Uso Práctico de los Radicales

Aquí aprenderás a resolver problemas de movimiento armónico y otros problemas cotidianos que involucran expresiones radicales.

Digamos que la pantalla de tu computadora mide 16 pulgadas de largo y 12 pulgadas de ancho. ¿Cómo podrías hallar la longitud diagonal de la pantalla? Tras completar esta sección, podrás resolver problemas cotidianos como este que involucren radicales.

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Si quieres más ecuaciones que describan movimiento pendular, visita http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/pend.html , donde también encontrarás una herramienta para calcular el periodo de un péndulo en ambientes de gravedad distintas a la de la Tierra.

*Programa sólo disponible en inglés

Orientación

Los matemáticos y físicos han estudiado en gran detalle el movimiento de los péndulos, puesto que este movimiento explica muchas conductas que suceden en la naturaleza. Este tipo de movimiento se denomina movimiento armónico simple y es importante porque describe todo aquello que se repite periódicamente. Galileo fue la primera persona en estudiar el movimiento de un péndulo, alrededor del año 1600. Descubrió que el tiempo que le toma a un péndulo completar una oscilación no depende de su masa ni de su ángulo de oscilación (siempre que el ángulo de oscilación sea pequeño). En vez de eso, depende solamente del largo del péndulo.

El tiempo que le toma a un péndulo realizar una oscilación completa se denomina el periodo del péndulo. Galileo descubrió que el periodo de un péndulo es proporcional a la raíz cuadrada de su longitud: $T = a \sqrt{L}$ . La proporcionalidad constante, $a$ , depende de la aceleración de la gravedad: $a = \frac{2 \pi}{\sqrt{g}}$ . En la Tierra, a nivel del mar, la aceleración de la gravedad es $g = 9.81 \ m/s^2$ (metros por segundo cuadrado). Usando este valor de gravedad, encontramos que $a = 2.0$ con unidades de $\frac{s}{\sqrt{m}}$ (segundos divididos por la raíz cuadrada de los metros).

Hasta la mitas del Siglo $20^{th}$ todos los relojes usaban péndulos como su componente principal para conservar el tiempo.

Ejemplo A

Grafica el periodo de un péndulo de un reloj antiguo en una casa a nivel del mar en la Tierra. Grafica a medida que cambiamos el largo del péndulo. ¿Cuán largo debe ser el péndulo para que su periodo sea de un segundo?

Solución

La función del periodo de un péndulo a nivel del mar es $T = 2 \sqrt{L}$ .

Empezaremos haciendo una tabla de valores para esta función:

$L$	$T = 2 \sqrt{L}$
0	$T = 2 \sqrt{0} = 0$
1	$T = 2 \sqrt{1} = 2$
2	$y = 2 \sqrt{2} = 2.8$
3	$y = 2 \sqrt{3} = 3.5$
4	$y = 2 \sqrt{4} = 4$
5	$y = 2 \sqrt{5} = 4.5$

Ahora, grafiquemos la función. Tiene sentido que usemos el eje horizontal para representar el largo del péndulo y el eje vertical para representar el periodo del péndulo.

Podemos ver en el gráfico que un largo de $\frac{1}{4}$ metros aproximadamente nos dará un periodo de 1 segundo. Podemos confirmar este resultado al usar nuestra función para el periodo e ingresando $T = 1 \ second$ :

$T & = 2 \sqrt{L} \Rightarrow 1 = 2 \sqrt{L}$

$&\text{Square both sides of the equation:} && 1 = 4L\\\&\text{Solve for} \ L: && L = \frac{1}{4} \ meters$

Ejemplo B

Las pantallas de televisión “cuadradas” tienen un tamaño de 4:3; en otras palabras, el ancho de la pantalla es $\frac{4}{3}$ la altura. Los “lados” del televisor son, tradicionalmente, representadas como el largo de la diagonal de la pantalla de televisión. Grafica el largo de la diagonal de una pantalla como una función del área de la pantalla. ¿Cuál es la diagonal de una pantalla con un área de $180 \ in^2$ ?

Solución

Definamos $d =$ largo de la diagonal, $x =$ ancho

luego 4 $\times$ altura = 3 $\times$ ancho

O, altura = $\frac{3}{4}x$ .

El área de la pantalla es: $A =$ largo $\times$ ancho o $A = \frac{3}{4} x^2$

Encuentra como se relaciona el largo de la diagonal con el ancho usando el Teorema de Pitágoras:

$x^2 + \left(\frac{3}{4} x \right)^2 & = d^2\\\x^2 + \frac{9}{16}x^2 & = d^2\\\\frac{25}{16}x^2 & = d^2 \Rightarrow x^2 = \frac{16}{25}d^2 \Rightarrow x = \frac{4}{5}d$

Por tanto, el largo de la diagonal se relaciona con el área de la siguiente manera: $A = \frac{3}{4} \left( \frac{4}{5}d \right)^2 = \frac{3}{4} \cdot \frac{16}{25}d^2 = \frac{12}{25}d^2$ .

También podemos invertirlo para encontrar el largo de la diagonal como una función del área: $d^2 = \frac{25}{12} A$ o $d = \frac{5}{2 \sqrt{3}} \sqrt{A}$ .

Ahora podemos hacer un gráfico donde el eje horizontal represente el área de la pantalla de televisión y el eje vertical represente el largo de la diagonal. Primero, hagamos una tabla de valores:

$A$	$d = \frac{5}{2 \sqrt{3}} \sqrt{A}$
0	0
25	7.2
50	10.2
75	12.5
100	14.4
125	16.1
150	17.6
175	19
200	20.4

A partir del gráfico, podemos estimar que, cuando el área de una pantalla de televisión es de 180 $in^2$ el largo de la diagonal es de aproximadamente 19,5 pulgadas. Podemos confirmarlo al ingresar $A = 180$ en la fórmula que vincula la diagonal con el área: $d = \frac{5}{2\sqrt{3}} \sqrt{A} = \frac{5}{2 \sqrt{3}} \sqrt{180} = 19.4 \ inches$ .

Los radicales, a menudo, surgen en problemas que involucran áreas y volúmenes de figuras geométricas.

Ejemplo C

Una piscina tiene el doble de largo que de ancho y está rodeada de una pasarela de un ancho uniforme de 1 pie. El área combinada de la piscina y la pasarela es de 400 pies cuadrados. Encuentra las dimensiones de la piscina y el área de la piscina.

Solución

Hagamos un dibujo:

Definamos $x =$ el ancho de la piscina. Luego:

Área $=$ largo $\times$ ancho

Largo combinado de la piscina y la pasarela $= 2x + 2$

Ancho combinado de la piscina y la pasarela $= x + 2$

$\text{Area} = (2x + 2)(x + 2)$

Ya que el área combinada de la piscina y la pasarela es de $400 \ ft^2$ podemos escribir la ecuación

$(2x + 2)(x + 2) = 400$

$\text{Multiply in order to eliminate the parentheses:} && 2x^2 + 4x + 2x + 4 & = 400\\\\text{Collect like terms:} && 2x^2 + 6x + 4 &= 400\\\\text{Move all terms to one side of the equation:} && 2x^2 + 6x - 396 & = 0\\\\text{Divide all terms by 2:} && x^2 + 3x - 198 & = 0\\\ \text{Use the quadratic formula:} && x & =\frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\\\&& x & = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4(1)(-198)}}{2(1)}\\\&& x & = \frac{-3 \pm \sqrt{801}}{2} = \frac{-3 \pm 28.3}{2}\\\&& x & = 12.65 \ feet$

(La otra respuesta es negativa, por lo que podemos descartarla ya que sólo un número positivo tiene sentido para el ancho de una piscina.)

Por tanto, las dimensiones de la piscina son: $length = 12.65$ y $width = 25.3$ (ya que el ancho es 2 veces el largo)

Eso significa que tan solo el área de la piscina es $A = 12.65 \cdot 25.3 \to 320 ft^2$

Revisa el resultado al ingresar el resultado en la fórmula del área:

Área $= (2(12.65) + 2)(12.65 + 2) = 27.3 \cdot 14.65 = 400 \ ft^2.$

La respuesta es correcta.

Mira este video si necesitas ayuda con los ejemplos anteriores.

Haz clic en la imagen de arriba para ver más contenido (requiere conexión a internet)

CK-12 Foundation: Applications Using Radicals

*Este video solo está disponible en inglés

Vocabulario

Cuando multiplicamos expresiones radicales , usamos la regla de “elevar un producto a una potenciar”:

$\sqrt[m]{x \cdot y} = \sqrt[m]{x} \cdot \sqrt[m]{y}$ .

• Cuando multiplicamos expresiones que tienen números tanto adentro como afuera del signo radical, consideramos por separado los números fuera del signo radical y los números dentro del signo radical:

$a \sqrt{b} \cdot c \sqrt{d} = ac \sqrt{bd}$

Práctica Guiada

El volumen de una lata de refresco es de $355 \ cm^3$ . La altura de la lata es cuatro veces el radio de la base. Encuentra el radio de la base del cilindro.

Solución

Hagamos un dibujo:

Definamos $x =$ el radio de la base del cilindro. Luego, la altura del cilindro es $4x$ .

El volumen de un cilindro se define por $V = \pi R^2 \cdot h$ ; en este caso, es $R$ es $x$ y $h$ is $4x$ , y sabemos que el volumen es 355.

Resuelve la ecuación:

$355 & = \pi x^2 \cdot(4x)\\\355 & = 4 \pi x^3\\\x^3 & = \frac{355}{4 \pi}\\\x & = \sqrt[3]{\frac{355}{4 \pi}} = 3.046 \ cm$

Verifica sustituyendo el resultado dentro de la fórmula:

$V = \pi R^2 \cdot h = \pi (3.046)^2 \cdot (4 \cdot 3.046) = 355 \ cm^3$

Por tanto, el volumen es $355 \ cm^3$ . El resultado es correcto.

Práctica

Cierto modelo de laptop tiene una diagonal de 15,4 pulgadas y un largo de 14,35 pulgadas. Encuentra el ancho.
Cierto modelo de laptop tiene un ancho de 12,78 pulgadas y un área de 114,25 pulgadas cuadradas. Encuentra la diagonal.
La aceleración de gravedad también puede darse en pies por segundo cuadrado. Es a nivel del mar.
1. Grafica el periodo de un péndulo con respecto a su largo en pies.
2. ¿Qué largo en pies permite que el periodo de un péndulo sea de 2 segundos?
4. La aceleración de gravedad en la Luna es .
1. Grafica el periodo de un péndulo en la Luna con respecto a su largo en metros.
2. ¿Qué largo en metros permite que el periodo de un péndulo sea de 10 segundos?
La aceleración de gravedad en Marte es .
1. Grafica el periodo de un péndulo en Marte con respecto a su largo en metros.
2. ¿Qué largo en metros permite que el periodo de un péndulo sea 3 segundos?
6. La aceleración de gravedad en la Tierra depende de la latitud y altitud de un lugar. El valor de es ligeramente menor en lugares cercanos al Ecuador que en aquellos lugares cercanos a los polos y el valor de es ligeramente menor en lugares de gran altitud que en aquellos lugares con baja altitud. Por ejemplo, en la ciudad de Helsinki el valor es de , en Los Ángeles el valor es de y en Ciudad de México el valor es de .
1. Grafica el periodo de un péndulo con respecto a su largo para las tres ciudades en el mismo gráfico.
2. Usa la fórmula para hallar que largo, en metros, permite que el periodo de un péndulo sea de 8 segundos en cada una de las ciudades?
El tamaño de un televisor de pantalla plana es de 2,39:1.
1. Grafica el largo de la diagonal de una pantalla como una función del área de la pantalla.
2. ¿Cuál es la diagonal de una pantalla con área de $150 \ in^2$ ?

Para 8-10, racionaliza el denominador.

El volumen de una lata de sopa es $452 \ cm^3$ . La altura de la lata es tres veces el radio de la base. Encuentra el radio de la base del cilindro.
El volumen de un globo esférico es $950 \ cm^3$ . Encuentra el radio del globo. (Volumen de una esfera $= \frac{4}{3} \pi R^3$ ).
Una pintura rectangular tiene 9 pulgadas de ancho y 12 pulgadas de alto. La pintura tiene un cuadro con ancho uniforme. Si el área combinada de la pintura y el cuadro es de $180 \ in^2$ , ¿Cuál es el ancho del cuadro

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