Ecuaciones Radicales

Aquí aprenderás cómo resolver ecuaciones que involucran radicales. También resolverás problemas del mundo real de tales ecuaciones.

Digamos que tienes una ecuación radical como $\sqrt{2x + 5} - 3 = 0$ ¿Cómo hallarías sus soluciones reales? Tras completar esta sección, podrás resolver ecuaciones radicales como esta.

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CK-12 Foundation: Radical Equations

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Orientación

Cuando la variable de una ecuación aparece dentro de un signo radical, la ecuación se denomina ecuación radical. Para resolver una ecuación radical, debemos eliminar el radical y cambiar la ecuación a una ecuación polinómica.

Un método común para resolver ecuaciones radicales es aislar el radical más complejo a un lado de la ecuación y elevar ambos lados de la ecuación a la potencia que elimine el signo radical. Si quedan más radicales en la ecuación, luego de simplificar, repetimos el proceso hasta que se hayan ido todos los radicales. Una vez que la ecuación ha sido cambiada a una ecuación polinómica, podemos resolverla con los métodos que ya conocemos.

Debemos tener cuidado al usar este método, ya que cada vez que elevamos una ecuación a una potencia, podríamos introducir soluciones falsas que, en realidad, no sirven para el problema original. Tales soluciones se les conoce como soluciones extrañas. Para asegurarnos que tenemos las soluciones correctas, siempre debemos verificar todas las soluciones en la ecuación radical original.

Resolver una Ecuación Radical

Consideremos unos cuantos ejemplos simples de ecuaciones radicales donde solo aparece un radical en la ecuación.

Ejemplo A

Encuentra las soluciones reales de la ecuación $\sqrt{2x-1}=5$ .

Solución

Puesto que la expresión radical ya está aislada, podemos elevar al cuadrado ambos lados de la ecuación para eliminar el signo radical:

$\left(\sqrt{2x-1}\right)^2=5^2$

$\text{Remember that} \ \sqrt{a^2}=a \ \text{so the equation simplifies to:} && 2x-1& =25\\\\text{Add one to both sides:} && 2x& =26\\\\text{Divide both sides by 2:} &&& \underline{\underline{x=13}}$

Finalmente, debemos ingresar la solución a la ecuación original para ver si es una solución válida.

$\sqrt{2x-1}=\sqrt{2(13)-1}=\sqrt{26-1}=\sqrt{25}=5$ La respuesta es correcta.

Ejemplo B

Encuentra las soluciones reales de $\sqrt[3]{3-7x}-3=0$ .

Solución

$\text{We isolate the radical on one side of the equation:} && \sqrt[3]{3-7x}& =3\\\\text{Raise each side of the equation to the third power:} && \left(\sqrt[3]{3-7x}\right)^3& =3^3\\\\text{Simplify:} && 3-7x& =27\\\\text{Subtract 3 from each side:} && -7x& =24\\\\text{Divide both sides by -7:} &&& \underline{\underline{x=-\frac{24}{7}}}$

Verifica: $\sqrt[3]{3-7x}-3=\sqrt[3]{3-7 \left(-\frac{24}{7}\right)}-3=\sqrt[3]{3+24}-3=\sqrt[3]{27}-3=3-3=0$ . La respuesta es correcta.

Ejemplo C

Encuentra las soluciones reales de $\sqrt{10-x^2}-x=2$ .

Solución

$\text{We isolate the radical on one side of the equation:} && \sqrt{10-x^2}& =2+x\\\\text{Square each side of the equation:} && \left(\sqrt{10-x^2}\right)^2& =(2+x)^2\\\\text{Simplify:} && 10-x^2& =4+4x+x^2\\\\text{Move all terms to one side of the equation:} && 0& =2x^2+4x-6\\\\text{Solve using the quadratic formula:} && x& =\frac{-4 \pm \sqrt{4^2-4(2)(-6)}}{4}\\\\text{Simplify:} && x& =\frac{-4 \pm \sqrt{64}}{4}\\\\text{Re-write} \ \sqrt{24} \ \text{in simplest form:} && x& =\frac{-4 \pm 8}{4}\\\\text{Reduce all terms by a factor of 2:} && x& =1 \ \text{or} \ x=-3$

Verifica: $\sqrt{10-1^2}-1=\sqrt{9}-1=3-1=2$ Esta solución es correcta.

$\sqrt{10-(-3)^2}-(-3)=\sqrt{1}+3=1+3=4$ Esta solución no es correcta.

La ecuación tiene solo una solución, $\underline{\underline{x=1}}$ ; la solución $x=-3$ es extraña.

Aplicación de las Ecuaciones Radicales

Ejemplo D

Una esfera tiene un volumen de $456 \ cm^3$ . Si el radio de la esfera se incrementa por 2 cm, ¿cuál es el nuevo volumen de la esfera?

Solución

Haz un dibujo:

Define las variables: Definamos $R =$ el radio de la esfera.

Encuentra una ecuación: El volumen de una esfera se define por la fórmula $V=\frac{4}{3}\pi R^3$ .

Resuelve la ecuación:

$\text{Plug in the value of the volume:} && 456& =\frac{4}{3} \pi R^3\\\\text{Multiply by 3:} && 1368& =4 \pi R^3\\\\text{Divide by} \ 4 \pi: && 108.92& =R^3\\\\text{Take the cube root of each side:} && R& =\sqrt[3]{108.92} \Rightarrow R=4.776 \ cm\\\\text{The new radius is 2 centimeters more:} && R& =6.776 \ cm\\\\text{The new volume is:} && V & =\frac{4}{3} \pi (6.776)^3=\underline{\underline{1302.5}} \ cm^3$

Verifica: Ingresemos los valores del radio en la fórmula del volumen:

$V=\frac{4}{3} \pi R^3=\frac{4}{3} \pi (4.776)^3=456 \ cm^3$ . La solución es correcta.

Ejemplo E

La energía cinética de un objeto de masa $m$ y velocidad $v$ se define por la fórmula: $KE=\frac{1}{2} mv^2$ . Una pelota de béisbol tiene una masa de 145 kg y se mide que su energía cinética es de 654 Joules $(kg \cdot m^2/s^2)$ cuando toca el guante del receptor. ¿Cuál es la velocidad de la bola cuando toca el guante del receptor?

Solución

$\text{Start with the formula:} && KE& =\frac{1}{2} mv^2\\\\text{Plug in the values for the mass and the kinetic energy:} && 654 \frac{kg \cdot m^2}{s^2}& =\frac{1}{2}(145\ kg)v^2\\\\text{Multiply both sides by 2:} && 1308 \frac{kg \cdot m^2}{s^2}& =145 \ kg \cdot v^2\\\\text{Divide both sides by 145} \ kg: && 9.02 \frac{m^2}{s^2}& =v^2\\\\text{Take the square root of both sides:} && v& =\sqrt{9.02} \sqrt{\frac{m^2}{s^2}}=3.003 \ m/s$

Verifica: Ingresa los valores para la masa y la velocidad en la fórmula de la energía:

$KE=\frac{1}{2}mv^2=\frac{1}{2}(145 \ kg)(3.003 \ m/s)^2=654 \ kg \cdot m^2/s^2$

(Para aprender más sobre energía cinética, mira el video en http://www.youtube.com/watch?v=zhX01toLjZs )

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Vocabulario

Para una ecuación cuadrática de forma estándar, $ax^2 + bx + c = 0$ , la fórmula cuadrática es la siguiente:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

Práctica Guiada

Encuentra las soluciones reales de $\sqrt{3x-9}-1=5$ .

Solución

$\text{We isolate the radical on one side of the equation:} && \sqrt{3x-9}&=6\\\\text{Square each side of the equation:} && \sqrt{3x-9}^2&=6^2\\\\text{Simplify:} && 3x-9&=36\\\\text{Add 9 from each side:} && 3x&=45\\\\text{Divide both sides by 3:} &&& \underline{\underline{x=\frac{45}{3}=15}}$

Verifica: $\sqrt{3x-9}-1=\sqrt{3(15)-9}-1=\sqrt{45-9}-1=\sqrt{36}-1=6-1=5.$ La solución es correcta.

Práctica

Encuentra la solución a cada una de las siguientes ecuaciones radicales.

$\sqrt{x+2}-2=0$
$\sqrt{3x-1}=5$
$2 \sqrt{4-3x}+3=0$
$\sqrt[3]{x-3}=1$
$\sqrt[4]{x^2-9}=2$
$\sqrt[3]{-2-5x}+3=0$
$\sqrt{x^2-3}=x-1$
$\sqrt{x}=x-6$
$\sqrt{x^2-5x}-6=0$
$\sqrt{(x+1)(x-3)}=x$
$\sqrt{x+6}=x+4$
$\sqrt{3x+4}=-6$
El área de un triángulo es de $24 \ in^2$ y la altura del triángulo es el doble de largo que la base. ¿Cuál es la base y la altura del triángulo?
El largo de un rectángulo es de 7 metros menos que el doble de su ancho y su área es de $660 \ m^2$ . ¿Cuáles son la longitud y el ancho del rectángulo
El área de un disco circular es de $124 \ in^2$ . ¿Cuál es la circunferencia del disco? $(\text{Area} = \pi R^2, \text{Circumference} =2 \pi R)$ .
El volumen de un cilindro es de $245 \ cm^3$ y la altura del cilindro es un tercio del diámetro de la base del cilindro. El diámetro del cilindro se mantiene igual, pero la altura del cilindro aumenta en 2 centímetros. ¿Cuál es el volumen del nuevo cilindro? $(\text{Volume} =\pi R^2 \cdot h)$
La altura de una pelota de golf mientras viaja por el aire puede determinarse por la ecuación $h=-16t^2+256$ . Encuentra en qué momento la pelota está a una altura de 120 pies.

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