Ecuaciones con Radicales a Ambos Lados

Aquí, aprenderás como hallar las raíces reales e identificar las soluciones extrañas de las ecuaciones radicales que tienen radicales a ambos lados del signo igual. También resolverás aplicaciones del mundo real de tales ecuaciones.

Digamos que tienes una ecuación radical como $\sqrt{x + 1} + 2 = \sqrt{2x - 5}$ con un signo radical a ambos lados. ¿Cómo podrías hallar las soluciones a esta ecuación? Tras completar esta sección, podrás resolver ecuaciones radicales como esta.

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CK-12 Foundation: Special Cases with Radical Equations

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Orientación

A menudo, las ecuaciones tienen más de una ecuación radical. En este caso, la estrategia es empezar aislando la expresión radical más compleja y elevar la ecuación a la potencia correspondiente. Luego, repetimos el proceso hasta eliminar todos los signos radicales.

Ejemplo A

Encuentra las raíces reales de la ecuación $\sqrt{2x+1}-\sqrt{x-3}=2$ .

Solución

$\text{Isolate one of the radical expressions:} && \sqrt{2x+1}& =2+\sqrt{x-3}\\\\text{Square both sides:} && \left(\sqrt{2x+1}\right)^2& =\left(2+\sqrt{x-3}\right)^2\\\\text{Eliminate parentheses:} && 2x+1& =4+4\sqrt{x-3}+x-3\\\\text{Simplify:} && x& =4 \sqrt{x-3}\\\\text{Square both sides of the equation:} && x^2& =\left(4 \sqrt{x-3} \right)^2\\\\text{Eliminate parentheses:} && x^2& =16(x-3)\\\\text{Simplify:} && x^2& =16x-48\\\\text{Move all terms to one side of the equation:} && x^2-16x+48& =0\\\\text{Factor:} && (x-12)(x-4)& =0\\\\text{Solve:} && x& =12 \ \text{or} \ x=4$

Verifica: $\sqrt{2(12)+1}-\sqrt{12-3}=\sqrt{25}-\sqrt{9}=5-3=2.$ La respuesta es correcta.

$\sqrt{2(4)+1}-\sqrt{4-3}=\sqrt{9}-\sqrt{1}=3-1=2$ La respuesta es correcta.

La ecuación tiene dos soluciones: $x=12$ y $x=4$ .

Identifica Soluciones Extrañas a Ecuaciones Radicales

Vimos en el Ejemplo 3 que algunas de las soluciones que encontramos al resolver ecuaciones radicales no corresponden cuando las sustituimos (o &#&8220;ingresamos”) en la ecuación radical original. Tales respuestas se llaman soluciones extrañas. Es muy importante verificar las respuestas que obtenemos al ingresarlas en la ecuación original de modo de poder diferenciar cuáles de ellas son soluciones reales.

Ejemplo B

Encuentra las soluciones reales de la ecuación $\sqrt{x-3}-\sqrt{x}=1$ .

Solución

$\text{Isolate one of the radical expressions:} && \sqrt{x-3}&=\sqrt{x}+1\\\\text{Square both sides:} && \left(\sqrt{x-3}\right)^2& =\left(\sqrt{x}+1\right)^2\\\\text{Remove parenthesis:} && x-3& =\left(\sqrt{x}\right)^2+2\sqrt{x}+1\\\\text{Simplify:} && x-3& =x+2\sqrt{x}+1\\\\text{Now isolate the remaining radical:} && -4& =2\sqrt{x}\\\\text{Divide all terms by 2:} && -2& =\sqrt{x}\\\ \text{Square both sides:} && x& =4$

Verifica: $\sqrt{4-3}-\sqrt{4}=\sqrt{1}-2=1-2=-1$ La solución no es correcta.

La ecuación no tiene soluciones reales. $x=4$ es una solución extraña.

Aplicaciones Especiales de las Ecuaciones Radicales

Las ecuaciones radicales, a menudo, aparecen en problemas que involucran áreas y volúmenes de objetos.

Ejemplo C

El jardín cuadrado de vegetales de Anita es 21 pies cuadrados más largo que el jardín cuadrado de vegetales de Fred. Anita y Fred deciden juntar sus ahorros y compran el mismo tipo de cerca para sus jardines. Si necesitan 84 pies de reja, ¿cuál es el tamaño de cada jardín?

Solución

Haz un dibujo:

Define las variables: Definamos el Área de Fred como $x$ ; luego, el área de Anita será $x+21$ .

Encuentra una ecuación:

El largo lateral del jardín de Fred es $\sqrt{x}$

El largo lateral del jardín de Anita es $\sqrt{x+21}$

La cantidad de enrejado es igual a los perímetros combinados de los dos cuadrados:

$4\sqrt{x}+4\sqrt{x+21}=84$

Resuelve la ecuación:

$\text{Divide all terms by 4:} && \sqrt{x}+\sqrt{x+21}& =21\\\\text{Isolate one of the radical expressions:} && \sqrt{x+21}& =21-\sqrt{x}\\\\text{Square both sides:} && \left(\sqrt{x+21}\right)^2& =\left(21-\sqrt{x}\right)^2\\\\text{Eliminate parentheses:} && x+21& =441-42\sqrt{x}+x\\\\text{Isolate the radical expression:} && 42\sqrt{x}& =420\\\\text{Divide both sides by 42:} && \sqrt{x}& =10\\\\text{Square both sides:} && x& =100 \ ft^2$

Verifica: $4\sqrt{100}+4\sqrt{100+21}=40+44=84$ . La solución es correcta.

El jardín de Fred tiene $10 \ ft \times 10 \ ft = 100 \ ft^2$ y el jardín de Anita tiene $11 \ ft \times 11 \ ft = 121 \ ft^2$ .

Mira este video si necesitas ayuda con los ejemplos anteriores.

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Vocabulario

El símbolo de una raíz cuadrada es $\sqrt{\;\;}$ . Este símbolo también se conoce como el signo radical.

Práctica Guiada

Encuentra las soluciones reales de la ecuación $\sqrt{9-x}=3+\sqrt{2x}$ .

Solución

$\text{Isolate one of the radical expressions:} && \sqrt{9-x}&=3+\sqrt{2x}\\\\text{Square both sides:} && (\sqrt{9-x})^2&=(3+\sqrt{2x})^2\\\\text{Remove parenthesis:} && 9-x&=9+6\sqrt{2x}+2x\\\\text{Simplify:} && x& =-2\sqrt{2x}\\\ \text{Square both sides:} && x^2& =4(2x)\\\\text{Simplify:} && x^2& =8x\\\\text{Set one side equal to zero:} && x^2-8x& =0\\\\text{Factor:} && x(x-8)& =0\\\\text{Use the zero product principle:} && x& =0 \text{ or } x=8$

Verifica: Primero, verifica $x=0$ :

$\text{Start with the original equation:} && \sqrt{9-x}&=3+\sqrt{2x}\\\\text{Substitute in the x-value:} && \sqrt{9-8}&=3+\sqrt{2(8)}\\\\text{Simplify:} && \sqrt{1}&=3+\sqrt{16)}\\\\text{Take the square root:} && 1&=3+4=7\\\$

La solución no es correcta.

Luego, verifica $x=8$ :

$\text{Start with the original equation:} && \sqrt{9-x}&=3+\sqrt{2x}\\\\text{Substitute in the x-value:} && \sqrt{9-0}&=3+\sqrt{2(0)}\\\\text{Simplify:} && \sqrt{9}&=3+\sqrt{0)}\\\\text{Take the square root:} && 3&=3+0=3\\\$

La solución es correcta.

La ecuación tiene una solución real. $x=8$ es una solución extraña.

Práctica

Encuentra la solución a cada una de las siguientes ecuaciones radicales. Identifica las soluciones extrañas.

$\sqrt{x}=\sqrt{x-9}+1$
$\sqrt{x}+2=\sqrt{3x-2}$
$5 \sqrt{x}=\sqrt{x+12}+6$
$\sqrt{10-5x}+\sqrt{1-x}=7$
$\sqrt{2x-2}-2\sqrt{x}+2=0$
$\sqrt{2x+5}-3\sqrt{2x-3}=\sqrt{2-x}$
$3\sqrt{x}-9=\sqrt{2x-14}$
$\sqrt{x+7}=\sqrt{x+4}+1$
$\sqrt{4x}=\sqrt{3-2x}-1$
$\sqrt{2x+5}+\sqrt{3-x}=10$

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