Simplificación de Expresiones Radicales

Aquí, aprenderás a simplificar expresiones radicales al sumar, restar, multiplicar, distribuir y racionalizar el denominador.

Digamos que debes realizar una operación en dos expresiones radicales, como $\sqrt{32x} - \sqrt{8x}$ , donde los números bajo los signos radicales son diferentes. ¿Cómo podrías hallar la diferencia? Tras completar esta sección, podrás sumar, restar, multiplicar y dividir expresiones radicales.

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CK-12 Foundation: Radical Expressions

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Orientación

Cuando sumamos y restamos expresiones radicales, podemos combinar términos radicales solo cuando tienen la misma expresión bajo el signo radical. Esto se parece mucho a combinar términos en expresiones variables.

Ejemplo A

Simplifica lo más posible las siguientes expresiones.

a.) $4 \sqrt{2} + 5 \sqrt{2}$

b.) $2 \sqrt{3} - \sqrt{2} + 5 \sqrt{3} + 10\sqrt{2}$

$4 \sqrt{2} + 5 \sqrt{2} & = 9 \sqrt{2}\\\& \text{or} \\\ 2 \sqrt{3} - \sqrt{2} + 5 \sqrt{3} + 10\sqrt{2} & = 7 \sqrt{3} + 9 \sqrt{2}$

Es importante reducir todos los radicales a su forma más simple para asegurarnos de que estamos combinando todos los términos semejantes posibles de la expresión. Por ejemplo, pareciera que la expresión $\sqrt{8} - 2\sqrt{50}$ no puede simplificarse más porque no tiene términos semejantes. Sin embargo, cuando escribimos cada radical en su forma más simple, obtenemos $2\sqrt{2} - 10 \sqrt{2}$ , y podemos combinar esos términos para obtener $-8 \sqrt{2}$ .

Ejemplo B

Simplifica lo más posible las siguientes expresiones.

a) $4 \sqrt[3]{128} - \sqrt[3]{250}$

b) $3 \sqrt{x^3} - 4x \sqrt{9x}$

Solución

a) $\text{Re-write radicals in simplest terms:} && & = 4 \sqrt[3]{2 \cdot 64} - \sqrt[3]{2 \cdot 125} = 16 \sqrt[3]{2} - 5 \sqrt[3]{2}\\\\text{Combine like terms:} && & = 11 \sqrt[3]{2}$

b) $\text{Re-write radicals in simplest terms:} && 3 \sqrt{x^2 \cdot x} - 12x \sqrt{x} & = 3x \sqrt{x} - 12x \sqrt{x}\\\\text{Combine like terms:} && & =-9x \sqrt{x}$

Multiplica Expresiones Radicales

Cuando multiplicas expresiones radicales, usamos la regla de “elevar un producto a una potencia: $\sqrt[m]{x \cdot y} = \sqrt[m]{x} \cdot \sqrt[m]{y}$ . En este caso, aplicamos esta regla a la inversa.

Ejemplo C

Simplifica la expresión $\sqrt{6} \cdot \sqrt{8}$ .

Solución:

$\sqrt{6} \cdot \sqrt{8} = \sqrt{6 \cdot 8} = \sqrt{48}$

O, en forma radical simple: $\sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4 \sqrt{3}.$

También podemos hacer uso del hecho que: $\sqrt{a} \cdot \sqrt{a} = \sqrt{a^2} = a$ .

Cuando multiplicamos expresiones que tienen números tanto adentro como afuera del signo radical, consideramos por separado los números fuera del signo radical y los números dentro del signo radical. Por ejemplo, $a \sqrt{b} \cdot c \sqrt{d} = ac \sqrt{bd}$ .

Ejemplo D

Multiplica las siguientes expresiones.

a) $\sqrt{2}\left(\sqrt{3} + \sqrt{5}\right )$

b) $2 \sqrt{x}\left (3 \sqrt{y} - \sqrt{x}\right )$

c) $\left (2 + \sqrt{5}\right )\left (2 - \sqrt{6}\right )$

d) $\left (2 \sqrt{x} + 1\right )\left (5 - \sqrt{x}\right )$

Solución

En cada caso, usamos la distribución para eliminar los paréntesis.

a) $\text{Distribute} \ \sqrt{2} \ \text{inside the parentheses:} && \sqrt{2}\left (\sqrt{3} + \sqrt{5}\right ) & = \sqrt{2} \cdot \sqrt{3} + \sqrt{2} \cdot \sqrt{5}\\\\text{Use the ``raising a product to a power'' rule:} && & = \sqrt{2 \cdot 3} + \sqrt{2 \cdot 5}\\\\text{Simplify:} && & =\sqrt{6} + \sqrt{10}$

b) $\text{Distribute} \ 2 \sqrt{x} \ \text{inside the parentheses:} && & =(2 \cdot 3)\left (\sqrt{x} \cdot \sqrt{y}\right ) - 2 \cdot \left ( \sqrt{x} \cdot \sqrt{x}\right )\\\\text{Multiply:} && & =6 \sqrt{xy} - 2 \sqrt{x^2}\\\\text{Simplify:} && & =6 \sqrt{xy} - 2x$

c) $\text{Distribute:} && (2 + \sqrt{5})(2 - \sqrt{6}) & = (2 \cdot 2) - \left (2 \cdot \sqrt{6}\right ) + \left( 2 \cdot \sqrt{5} \right ) - \left ( \sqrt{5} \cdot \sqrt{6} \right )\\\\text{Simplify:}&& & =4 - 2 \sqrt{6} + 2 \sqrt{5} - \sqrt{30}$

d) $\text{Distribute:} && \left (2 \sqrt{x} - 1\right )\left (5 - \sqrt{x}\right ) &=10 \sqrt{x} - 2x - 5 + \sqrt{x}\\\\text{Simplify:} && & =11 \sqrt{x} - 2x - 5$

Racionaliza el Denominador

A menudo, cuando trabajamos con radicales, terminamos con una expresión radical con el denominador de una fracción. Es algo tradicional escribir nuestras fracciones de una forma que no tengan radicales en el denominador, por lo que usamos un proceso llamado racionalizar el denominador para eliminarlos.

Racionalizar es fácil cuando solo hay un radical y nada más en el denominador, como en la fracción $\frac{2}{\sqrt{3}}$ . Todo lo que debemos hacer es multiplicar el numerador y el denominador por una expresión radical que convierta la expresión dentro del radical en un cuadrado perfecto, o cubo o cualquier potencia que sea apropiada. En el ejemplo anterior, multiplicamos por $\sqrt{3}$ :

$\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Las raíces cúbicas o mayores son un poco más complicadas que las raíces cuadradas.

Ejemplo E

¿Cómo podríamos racionalizar $\frac{7}{\sqrt[3]{5}}$ ?

Solución:

No podemos solo multiplicar por $\sqrt[3]{5}$ , porque el denominador terminaría siendo $\sqrt[3]{5^2}$ . Para hacer que el denominador sea un número entero, debemos multiplicar el numerador y el denominador por $\sqrt[3]{5^2}$ :

$\frac{7}{\sqrt[3]{5}} \cdot \frac{\sqrt[3]{5^2}}{\sqrt[3]{5^2}} = \frac{7 \sqrt[3]{25}}{\sqrt[3]{5^3}} = \frac{7 \sqrt[3]{25}}{5}$

Aún más complejo es cuando la expresión en el denominador contiene más de un término.

Ejemplo F

Considera la expresión $\frac{2}{2 + \sqrt{3}}$ . No podemos solo multiplicar por $\sqrt{3}$ , ya que deberíamos distribuir ese término para obtener, luego, el denominador $2 \sqrt{3} + 3$ .

En vez de eso, multiplicamos por $2 - \sqrt{3}$ . Esta es una buena opción, porque el producto $\left (2 + \sqrt{3}\right )\left (2 - \sqrt{3}\right )$ es el producto de una suma y una diferencia, lo que significa que es una diferencia de cuadrados. Los radicales se cancelan entre ellos cuando multiplicamos, por lo que el denominador resulta en $\left (2 + \sqrt{3} \right )\left (2 - \sqrt{3}\right ) = 2^2 - \left ( \sqrt{3}\right )^2 = 4 - 3 = 1$ .

Cuando multiplicamos tanto el numerador como el denominador por $2 - \sqrt{3}$ , obtenemos:

$\frac{2}{2 + \sqrt{3}} \cdot \frac{2 - \sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}} = \frac{2\left (2 - \sqrt{3}\right )}{4 - 3} = \frac{4 - 2 \sqrt{3}}{1} = 4 - 2 \sqrt{3}$

Ahora, considera la expresión $\frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} - 2 \sqrt{y}}$ .

Para poder eliminar las expresiones radicales en el denominador, debemos multiplicar por $\sqrt{x} + 2 \sqrt{y}$ .

Obtenemos: $\frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} - 2 \sqrt{y}} \cdot \frac{\sqrt{x} + 2 \sqrt{y}}{\sqrt{x} + 2 \sqrt{y}} = \frac{\left (\sqrt{x} - 1\right )\left (\sqrt{x} + 2 \sqrt{y}\right )} {\left (\sqrt{x} - 2 \sqrt{y} \right ) \left ( \sqrt{x} + 2 \sqrt{y} \right )} = \frac{x - 2 \sqrt{y} - \sqrt{x} + 2 \sqrt{xy}}{x - 4y}$

Mira este video si necesitas ayuda con los ejemplos anteriores.

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Vocabulario

Cuando multiplicamos expresiones radicales , usamos la regla de “elevar un producto a una potencia”:

$\sqrt[m]{x \cdot y} = \sqrt[m]{x} \cdot \sqrt[m]{y}$ .

Cuando multiplicamos expresiones que tienen números tanto adentro como afuera del signo radical, consideramos por separado los números fuera del signo radical y los números dentro del signo radical:

$a \sqrt{b} \cdot c \sqrt{d} = ac \sqrt{bd}$

Práctica Guiada

Simplifica lo más posible las siguientes expresiones.

a) $4 \sqrt{3} + 2 \sqrt{12}$

b) $10 \sqrt{24} - \sqrt{28}$

Soluciones:

a) $\text{Simplify} \ \sqrt{12} \ \text{to its simplest form:} && & =4 \sqrt{3} + 2 \sqrt{4 \cdot 3} = 4 \sqrt{3} + 6 \sqrt{3}\\\\text{Combine like terms:} && & =10 \sqrt{3}$

b) $\text{Simplify} \ \sqrt{24} \ \text{and} \ \sqrt{28} \ \text{to their simplest form:} && & =10 \sqrt{6 \cdot 4} - \sqrt{7 \cdot 4} = 20 \sqrt{6} - 2 \sqrt{7}\\\\text{There are no like terms.}$

Práctica

Simplifica lo más posible las siguientes expresiones.

$3\sqrt{8} - 6 \sqrt{32}$
$\sqrt{180} + \sqrt{405}$
$\sqrt{6} - \sqrt{27} + 2 \sqrt{54} + 3 \sqrt{48}$
$\sqrt{8x^3} - 4x \sqrt{98x}$
$\sqrt{48a} + \sqrt{27a}$
$\sqrt[3]{4x^3} + x \cdot \sqrt[3]{256}$

Multiplica las siguientes expresiones.

$\sqrt{6}\left (\sqrt{10} + \sqrt{8}\right )$
$\left (\sqrt{a} - \sqrt{b}\right )\left (\sqrt{a} + \sqrt{b}\right )$
$\left (2 \sqrt{x} + 5\right )\left (2 \sqrt{x} + 5\right )$

Racionaliza el denominador.

$\frac{7}{\sqrt{5}}$
$\frac{9}{\sqrt{10}}$
$\frac{2x}{\sqrt{5x}}$
$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3y}}$
$\frac{12}{2 - \sqrt{5}}$
$\frac{6 + \sqrt{3}}{4 - \sqrt{3}}$
$\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{2} + \sqrt{x}}$
$\frac{5y}{2 \sqrt{y} - 5}$

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