedades para escribir radicales en la forma más simple posible.

Digamos que tienes una expresión radical como $\sqrt{50x^3y^5}$ ¿Cómo podrías simplificar esta expresión? Tras completar esta sección, podrás usar las propiedades de producto y cociente de los radicales para escribirlas en la forma más simple posible.

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CK-12 Foundation: Properties of Radicals

*Este video solo está disponible en inglés

Orientación

Un radical es el proceso inverso de elevar un número a una potencia. Por ejemplo, 4 al cuadrado es $4^2 = 4 \cdot 4 = 16$ , y, por tanto, la raíz cuadrada de 16 es 4. El símbolo de una raíz cuadrada es $\sqrt{\;\;}$ . Este símbolo también es conocido como el signo radical.

Además de las raíces cuadradas, también podemos sacar raíces cúbicas, raíces cuartas y así sucesivamente. Por ejemplo, ya que 64 es el cubo de 4, 4 es la raíz cúbica de 64.

$\sqrt[3]{64} = 4 \qquad \text{since} \qquad 4^3 = 4 \cdot 4 \cdot 4 = 64$

Ingresamos un número índice en la esquina superior izquierda del signo radical para mostrar cuál es la raíz del número que estamos buscando. Las raíces cuadradas tienen un índice de 2, aunque en general no acostumbramos escribirlo.

$\sqrt[2]{36} = \sqrt{36} = 6$

La raíz cúbica de un número es una cifra que, cuando se eleva a la potencia de 3, nos da el número bajo el signo radical. La raíz cuarta de un número es una cifra que, cuando se eleva a la potencia de 4, nos da el número bajo el signo radical:

$\sqrt[4]{81} = 3 \qquad \text{since} \qquad 3^4 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 81$

Lo mismo ocurre para cualquier otra potencia que se nos ocurra.

Raíces Pares e Impares

Las expresiones radicales que tienen índices pares se llaman raíces pares y las expresiones radicales que tienen índices impares se llaman raíces impares . Hay una diferencia muy importante entre las raíces pares e impares, ya que pueden generar resultados absolutamente diferentes cuando el número dentro del signo radical es negativo.

Cualquier número real elevado a una potencia par resulta en una respuesta positiva. Por tanto, cuando el índice de un radical es par, el número dentro del signo radical debe ser positivo para obtener una respuesta real.

Por otro lado, un número positivo elevado a una potencia impar da un resultado positivo y un número negativo elevado por una potencia impar da negativo. Por tanto, un número negativo dentro del signo radical no es problema, pues solo resulta en una respuesta negativa.

Ejemplo A

Resuelve cada expresión radical.

a) $\sqrt{121}$

b) $\sqrt[3]{125}$

c) $\sqrt[4]{-625}$

d) $\sqrt[5]{-32}$

Solución

a) $\sqrt{121} = 11$

b) $\sqrt[3]{125} = 5$

c) $\sqrt[3]{-625}$ no es un número real

d) $\sqrt[5]{-32} = -2$

Uso de las Propiedades de Producto y Cociente de los Radicales

Los radicales pueden reescribirse como potencias racionales. El radical $\sqrt[m]{a^n}$ se define como $a^{\frac{n}{m}}$ .

Ejemplo B

Escribe cada expresión como un exponente con un valor racional para el exponente.

a) $\sqrt{5}$

b) $\sqrt[4]{a}$

c) $\sqrt[3]{4xy}$

d) $\sqrt[6]{x^5}$

Solución

a) $\sqrt{5} = 5^{\frac{1}{2}}$

b) $\sqrt[4]{a} = a^{\frac{1}{4}}$

c) $\sqrt[3]{4xy} = (4xy)^{\frac{1}{3}}$

d) $\sqrt[6]{x^5} = x^{\frac{5}{6}}$

Como resultado de esta propiedad, para cualquier número $a$ positivo, sabemos que $\sqrt[n]{a^n} = a^{\frac{n}{n}} = a$ .

Ya que las raíces de los números pueden ser consideradas como potencias, podemos usar las reglas del exponente para simplificar y desarrollar las expresiones radicales. Analicemos la regla del producto y cociente de los exponentes.

$\text{Raising a product to a power:} && (x \cdot y)^n & = x^n \cdot y^n\\\\text{Raising a quotient to a power:} && \left(\frac{x}{y} \right)^n & = \frac{x^n}{y^n}$

En notación radical, tales propiedades pueden escribirse como

$\text{Raising a product to a power:} && \sqrt[m]{x \cdot y} & = \sqrt[m]{x} \ \cdot \sqrt[m]{y}\\\\text{Raising a quotient to a power:} && \sqrt[m]{\frac{x}{y}} & = \frac{\sqrt[m]{x}}{\sqrt[m]{y}}$

Un uso muy importante de estas reglas es reducir una expresión radical a su forma más simple. Esto significa que aplicamos la raíz a todos los factores del número que sean raíces perfectas y dejamos todos los valores que no sean raíces perfectas dentro del signo radical.

Por ejemplo, en la expresión $\sqrt{16}$ , el número 16 es un cuadrado perfecto porque $16 = 4^2$ . Esto significa que podemos simplificarla de la siguiente forma:

$\sqrt{16} = \sqrt{4^2} = 4$

Por tanto, la raíz cuadrada desaparece completamente.

Por otro lado, en la expresión $\sqrt{32}$ , el número 32 no es un cuadrado perfecto, por lo que no podemos solo remover la raíz cuadrada. Sin embargo, observamos que $32 = 16 \cdot 2$ , por lo que podemos escribir 32 como el producto de un cuadrado perfecto y otro número. Por tanto,

$\sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2}$

Si aplicamos la regla de “elevar un producto a una potencia”, obtenemos:

$\sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = \sqrt{16} \ \cdot \sqrt{2}$

Ya que $\sqrt{16} = 4$ , obtenemos: $\sqrt{32} = 4 \cdot \sqrt{2} = \underline{\underline{4 \sqrt{2}}}$

Ejemplo C

Escribe las siguientes expresiones en la forma radical más simple posible.

a) $\sqrt{8}$

b) $\sqrt{50}$

c) $\sqrt{\frac{125}{72}}$

Solución

La estrategia es escribir el número bajo la raíz cuadrada como el producto de un cuadrado perfecto y otro número. El objetivo es encontrar el cuadrado perfecto más alto posible; si no lo encontramos a la primera, solo debemos repetir el procedimiento hasta que no podamos simplificar más.

a) $\text{We can write} \ 8 = 4 \cdot 2, \ \text{so} && & \sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2}.\\\\text{With the ``Raising a product to a power'' rule, that becomes} &&& \sqrt{4} \ \cdot \sqrt{2}.\\\\text{Evaluate} \ \sqrt{4} \ \text{and we're left with} &&& \underline{\underline{2\sqrt{2}}}.$

b) $\text{We can write} \ 50 = 25 \cdot 2, \ \text{so:} && \sqrt{50} & = \sqrt{25 \cdot 2}\\\\text{Use ``Raising a product to a power'' rule:} && &=\sqrt{25} \ \cdot \sqrt{2} = \underline{\underline{5 \sqrt{2}}}$

c) $\text{Use ``Raising a quotient to a power'' rule to separate the fraction:} && \sqrt{\frac{125}{72}} & = \frac{\sqrt{125}}{\sqrt{72}}\\\\text{Re-write each radical as a product of a perfect square and another number:} && & = \frac{ \sqrt{25 \cdot 5}}{\sqrt{36 \cdot 2}} = \frac{5 \sqrt{5}}{6 \sqrt{2}}$

El mismo método puede aplicarse para reducir radicales de índices diferentes a su forma más simple.

Ejemplo D

Escribe la siguiente expresión en la forma radical más simple posible.

a) $\sqrt[3]{40}$

b) $\sqrt[4]{\frac{162}{80}}$

c) $\sqrt[3]{135}$

Solución

En estos casos, buscamos el cubo perfecto, la cuarta potencia perfecta, la raíz cuadrada perfecta, etc. Tal elemento debe ser el mayor posible, tal como lo indique el índice del radical.

a) Aquí buscamos el producto del cubo perfecto más alto y otro número. Escribimos: $\sqrt[3]{40} = \sqrt[3]{8 \cdot 5} = \sqrt[3]{8} \ \cdot \sqrt[3]{5} = 2 \sqrt[3]{5}$

b) Aquí buscamos el producto de la cuarta potencia perfecta más alta y otro número.

$\text{Re-write as the quotient of two radicals:} && \sqrt[4]{\frac{162}{80}} & = \frac{\sqrt[4]{162}}{\sqrt[4]{80}}\\\\text{Simplify each radical separately:} && & = \frac{\sqrt[4]{81 \cdot 2}}{\sqrt[4]{16 \cdot 5}} = \frac{\sqrt[4]{81} \ \cdot \sqrt[4]{2}} {\sqrt[4]{16} \ \cdot \sqrt[4]{5}} = \frac{3 \sqrt[4]{2}}{2 \sqrt[4]{5}}\\\\text{Recombine the fraction under one radical sign:} && & = \frac{3}{2} \sqrt[4]{\frac{2}{5}}$

c) Aquí buscamos el producto de la raíz cuadrada perfecta más alta y otro número. A menudo, no es tan fácil identificar la raíz perfecta en la expresión bajo el signo radical. En este caso, podemos factorizar completamente el número bajo el signo radical usando un árbol de factores:

Vemos que $135 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 = 3^3 \cdot 5$ . Por tanto $\sqrt[3]{135} = \sqrt[3]{3^3 \cdot 5} = \sqrt[3]{3^3} \ \cdot \sqrt[3]{5} = 3 \sqrt[3]{5}$ .

(Encontrarás una herramienta útil para crear arboles de factores en http://www.softschools.com/math/factors/factor_tree/ . Haz clic en “User Number” para escribir tu propio número o factor; también puedes hacer clic en “New Number” para generar un número al azar si quieres practicar la factorización.)

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Ahora veremos algunos ejemplos que involucran variables.

Mira este video si necesitas ayuda con los ejemplos anteriores.

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CK-12 Foundation: Properties of Radicals

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Vocabulario

El símbolo de una raíz cuadrada es $\sqrt{\;\;}$ . Este símbolo se conoce también como el signo radical.

Práctica Guiada

Escribe la siguiente expresión en la forma radical más simple posible.

a) $\sqrt{12x^3 y^5}$

b) $\sqrt[4]{\frac{1250x^7}{405y^9}}$

Solución

Considera las constantes y cada variable por separado y escribe cada expresión como los productos de una potencia perfecta, como lo indica el índice del radical, y otro número.

a) $\text{Re-write as a product of radicals:} && \sqrt{12x^3y^5} & = \sqrt{12} \ \cdot \sqrt{x^3} \ \cdot \sqrt{y^5}\\\\text{Simplify each radical separately:} && \left(\sqrt{4 \cdot 3}\right ) \cdot \left( \sqrt{x^2 \cdot x}\right ) \cdot \left (\sqrt{y^4 \cdot y}\right ) & = \left (2 \sqrt{3}\right ) \cdot \left (x \sqrt{x}\right ) \cdot \left (y^2 \sqrt{y}\right )\\\\text{Combine all terms outside and inside the radical sign:} && & =2xy^2 \sqrt{3xy}$

b) $\text{Re-write as a quotient of radicals:} && \sqrt[4]{\frac{1250x^7}{405y^9}} & = \frac{\sqrt[4]{1250x^7}}{\sqrt[4]{405y^9}}\\\\text{Simplify each radical separately:} && & = \frac{\sqrt[4]{625 \cdot 2} \ \cdot \sqrt[4]{x^4 \cdot x^3}}{\sqrt[4]{81 \cdot 5} \ \cdot \sqrt[4]{y^4 \cdot y^4 \cdot y}} = \frac{5 \sqrt[4]{2} \cdot x \cdot \sqrt[4]{x^3}}{3 \sqrt[4]{5} \cdot y \cdot y \ \cdot \sqrt[4]{y}} = \frac{5x \sqrt[4]{2x^3}}{3y^2 \sqrt[4]{5y}}\\\\text{Recombine fraction under one radical sign:} && &= \frac{5x}{3y^2} \sqrt[4]{\frac{2x^3}{5y}}$

Práctica

Desarrolla cada expresión radical.

$\sqrt{169}$
$\sqrt[4]{-81}$
$\sqrt[3]{-125}$
$\sqrt[5]{1024}$

Escribe cada expresión como un exponente racional.

$\sqrt[3]{14}$
$\sqrt[4]{zw}$
$\sqrt{a}$
$\sqrt[9]{y^3}$

Escribe las siguientes expresiones en la forma radical más simple posible.

$\sqrt{24}$
$\sqrt{300}$
$\sqrt[5]{96}$
$\sqrt{\frac{240}{567}}$
$\sqrt[3]{500}$
$\sqrt[6]{64x^8}$
$\sqrt[3]{48a^3 b^7}$
$\sqrt[3]{\frac{16x^5}{135y^4}}$

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